2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷人教新课标A版（Word含答案）

2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前10题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
?
1.
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
已知函数，则在区间上的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
函数＝是（
）
A.周期为的偶函数
B.周期为的奇函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
?
4.
在中，角，，所对应的边分别为，，，若，＝，＝，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
5.
已知角的终边上一点坐标为，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
6.
与函数的图象不相交的一条直线是（
）
A.
B.
C.
D.
?
7.
函数在的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
若＝，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
已知点在函数图象上，且，，则的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知点在函数＝的图象上，直线是函数图象的一条对称轴．若在区间内单调，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
下列命题中正确的是（
）
A.已知，是实数，则“”是“”的必要不充分条件
B.在中，角，，所对应的边分别为，，，若＝，＝，＝，则有两解
C.在中，角，，所对应的边分别为，，，若＝，则为直角三角形
D.已知，都是锐角，且，＝，则＝
?
12.
已知函数＝（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.＝，
B.函数图象的对称轴为直线
C.将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）即得到＝的图象
D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
?
＝________．
?
已知函数满足＝，则不等式的解集为________．
?
已知函数＝定义域为，其中，值域，，则满足条件的数组为________．
?
已知，＝，，为的角平分线，则
ⅰ面积的取值范围为________．
ⅱ的最小值为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
?
已知．
（1）化简；
（2）已知，且，求的值．
?
在中，角，，所对应的边分别为，，，＝．
（1）求的值；
（2）若＝，＝，求．
?
已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间和对称中心坐标；
（2）若，且，，求的值．
?
某校新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中，为定点，（百米），（百米）．
若，（百米），求平面四边形的面积；
若（百米）．
证明：；
若，面积依次为，，求的最大值．
?
已知函数的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数．
（1）求的解析式，并画出在区间上的图象；
（2）若关于的方程＝在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．
?
已知函数＝，．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）在（1）基础上，若，，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.前10题为单选题，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的；第11题，12题为多项选择题，在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.
1.
【答案】
D
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】
＝＝，
2.
【答案】
C
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
求出函数的单调区间，根据函数的单调性求出的最大值即可．
【解答】
＝＝，
在递减，
故＝＝＝，
3.
【答案】
A
【考点】
余弦函数的对称性
三角函数的周期性
【解析】
利用二倍角的余弦函数化简表达式，求出周期判断奇偶性即可．
【解答】
函数＝＝，函数的偶函数．
4.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理即可计算得解．
【解答】
∵
，＝，
∴
由正弦定理可得＝＝＝．
5.
【答案】
C
【考点】
任意角的三角函数
两角和与差的三角函数
【解析】
先利用三角函数的定义求出，再利用两角和的正切公式求解即可．
【解答】
因为角的终边上一点坐标为，
所以，
所以＝．
6.
【答案】
D
【考点】
正切函数的图象
【解析】
令＝，求得的值，可得结论．
【解答】
对于函数，令，求得＝+，
令＝，可得＝-，
7.
【答案】
D
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．
【解答】
∵
，
∴
函数为奇函数，
又∵
，
∴
选项符合题意．
8.
【答案】
A
【考点】
二倍角的三角函数
【解析】
由题意利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用二倍角公式，求得要求式子的值．
【解答】
∵
＝，∴
＝，
则＝＝＝＝-，
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
由点在函数＝上，可得＝，再由重要不等式可得＝，（当且仅当＝，即＝时，取等号），即可得出答案．
【解答】
因为点在函数＝上，
所以＝，即＝，
所以＝，
所以＝，即＝时，
所以的最大值为，
10.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
【解析】
由题意根据函数的单调区间，得到周期的范围，结合函数零点与对称轴之间的关系求出即可．
【解答】
由题意得，-＝＝，得，得，
?-，∴
．
综上可得，．
当＝时，?，得＝，
又，所以＝，
此时，直线＝）的图象的一条对称轴，．
所以＝．
当＝时，，可得＝，
又，所以＝，
此时，+，故直线＝．
当＝时，，得＝，
又，所以＝，
此时，+，不是最值，
所以直线＝不是函数的图象的一条对称轴．
综上，可得＝，
11.
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
对于，“”，当或时，不成立；反之，，从而“”是“”的必要不充分条件；
对于，由正弦定理得＝，＝，＝，则有两解；对于，为等腰三角形；对于，推导出＝＝，由，都是锐角，得＝．
【解答】
对于，，是实数”，
当时，，
当或时，不成立；
反之，，
∴
“”是“”的必要不充分条件，故正确；
对于，在中，，所对应的边分别为，，，
若＝，＝，则由正弦定理得：
＝，解得＝＝，
或＝，
∴
有两解，故正确；
对于，在中，，所对应的边分别为，，，
若＝，则，
整理得：＝，
∴
＝，∴
为等腰三角形；
对于，∵
，且，
∴
＝，
∴
＝，
∴
＝＝，
∵
，都是锐角，故正确．
12.
【答案】
A,D
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】
根据函数＝（其中，）的部分图象，
可得＝，?＝+，∴
＝．
再根据五点法作图，，∴
＝-，
故＝），故?正确；
由于＝为函数的图象的一条对称轴＝，
故对称轴方程为?＝+，；
将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，
可得到＝）的图象；
若在区间上的值域为，
由，]，
再根据）值域为，]，
∴
，]，]，故正确，
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第16题第一空2分，第二空3分.请将答案填写在答题卷相应位置上.
【答案】
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
根据两角差的正弦公式，计算即可．
【解答】
＝
＝
＝．
【答案】
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
根据题意，利用换元法分析可得＝，则即，则有，解可得的取值范围，即可得答案．
【解答】
根据题意，＝＝，
即，则有，
解可得：，即不等式的解集为，
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意画出图形，结合函数值域可得的范围，由此可得函数在上为增函数，再由定义域与值域的关系列式求得满足条件的数组．
【解答】
作出函数＝的图象如图：
∵
函数值域为，即．
则函数在上为增函数，
∴
，解得．
∴
满足条件的数组为．
【答案】
,
【考点】
三角形的面积公式
正弦定理
解三角形
【解析】
ⅰ由三角形的余弦定理和面积公式，结合基本不等式可得所求范围；
ⅱ由＝，结合三角形的面积公式，可得，再由基本不等式计算可得所求最小值．
【解答】
ⅰ可设的内角，，所对的边分别为，，，
可得＝＝）＝，
即有＝＝，
则＝＝＝，
所以面积的取值范围为，]；
ⅱ由＝，
可得＝，
化为＝，
即为＝，
所以＝＝＝+，
当且仅当＝时，取得等号，
则的最小值为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.
【答案】
＝＝＝．
因为）＝，
所以）＝-；
又，所以，
所以）＝＝，
所以＝）+]
＝））
＝+（-
＝．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）利用三角函数诱导公式和同角三角函数关系式化简即可．
（2）由同角三角函数关系式和三角恒等变换，求值即可．
【解答】
＝＝＝．
因为）＝，
所以）＝-；
又，所以，
所以）＝＝，
所以＝）+]
＝））
＝+（-
＝．
【答案】
因为＝，
可得：＝，
可得：＝，
可得：＝，即＝，
可得：＝．
∵
，
∴
，
∴
．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知等式，可得＝，进而根据两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
（2）由已知可求的值，进而根据余弦定理即可求解的值．
【解答】
因为＝，
可得：＝，
可得：＝，
可得：＝，即＝，
可得：＝．
∵
，
∴
，
∴
．
【答案】
函数
＝（
＝
＝-
＝
＝）；
令，；
解得；
所以函数的单调递增区间是，]；
令＝，解得＝+；
所以的对称中心坐标是（+，；
由题意知，（++）-，
且，），所以＝＝；
又（+）＝（+]＝，
且，），所以＝＝＝；
又，
所以＝＝-＝-，
所以＝．
【考点】
两角和与差的三角函数
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）化函数为正弦型函数，再求的单调递增区间和对称中心坐标；
（2）由题意求出、和、的值，再求的值，从而求得的值．
【解答】
函数
＝（
＝
＝-
＝
＝）；
令，；
解得；
所以函数的单调递增区间是，]；
令＝，解得＝+；
所以的对称中心坐标是（+，；
由题意知，（++）-，
且，），所以＝＝；
又（+）＝（+]＝，
且，），所以＝＝＝；
又，
所以＝＝-＝-，
所以＝．
【答案】
解：令，
在中，由余弦定理可得：，
即，解得：或（舍），
在中，，，
所以，
在中，，，
所以边上的高为，
所以，
所以（平方百米）．
在中，
，
在中，
，
所以，
所以.
，
，
所以
，
因为，
所以，
可得，
所以
，
所以时，，
即时，取得最大值，且最大值为平方百米．
【考点】
余弦定理的应用
三角形的面积公式
诱导公式
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
（1）由已知利用余弦定理可求得的值，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
ⅰ分别在，中应用余弦定理可得，化简即可得证．
利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：令，
在中，由余弦定理可得：，
即，解得：或（舍），
在中，，，
所以，
在中，，，
所以边上的高为，
所以，
所以（平方百米）．
在中，
，
在中，
，
所以，
所以.
，
，
所以
，
因为，
所以，
可得，
所以
，
所以时，，
即时，取得最大值，且最大值为平方百米．
【答案】
∵
图象两相邻对称轴之间的距离是，
∴
＝，∴
＝，
∴
＝
又∵
∴
，
列表：
图象如图所示
（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符
由（1）知＝，
∵
令＝＝，
∴
可得关于的方程＝在上有一解．
令＝
∵
＝，则需满足或，
得或＝，
即实数的取值范围是或＝．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
（1）根据条件求出函数的解析式，结合五点法进行作图即可．
（2）利用换元法将条件进行转化，结合一元二次方程根的分布进行转化求即可．
【解答】
∵
图象两相邻对称轴之间的距离是，
∴
＝，∴
＝，
∴
＝
又∵
∴
，
列表：
图象如图所示
（请阅卷老师注意学生所画图象与各坐标轴的位置是否准确，若有不符
由（1）知＝，
∵
令＝＝，
∴
可得关于的方程＝在上有一解．
令＝
∵
＝，则需满足或，
得或＝，
即实数的取值范围是或＝．
【答案】
因为函数的定义域为，若为偶函数，
所以对都有＝，
所以（＝），
所以）＝．
，“＝”取得当且仅为＝时，
由题意：，使得成立
即，恒成立
令，则且
设，易知在
所以，
所以的取值范围为．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）因为函数的定义域为，根据偶函数的定义，可得对都有＝，解得．
（2）先求出的最小值，问题转化为，，只需（），即可得出答案．
【解答】
因为函数的定义域为，若为偶函数，
所以对都有＝，
所以（＝），
所以）＝．
，“＝”取得当且仅为＝时，
由题意：，使得成立
即，恒成立
令，则且
设，易知在
所以，
所以的取值范围为．
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