2020-2021学年甘肃省庆阳市宁县高一（上）期末数学试卷人教新课标A版（Word含解析）

2020-2021学年甘肃省庆阳市宁县高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
?
1.
设集合＝，＝，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
2.
在空间直角坐标系中，点关于坐标原点的对称点为，则＝（
）
A.
B.
C.
D.
?
3.
已知，则
A.
B.
C.
D.
?
4.
已知圆＝和＝，则两圆的位置关系是（
）
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
?
5.
直线＝与直线＝平行，则的值为（
）
A.?或
B.
C.
D.
?
6.
已知函数＝）是上的奇函数，则实数＝（
）
A.-
B.
C.
D.
?
7.
已知奇函数在上是增函数，若＝），＝），＝，则、、的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
?
8.
函数＝的零点所在区间为（
）
A.
B.
C.
D.
?
9.
某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（
）
A.
B.
C.
D.
?
10.
已知函数则等于（
）
A.
B.
C.
D.
?
11.
已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，给出下列命题：
①由，，，得与平行或者异面；
②由，，，得或；
③由，，得；
④由，，，，得．
其中错误命题的个数是（
）
A.
B.
C.
D.
?
12.
设方程的两个根分别为，，则（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?
函数的定义域是________．
?
计算：＝________．
?
的斜二测直观图如图所示，则的面积为________．
?
已知点是直线＝上一动点，，是圆：＝的两条切线，，为切点，若弦长的最小值为，则实数的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
?
已知直线＝，直线＝．
（1）若直线直线平行，求直线与的距离；
（2）若直线与直线垂直，求直线与的交点坐标．
?
已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（3）解不等式．
?
年初的新冠疫情危害人民生命健康的同时也严重阻碍了经济的发展，英雄的中国人民率先战胜了疫情，重启了经济引擎．今年夏天武汉某大学毕业生创建了一个生产电子仪器的小公司．该公司生产一种电子仪器每月的固定成本为元（如房租、水电等成本），每生产一台仪器需增加投入元，已知每月生产台的总收益满足函数，其中是仪器的月产量．
（1）将月利润表示为月产量的的函数．（总收益总成本+利润）
（2）当月产量为何值时，公司每月所获得利润最大？最大利润为多少元？
?
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，＝，＝，＝＝，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
?
已知圆与轴相切于点，且被轴所截得的弦长为，圆心在第一象限．
求圆的方程；
若点是直线上的动点，过作圆的切线，切点为，当的面积最小时，求切线的方程．
?
已知函数＝且＝．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若函数＝有零点，求实数的取值范围．
Ⅲ当时，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省庆阳市宁县高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
利用并集定义和不等式的性质直接求解．
【解答】
∵
集合＝，＝，
∴
＝．
2.
【答案】
C
【考点】
空间中的点的坐标
空间两点间的距离公式
【解析】
由点关于坐标原点的对称点为，求出，再由两点间距离公式能求出．
【解答】
在空间直角坐标系中，
点关于坐标原点的对称点为，
∴
，
∴
＝＝．
3.
【答案】
A
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
根据题意，利用特殊值法，将代入，计算可得答案．
【解答】
根据题意，，
令，即可得：，
4.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系分析可得答案，
【解答】
根据题意，圆＝，其圆心，
＝，即）＝，其圆心为（，半径＝，
两圆的圆心距＝＝，
5.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
由平行关系可得＝，解得值验证可得．
【解答】
∵
直线＝与直线＝平行，
∴
＝，解得＝或，
经检验＝符合题意，
6.
【答案】
A
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据题意，由函数奇偶性的定义可得＝，即）＝），变形分析可得的值，即可得答案．
【解答】
根据题意，函数＝）是上的奇函数，
即）＝），
变形可得：＝），
则有＝，即＝-；
7.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
由已知结合对数的性质及函数的单调性及奇偶性即可比较大小．
【解答】
因为函数为奇函数，
所以＝）＝）＝，
因为，，，
所以，
又函数在上是增函数，
所以），
即．
8.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】
函数＝是连续增函数，
∵
＝，
＝，
∴
，
由零点判定定理可知函数的零点在．
9.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图可知：此几何体为放倒三棱柱，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】
由三视图可知：此几何体为放倒三棱柱，如图：
∴
此几何体的体积：＝．
10.
【答案】
A
【考点】
求函数的值
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
根据题意，由函数的解析式求出、的值，计算可得答案．
【解答】
函数
则＝＝＝，
＝＝，
则＝＝，
11.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
对于①，利用面面平行的性质得与平行或者异面；对于②，利用线线平行、线面垂直的性质得或；对于③，利用线面垂直的性质得；对于④，与相交、平行或异面，
【解答】
由，，为三条不同的直线，，知：
对于①，由，，故①正确；
对于②，由，、线面垂直的性质得或；
对于③，由，利用线面垂直的性质得；
对于④，由，，得与相交，故④错误．
其中错误命题的个数是．
12.
【答案】
D
【考点】
根的存在性及根的个数判断
函数零点的判定定理
【解析】
构造，，画出图象，判断两个函数零点位置，利用根的存在性定理得出即可．
【解答】
解：，的图象为：
设，
则，
，
∴
.
故选.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由分式中的对数式的真数大于且不等于，根式内部的代数式大于等于，联立不等式组求解的取值集合即可得到答案．
【解答】
解：由，解得：，且．
∴
函数的定义域是．
故答案为：．
【答案】
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用对数的性质和运算法则求解．
【解答】
＝
＝
＝＝．
【答案】
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
把的斜二测直观图还原为直角坐标系下图形，求出原图形的面积即可．
【解答】
把的斜二测直观图还原为原图形，如图所示；
则的面积为＝．
【答案】
【考点】
圆的切线方程
【解析】
根据题意弦长最小等价于最小，等价于最小，求出＝，结合点到直线的距离，求出．
【解答】
弦长最小等价于最小，等价于最小，
弦长的最小值为，圆的半径为，
故＝，由＝，
的最小值为到圆心的距离＝＝，
故＝，，
所以＝-，
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
因为直线＝与直线＝平行，
则有＝，所以直线＝，直线＝，
根据两条平行直线间的距离公式可得；
因为直线与直线垂直，
则有＝，解得＝，
故直线＝，
联立方程组，解得＝，
故直线与的交点坐标为．
【考点】
两条平行直线间的距离
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
先利用两条直线平行，求出的值，然后再利用两条平行线间的距离公式进行求解即可；
（2）先利用两条直线垂直，求出的值，然后再联立方程组，求出交点即可．
【解答】
因为直线＝与直线＝平行，
则有＝，所以直线＝，直线＝，
根据两条平行直线间的距离公式可得；
因为直线与直线垂直，
则有＝，解得＝，
故直线＝，
联立方程组，解得＝，
故直线与的交点坐标为．
【答案】
∵
的解集是，
∴
的定义域是．
又∵
是奇函数，∴
＝．
∴
＝＝，即＝．
经检验知，当＝时，符合题意．
由（1）知，
经判断可知在上是增函数．
任取，，且，
则＝，
∵
＝为增函数，，∴
．
∴
，
．
∴
，即．
∴
在上是增函数．
由，
可得，
∴
，
解得，
∴
原不等式的解集为．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）由定义在上的奇函数＝，即可求得值；
（2）判断在上是增函数，利用单调性的定义即可证明；
（3）由，可得，解之即可得解．
【解答】
∵
的解集是，
∴
的定义域是．
又∵
是奇函数，∴
＝．
∴
＝＝，即＝．
经检验知，当＝时，符合题意．
由（1）知，
经判断可知在上是增函数．
任取，，且，
则＝，
∵
＝为增函数，，∴
．
∴
，
．
∴
，即．
∴
在上是增函数．
由，
可得，
∴
，
解得，
∴
原不等式的解集为．
【答案】
月产量为台，则总成本为，
那么，
整理得；
当时，，
∴
当时，最大值为；
当时，是减函数，且，
∴
当时，函数的最大值为，
即当月产量为台时，所获得利润最大，最大利润为元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）写出总成本，由利润总收益-总成本可得月利润关于月产量的的函数；
（2）分段求出函数的最值，取最大值中的最大者得结论．
【解答】
月产量为台，则总成本为，
那么，
整理得；
当时，，
∴
当时，最大值为；
当时，是减函数，且，
∴
当时，函数的最大值为，
即当月产量为台时，所获得利润最大，最大利润为元．
【答案】
证明：连结交于点，连结．
∵
底面是矩形，∴
为中点．
又∵
为中点，∴
．
∵
平面，平面，
∴
平面；
证明：∵
底面为矩形，
∴
．
又∵
平面平面，平面，
∴
平面．
∵
平面，∴
．
∵
＝＝，∴
＝，即．
∵
＝，，
∴
平面．
【考点】
直线与平面平行
直线与平面垂直
【解析】
（1）连结交于点，连结，由中位线定理可得，故而平面；
（2）证明平面可得，利用勾股定理可得，故而平面．
【解答】
证明：连结交于点，连结．
∵
底面是矩形，∴
为中点．
又∵
为中点，∴
．
∵
平面，平面，
∴
平面；
证明：∵
底面为矩形，
∴
．
又∵
平面平面，平面，
∴
平面．
∵
平面，∴
．
∵
＝＝，∴
＝，即．
∵
＝，，
∴
平面．
【答案】
解：∵
圆与轴相切于点，圆心在第一象限，
∴
设圆心坐标为，则半径为，
又圆被轴所截得的弦长为，
可得，得．
∴
圆的方程为；
如图，
为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，
连接，则，
∴
的面积．
要使的面积最小，则最小，也就是最小，
此时，
由，可得，则所在直线斜率为，
由直线方程的点斜式可得，即．
联立
解得，
设切线方程为，即．
由，
解得或．
∴
所求切线的方程为或．
【考点】
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
圆的切线方程
圆的标准方程
【解析】
Ⅰ由题意设圆心坐标为，则半径为＝，再由圆被轴所截得的弦长为，利用垂径定理求得＝，则圆的方程可求；
Ⅱ为直线＝上的动点，过作圆的切线，切点为，可知，要使的面积最小，则最小，也就是最小，此时，求出所在直线方程，与直线联立解得，设切线方程为＝，即＝，再由圆心到切线的距离等于半径求得，则切线的方程可求．
【解答】
解：∵
圆与轴相切于点，圆心在第一象限，
∴
设圆心坐标为，则半径为，
又圆被轴所截得的弦长为，
可得，得．
∴
圆的方程为；
如图，
为直线上的动点，过作圆的切线，切点为，
连接，则，
∴
的面积．
要使的面积最小，则最小，也就是最小，
此时，
由，可得，则所在直线斜率为，
由直线方程的点斜式可得，即．
联立
解得，
设切线方程为，即．
由，
解得或．
∴
所求切线的方程为或．
【答案】
（1）对于函数＝，由＝，
求得＝，故＝．
（2）若函数＝＝＝?有零点，
则函数＝的图象和直线＝有交点，∴
，求得．
Ⅲ∵
当时，恒成立，即恒成立．
令＝，则，且?．
由于?在上单调递减，∴
，∴
．
【考点】
指数函数综合题
【解析】
Ⅰ由函数的解析式以及＝，求得的值．
Ⅱ由题意可得，函数＝的图象和直线＝有交点，故有，求得的范围．
Ⅲ由题意可得当时，恒成立．令＝，则，且?．利用单调性求得，从而可得的范围．
【解答】
（1）对于函数＝，由＝，
求得＝，故＝．
（2）若函数＝＝＝?有零点，
则函数＝的图象和直线＝有交点，∴
，求得．
Ⅲ∵
当时，恒成立，即恒成立．
令＝，则，且?．
由于?在上单调递减，∴
，∴
．
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