北师大版数学九年级上册：1.2 第1课时 矩形的性质 课件（共40张PPT）

第一章
特殊平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
第1课时
矩形的性质
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
新课导入
教学目标
教学重点
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题（重点）
3.应用矩形的性质定理解决相关问题（难点）
学习目标
新课导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
情景引入
新课导入
思考
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
讲授新课
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
矩形的定义
讲授新课
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形.
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
也叫做长方形.
归纳总结
平行四边形不一定是矩形.
讲授新课
矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.
归纳
平行四边形
菱形集合
平行四边形集合
矩形集合
讲授新课
思考
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
矩形的性质
讲授新课
活动2：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.
讲授新课
A
B
C
D
O
AB
AD
AC
BD
∠BAD
∠ADC
∠AOD
∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1
矩形的四个角都是直角.
猜想2
矩形的对角线相等.
你能证明吗？
讲授新课
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC
与DB
相交于点O.
?求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的
对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
证一证
讲授新课
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°,
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=
CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB.
A
B
C
D
O
如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相较于点O.
求证：AC=DB.
讲授新课
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
归纳总结
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB
=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
讲授新课
归纳结论
矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
角：四条角都是90°.
对角线：相等.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
矩形的特殊性质
平行四边形的性质
讲授新课
做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??
（1）矩形是不是中心对称图形?
如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
2条
讲授新课
例题
如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD(矩形的对角线相等).
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
(矩形对角线相互平分)
∴OA
=
OD.
A
B
C
D
O
讲授新课
例题
如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5
,求矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC
=
BD(矩形的对角线相等).
OA=
OC=
AC,OB
=
OD
=
BD
,
(矩形对角线相互平分)
∴OA
=
OD.
A
B
C
D
O
讲授新课
A
B
C
D
O
∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD=
(180°-
120°)=30°.
又∵∠DAB=90°
,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD
=
2AB
=
2
×2.5
=
5.
提示：∠AOD=120°
→
∠AOB=60°→
OA=OB=AB
→
AC=2OA=2×2.5=5.
你还有其他解法吗？
讲授新课
例题
如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE
,垂足为F.
求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD
=AE,∴∠AED
=∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.
讲授新课
例题
如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设BE＝DE＝x，则AE＝8－x.
∵在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，即DE＝5.
∴S△BED＝
DE·AB＝
×5×4＝10.
矩形的折叠问题常与勾股定理结合考查
讲授新课
直角三角形斜边上的中线的性质
A
　
B
　
C
　
D
　
O
　
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿着对角线AC剪去一半.
B
C
O
A
问题
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
试给出数学证明.
讲授新课
O
C
B
A
D
证明:
延长BO至D,
使OD=BO,
连接AD、DC.
∵AO=OC,
BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证:
BO
=
AC
?
∴BO=
BD=
AC.
1.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
证一证
讲授新课
1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2、总结：
(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”
是解决线段倍分问题的重要依据；
(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上
的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形
性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；
(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平
方和等于斜边平方．
讲授新课
例题
如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝
AB＝
×10＝5，
DF＝AF＝
AC＝
×8＝4，
∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
讲授新课
(2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
归纳
讲授新课
例题
如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，
∴EG＝
BC，DG＝
BC.
∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，
∴GF⊥DE.
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
归纳
讲授新课
归纳总结
直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
讲授新课
如图，在△ABC中,∠ABC
=
90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC
=_____cm;
(2)若∠C
=
30°
,AB
=
5cm,则AC
=_____cm,
BD
=
_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
练一练
当堂练习
当堂反馈
即学即用
当堂练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
(
)
A.对角线相等
B.对边相等
C.对角相等
D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为
(
)
A.13
B.6
C.6.5
D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是
(
)
A.20
°
B.40°
C.80
°
D.10°
A
C
C
当堂练习
4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
5.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
第4题图
第5题图
当堂练习
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30°
,
BO=4
,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=
BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
当堂练习
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD
=
2BO
=2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD=
BD=
×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积=
×(4+8)×
=
.
A
B
C
D
O
E
当堂练习
7.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
=
S矩形ABCD=
×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴
AO·PE+
DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF=
.
课堂小结
归纳总结
构建脉络
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
THANKS
侵权必究