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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第4单元
第1节：一元一次方程定义、等式性质
要点1：一元一次方程定义
【要点梳理】
一、方程和它的解
1、方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
3、关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
二、一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
三、一元一次方程的形式：
最简形式：方程(，，为已知数)叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程(其中，，是已知数)叫一元一次方程的标准形式．
【典型例题】
例1、（2021七上·阜宁期末）下列方程中，是一元一次方程的是（??
）
A.?3x+2y=0????B.???C.?
=1?????D.?3x－5=3x+2
【答案】
B
例2、（2020七上·泰兴期中）下列说法正确的是（??
）
A.?带负号的数一定是负数.?????B.?方程
是一元一次方程.
C.?数轴上的点都表示有理数.??D.?单项式
的次数是2.
【答案】
D
例3、（2018七上·宿迁期末）在方程：3x－y＝2，
＋
＝0，
＝1，3x2＝2x＋6中，一元一次方程的个数为(
??)
A.?1个?????B.?2个????C.?3个????D.?4个
【答案】
A
例4、关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A.?1?????B.?2?????C.?3?????D.?-2
【答案】
C
例5、（2021七上·海陵期末）若
是关于x的一元一次方程，则m的值是________.
【答案】
-1
例6、（2020七上·泰兴期中）若（a﹣2）x|a|﹣1﹣7＝0是一个关于x的一元一次方程，则a=________.
【答案】
－2
例7、在①x+1；②3x﹣2=﹣x；③|π﹣3|=π﹣3；④2m﹣n=0，等式有?________，方程有 ?________．（填入式子的序号）
【答案】
②③④；②④
例8、已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值．
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值．
【答案】
解：（1）∵方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，∴3m﹣4=0．解得：m=
．
将m=代入得：﹣x﹣=﹣
．
解得x=﹣
．
（2）∵将m=代入得：|2n+|=1．
∴2n+=1或2n+=﹣1．
∴n=﹣或n=﹣
．
【同步演练】
1、（2020七上·盐城期中）下列方程中，是一元一次方程的是（??
）
A.????B.????C.????D.?
【答案】
C
2、已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A.?2????B.?3?????C.?4?
?D.?5
【答案】
B
3、若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A.?x=0???B.?x=3???C.?x=-3???D.?x=2
【答案】
A
4、（2020七上·睢宁月考）若
是关于
的一元一次方程，则
的值为________.
【答案】
-3
5、（2020七上·南通期中）若方程
是关于x的一元一次方程，则a等于________
【答案】
-3
6、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？
（1）3=2x﹣1；
（2）x+2y=7；
（3）x2+5x﹣1=5；
（4）x2=y2+2y；
（5）x﹣π=3；
（6）3m+5=﹣4；
（7）﹣=1．
【答案】
解：（1）未知数是x，方程的左边是3，方程的右边是2x﹣1，它是一元一次方程；
（2）未知数是x、y，方程的左边是x+2y，方程的右边是7，它不是一元一次方程；
（3）未知数是x，方程的左边是x2+5x﹣1，方程的右边是5，它不是一元一次方程；
（4）未知数是x，y，方程的左边是x2
，
方程的右边是y2+2y，它不是一元一次方程；
（5）未知数是x，方程的左边是x﹣π，方程的右边是3，它是一元一次方程；
（6）未知数是m，方程的左边是3m+5，方程的右边是﹣4，它是一元一次方程；
（7）未知数是a，方程的左边是﹣?，方程的右边是1，它是一元一次方程．
要点2：等式的概念与性质
【要点梳理】
一、等式的概念：
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
二、等式的性质
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，
注意：
⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边
⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果，那么．
传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换
【典型例题】
例1、（2021七上·兴化期末）已知关于
的一元一次方程
的解是
，则
的值为（???
）
A.?-5???B.?-1???C.?1????D.?5
【答案】
C
例2、（2021七上·昆山期末）若关于
的方程
的解是
，则代数式
的值为（?
）
A.?-6????B.?0????C.?12????D.?18
【答案】
A
例3、（2020七上·江阴月考）下列等式变形中，错误的是（??
）
A.?由a=b，得a+5=b+5??????B.?由–3x=–3y，得x=y
C.?由x+m=y+m，得x=y?????D.?由a=b，得
【答案】
D
例4、（2019七上·崇川月考）下列变形符合等式基本性质的是（??
）
A.?如果2a－b＝7，那么b＝7－2a??????B.?如果mk＝nk，那么m＝n
C.?如果－3x＝5，那么x＝5＋3??????D.?如果－
a＝2，那么a＝－6
【答案】
D
例5、已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式的值．
【答案】
解：∵（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，
∴m2﹣1=0，
∴m=±1．
当m=1时，x=4．
∴=?
，
当m=﹣1时，x无解，
∴不存在．
综上所述，=?．
【同步演练】
1、（2019七上·扬州月考）下列变形符合等式基本性质的是（??
）
A.?如果
，那么
???B.?如果
，那么
C.?如果
，那么
???D.?如果
，那么
【答案】
D
2、（2018七上·姜堰月考）下列判断错误的是（???
）
A.?若
，则
?????B.?若
，则
C.?若
，则
?????D.?若
，则
【答案】
D
3、（2018七上·无锡月考）下列根据等式的性质变形不正确的是（???
）
A.?由x+2=y+2，得到x=y???????B.?由2a﹣3=b﹣3，得到2a=b
C.?由cx=cy，得到x=y????????D.?由x=y，得到x+2=y+2
【答案】
D
4、（2019七上·秦淮期末）下列等式变形正确的是（?????
）.
A.?如果mx＝my，那么x＝y??????B.?如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝y
C.?如果－
x＝8，那么x＝－4???D.?如果x－2＝y－2，那么x＝y
【答案】
D
【课后巩固】
1、（2020七上·无锡期末）下列方程为一元一次方程的是（
???）
A.???B.???C.???D.?
【答案】
A
2、下列方程=x，=2，x2﹣3x=1，x+y=2是一元一次方程的有（ ）个．
A.?1???B.?2????C.?3???D.?4
【答案】
A
3、对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（ ）
A.?当a≠0时，方程的解是x=?????B.?当a=0，b≠0时，方程有无数解
C.?当a=0，b=0，方程无解???????D.?以上都不正确
【答案】
D
4、（2020七上·南通期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（??
）
A.?如果
，那么
??B.?如果
那么
C.?如果
那么
?????D.?如果
，那么
【答案】
C
5、（2020七上·无锡月考）下列变形不正确的是（??
）
A.?若a＝b，则2a＝a+b??????B.?若
a＝b，则a﹣b＝0
C.?若
，则a＝b??????D.?若ac＝bc，则a＝b
【答案】
D
6、（2018七上·南京期中）下列等式变形正确的是（??
）．
A.?如果mx＝my，那么x＝y????????B.?如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝y
C.?如果－
x＝8，那么x＝－4??????D.?如果x－2＝y－2，那么x＝y
【答案】
D
7、（2020七上·江阴月考）关于x的方程（2m﹣6）x|m﹣2|﹣2=0是一元一次方程，则m=_______.
【答案】
1
8、（2019七上·广陵月考）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝m﹣2是关于x的一元一次方程，则m＝_______.
【答案】
-3
9、（2019七上·崇川月考）已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+5=3k是一元一次方程，则k=_______.
【答案】
-2
10、在①2x﹣1；②2x+1=3x；③|π﹣3|=π﹣3；④t+1=3中，等式______方程有______（填入式子的序号）
【答案】
②③④；②④
11、已知x2m﹣3+6=m是关于x的一元一次方程，试求代数式（m﹣3）2013的值．
【答案】
解：∵x2m﹣3+6=m是关于x的一元一次方程，
∴2m﹣3=1，
解得m=2，
∴（m﹣3）2013=（2﹣3）2013=﹣1．
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第4单元
第1节：一元一次方程定义、等式性质
要点1：一元一次方程定义
【要点梳理】
一、方程和它的解
1、方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。
3、关于方程中的未知数和已知数：
已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示．
未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．
二、一元一次方程的概念：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．
三、一元一次方程的形式：
最简形式：方程(，，为已知数)叫一元一次方程的最简形式．
标准形式：方程(其中，，是已知数)叫一元一次方程的标准形式．
【典型例题】
例1、（2021七上·阜宁期末）下列方程中，是一元一次方程的是（??
）
A.?3x+2y=0????B.???C.?
=1?????D.?3x－5=3x+2
例2、（2020七上·泰兴期中）下列说法正确的是（??
）
A.?带负号的数一定是负数.?????B.?方程
是一元一次方程.
C.?数轴上的点都表示有理数.??D.?单项式
的次数是2.
例3、（2018七上·宿迁期末）在方程：3x－y＝2，
＋
＝0，
＝1，3x2＝2x＋6中，一元一次方程的个数为(
??)
A.?1个?????B.?2个????C.?3个????D.?4个
例4、关于x的方程（a﹣1）x2+x+a2﹣4=0是一元一次方程，则方程的解为（ ）
A.?1?????B.?2?????C.?3?????D.?-2
例5、（2021七上·海陵期末）若
是关于x的一元一次方程，则m的值是________.
例6、（2020七上·泰兴期中）若（a﹣2）x|a|﹣1﹣7＝0是一个关于x的一元一次方程，则a=________.
例7、在①x+1；②3x﹣2=﹣x；③|π﹣3|=π﹣3；④2m﹣n=0，等式有?________，方程有________．（填入式子的序号）
例8、已知方程（3m﹣4）x2﹣（5﹣3m）x﹣4m=﹣2m是关于x的一元一次方程，
（1）求m和x的值．
（2）若n满足关系式|2n+m|=1，求n的值．
【同步演练】
1、（2020七上·盐城期中）下列方程中，是一元一次方程的是（??
）
A.????B.????C.????D.?
2、已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④x2﹣4x=3；⑤x=6；⑥x+2y=0．其中一元一次方程的个数是（ ）
A.?2????B.?3?????C.?4?
?D.?5
3、若关于x的方程mxm﹣2﹣m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（ ）
A.?x=0???B.?x=3???C.?x=-3???D.?x=2
4、（2020七上·睢宁月考）若
是关于
的一元一次方程，则
的值为________.
5、（2020七上·南通期中）若方程
是关于x的一元一次方程，则a等于________
6、指出下列方程中的未知数是什么，方程的左边是什么．方程的右边是什么？并且判断它否是一元一次方程？
（1）3=2x﹣1；
（2）x+2y=7；
（3）x2+5x﹣1=5；
（4）x2=y2+2y；
（5）x﹣π=3；
（6）3m+5=﹣4；
（7）﹣=1．
要点2：等式的概念与性质
【要点梳理】
一、等式的概念：
用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．
等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．
二、等式的性质
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，
注意：
⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．
即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边
⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．
⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果，那么．
传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换
【典型例题】
例1、（2021七上·兴化期末）已知关于
的一元一次方程
的解是
，则
的值为（???
）
A.?-5???B.?-1???C.?1????D.?5
例2、（2021七上·昆山期末）若关于
的方程
的解是
，则代数式
的值为（?
）
A.?-6????B.?0????C.?12????D.?18
例3、（2020七上·江阴月考）下列等式变形中，错误的是（??
）
A.?由a=b，得a+5=b+5??????B.?由–3x=–3y，得x=y
C.?由x+m=y+m，得x=y?????D.?由a=b，得
例4、（2019七上·崇川月考）下列变形符合等式基本性质的是（??
）
A.?如果2a－b＝7，那么b＝7－2a??????B.?如果mk＝nk，那么m＝n
C.?如果－3x＝5，那么x＝5＋3??????D.?如果－
a＝2，那么a＝－6
例5、已知（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式的值．
【同步演练】
1、（2019七上·扬州月考）下列变形符合等式基本性质的是（??
）
A.?如果
，那么
???B.?如果
，那么
C.?如果
，那么
???D.?如果
，那么
2、（2018七上·姜堰月考）下列判断错误的是（???
）
A.?若
，则
?????B.?若
，则
C.?若
，则
?????D.?若
，则
3、（2018七上·无锡月考）下列根据等式的性质变形不正确的是（???
）
A.?由x+2=y+2，得到x=y???????B.?由2a﹣3=b﹣3，得到2a=b
C.?由cx=cy，得到x=y????????D.?由x=y，得到x+2=y+2
4、（2019七上·秦淮期末）下列等式变形正确的是（?????
）.
A.?如果mx＝my，那么x＝y??????B.?如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝y
C.?如果－
x＝8，那么x＝－4???D.?如果x－2＝y－2，那么x＝y
【课后巩固】
1、（2020七上·无锡期末）下列方程为一元一次方程的是（
???）
A.???B.???C.???D.?
2、下列方程=x，=2，x2﹣3x=1，x+y=2是一元一次方程的有（ ）个．
A.?1???B.?2????C.?3???D.?4
3、对于ax+b=0（a，b为常数），表述正确的是（ ）
A.?当a≠0时，方程的解是x=?????B.?当a=0，b≠0时，方程有无数解
C.?当a=0，b=0，方程无解???????D.?以上都不正确
4、（2020七上·南通期中）运用等式性质进行的变形，正确的是（??
）
A.?如果
，那么
??B.?如果
那么
C.?如果
那么
?????D.?如果
，那么
5、（2020七上·无锡月考）下列变形不正确的是（??
）
A.?若a＝b，则2a＝a+b??????B.?若
a＝b，则a﹣b＝0
C.?若
，则a＝b??????D.?若ac＝bc，则a＝b
6、（2018七上·南京期中）下列等式变形正确的是（??
）．
A.?如果mx＝my，那么x＝y????????B.?如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝y
C.?如果－
x＝8，那么x＝－4??????D.?如果x－2＝y－2，那么x＝y
7、（2020七上·江阴月考）关于x的方程（2m﹣6）x|m﹣2|﹣2=0是一元一次方程，则m=_______.
8、（2019七上·广陵月考）已知方程（m﹣3）x|m|﹣2+4＝m﹣2是关于x的一元一次方程，则m＝_______.
9、（2019七上·崇川月考）已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+5=3k是一元一次方程，则k=_______.
10、在①2x﹣1；②2x+1=3x；③|π﹣3|=π﹣3；④t+1=3中，等式______方程有______（填入式子的序号）
11、已知x2m﹣3+6=m是关于x的一元一次方程，试求代数式（m﹣3）2013的值．
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