人教版九年级上册数学22.1.1 二次函数教案

第二十二章
二次函数的图象和性质
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1
二次函数
一、教学目标
1．理解二次函数的概念．
2．掌握二次函数的形式．
二、教学重点及难点
重点：对二次函数概念的理解，初步学会用函数描述实际问题中两个变量之间的关系．
难点：由实际问题确定函数解析式和函数自变量的取值范围．
三、教学用具
多媒体课件。
四、相关资源
《函数复习》动画，《正方体表面展开》动画，《球队比赛》动画。
五、教学过程
【温故知新】
什么叫函数？我们之前学过了哪些函数？它们的形式是怎样的？
师生活动：教师用多媒体出示问题，学生回顾旧知，回答问题．全班订正，不足之处教师补充．
小结：若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们就说y是x的函数，x叫做自变量．我们之前学过一次函数，它的形式是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．
设计意图：复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解，目的是与二次函数进行比较．
【合作探究】
1．引言抛出课题
思考：如果改变正方体的棱长x，那么正方体的表面积y也会随之改变．y与x之间有什么关系？
师生活动：抛出实际生活中的问题，学生思考，培养学生发现问题，解决问题的能力．教师引导学生：设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x之间的关系式为y=6x2．教师总结对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数．引出课题．
2．合作探究概念
问题1
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
师生活动：学生思考问题，列出关系式．教师巡查，指导不会列关系式的学生．教师总结比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．
小结：每个队要与其他（n－1）个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即．
比赛的场次数m与球队数n的关系，对于n的每一个值，m都有一个对应值，即m是n的函数．
问题2
某种产品现在的年产量是20
t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
师生活动：教师利用多媒体出示自学提纲：如果每年都比上一年的产量增加x倍，则一年后的产量是现在产量的________倍，这种产品现在的年产量是20
t，一年后的产量是__________t．两年后的产量又是一年后产量的__________倍，所以两年后的产量是___________t，即y与x之间的关系式可表示为________________________．
学生小组合作交流、讨论，根据自学提纲填空．教师巡查，督促学生思考，对自学有困难的学生给予个别指导．
小结：这种产品现在的年产量是20
t，一年后的产量是20(1＋x)t．再经过一年后产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量是
t，即．
两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系式中，对于x的每一个值，y都有一个对应值，所以y是x的函数．
设计意图：本问题有一定难度，通过自学提纲，让学生有目的的去学习，查找自己所要问题的答案并记录自己的不解与困惑，这就让每一个学生都动起来了，发挥了学生学习的主动性和积极性，培养学生的自主学习能力．
问题3
上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
师生活动：让学生充分发表意见，提出各自看法．教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都可以化为y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的形式．教师提醒学生切不可忽视a≠0．
小结：一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic
function)．其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
设计意图：结合实例更利于学生理解和接受二次函数的概念．
问题4
为什么二次函数的定义中要求a≠0？b和c是否可以为零？
师生活动：学生小组交流、讨论，一学生回答，教师聆听，订正．
小结：若a=0，b不为0，则ax2＋bx＋c就不是关于x的二次多项式了，是关于x的一次多项式，所以当a=0，b不为0时，y=ax2＋bx＋c是一次函数．
由引言可知，b和c均可为零．
若b=0，则y=ax2＋c；
若c=0，则y=ax2＋bx；
若b=c＝0，则y=ax2．
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2＋bx＋c是二次函数的一般形式．
设计意图：这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握其特征，为接下来判断一个函数是否是二次函数作好铺垫．
【例题分析】
例
下列函数是否是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数和常数项．
（1）y=3(x－1)2＋1；
（2）y=x＋；
（3）s=3－2t2；
（4）y=(x＋3)2－x2；
（5）y=－x；
（6）v=8πr2．
师生活动：小组交流、讨论，学生尝试解答．教师引导学生先把解析式化成一般式，再对比二次函数的概念求解．
解：（1）y=3(x－1)?＋1=3(x2－2x＋1)＋1=3x2－6x＋4是二次函数．
二次项系数是3，一次项系数是－6，常数是4．
（2）y=x＋不是二次函数．
（3）s=3－2t2是二次函数．
二次项系数是－2，一次项系数是0，常数是3．
（4）y=(x＋3)2－x2=x2＋6x＋9－x2=6x＋9不是二次函数．
（5）y=－x不是二次函数．
（6）v=8πr2是二次函数．
二次项系数是8π，一次项系数是0，常数是0．
设计意图：理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践中．
【练习巩固】
1．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是(　
)．
A．y=(m－1)2x2
B．y=(m＋1)2x2
C．y=(m2＋1)x2
D．y=(m2－1)x2
2．把一根长为50
cm的铁丝弯成一个长方形．设这个长方形的一边长为x
cm，面积为
y
cm2，则y与x之间的函数关系式为(　
)．
A．y=－x2＋50x
B．y=x2－50x
C．y=－x2＋25x
D．y=－2x2＋25
3．若函数是二次函数，则m的值是　　　　．
4．函数（m为常数），
（1）当m______时，这个函数为二次函数；
（2）当m______时，这个函数为一次函数．
5．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)y=1－x2．
6．某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x
m，宽为y
m，面积为S
m2（x＞y）．
（1）如果用18
m的建筑材料来修建绿地的边缘（即周长），求S与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18
m2，在满足（1）的条件下，矩形的长和宽各为多少米？
7．如图，用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD．设AB边长为x
m，求菜园的面积y(m2)与x(m)的关系式．
参考答案
1．C
2．
C
3．5
4．解：（1）当m≠2时，这个函数为二次函数；
（2）当m=2时，这个函数为一次函数．
5．解：（1）的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，0．
（2）y=1－x2的二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1，0，1．
6．解：（1）由题意，得2x＋2y=18，y=9－x．
∵x＞y＞0，
∴x的取值范围是4.5＜x＜9．
∴（4.5＜x＜9）．
（2）当矩形面积
m2时，即，
解得．
当x=3时，y=9－3=6，但y＞x，不合题意，舍去；
当x=6时，y=9－6=3．
所以当所修建的绿地面积为18
m2时，矩形的长为6
m，宽为3
m．
7．解：因为菜园的形状为矩形，设AB边长为x
m，所以BC边长为m．
所以菜园的面积为x·(0＜x＜30)．
所以菜园的面积y(m2)与x(m)的关系式为y=(0＜x＜30)，即
(0＜x＜30)．
设计意图：帮助学生消化、理解及巩固所学的新知识，促进解题技能、技巧的形成，实现知识迁移和能力的发展，加深了二次函数的概念的理解．
六、课堂小结
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic
function)．其中，x是自变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
设计意图：让学生对所学知识及其本质内容进行再认识，对自己掌握的知识，按照自己的思维方式归类，重新整合，构建符合自己的知识体系．培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化．而且由此可以了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充．
七、板书设计
22.1
二次函数的图象和性质
——22.1.1
二次函数
1．二次函数的概念
2．二次函数的形式