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北师版九年级上册数学2.5
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
课题
2.5
一元二次方程的根与系数的关系
单元
二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。2.经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养创新意识和创新精神。
重点
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的运用．
难点
能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
教师提问问题。1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程根的判别式是什么？3.一元二次方程的求根公式是什么？通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?
学生思考回答问题。
讲授新课
在练习本上解下面的方程。(1)x2-2x+1=0
(2)x2-x-1=0
(3)2x2-3x+1=0教师指名学生回答问题。订正答案。（1）x1=1，x2=1（2）x1=，x2=（3）x1=1，x2=师：计算上面每个方程的两根之和与两根之积，将下表填写完整。方程两根之和
两根之积x1+x2x1·x2x2-2x+1=0x2-x-1=02x2-3x+1=0思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？你有什么发现？x2-2x+1=0→a=_____，b=_____，c=_____x1+x2=2=(
)x1·x2=1=(
)看看另外两个方程是否也符合上面的规律？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？小组合作：证明上面的这一结论。一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时有两个根：∴x1+x2
∴x1·x2总结归纳一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：如果一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
有两个实数根x1，x2，那么
x1+x2
，x1·x2【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
+
7x
+
6
=
0
（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.（1）解：已知a=1
,
b=7
,
c=6.Δ=
b2
-4ac=72
-4×1×6=25
>
0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是
x1,
x2，
那么x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.（2）解：已知a=2,b=-3,c
=-2.Δ=b2
-4ac=(-3)2
-
4×2×(-2)
=25
>
0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么x1
+
x2=
,
x1
x2
=
-1
.例
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
分析：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之积可求出另一根，再运用两根之和求出常数项中k的值．解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
所以：x1
·
x2=2x2=
即：x2=由于x1+x2=2+=
得：k=－7.答：方程的另一个根是，k=－7.总结归纳已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
学生用所学的方法解三个一元二次方程。学生通过解方程,观察它们两根的和、积与前面系数的关系,可以发现这三个方程的二次项系数均为1,此时它们两根的和等于一次项系的相反数,两根的积等于常数项。学生通过小组合作证明上面的结论。学生在教师的引导下总结归纳。做课本例题。课外例题，小组探讨。学生总结归纳例题的解题方法。
通过引导让学生在二次项系数是1的方程中发现一元二次方程根与系数的关系,并证明这个结论,体会观察一猜想一验证一归纳。通过讨论合作探究让学生经历从特殊到一般的探究过程,明确一元二次方程根与系数的关系。对学生用方法1这种蕴含化未知为已知数学思想的证明给予充分肯定。学生通过练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识,及时总结易错点让学生减少错误几率。让学生通过课外练习进一步巩固对一元二次方程的根与系数关系认识。
课堂练习
1.若x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为( A )A．－5
B．5
C．－4
D．42.若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是( A )A．x2－3x＋2＝0
B．x2＋3x－2＝0C．x2＋3x＋2＝0
D．x2－3x－2＝03.
下列方程两根之和是－2的是( C )A．x2＋3x＋2＝0
B．x2－3x－2＝0C．x2＋2x－3＝0
D．x2－2x＋3＝04.不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：（1）x2－2x＝5； （2）3x2＋2x＝2(x＋1)．(1)解：原方程变形为x2－2x－5＝0，x1＋x2＝2，x1x2＝－5.(2)解：原方程变形为3x2－2＝0，x1＋x2＝0，x1x2＝
.5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)＝2m2＋4m－1.∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.又∵方程有两个实数根，∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥
.∴m＝2.6.【2020·遵义】已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，则x12＋x22的值为( D )A．5
B．10
C．11
D．137.【2020·玉林】若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是( A )A．4
B．2
C．1
D．－2
学生根据本节课学习内容做练习。
及时巩固当堂所学内容，
课堂小结
本节课你学到了什么？
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：如果一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的两个实数根x1，x2，那么
x1+x2
，x1·x22．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0
时，才能应用根与系数的关系.
通过小结使学生梳理本节所学内容,把握本节课的核心---一元二次方程根与系数的关系并体验教学活动充满着探索性与创造性。
板书
课题：2.5
一元二次方程的根与系数的关系一、x1+x2
二、x1·x2三、已知方程的一根求另一根
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精品试卷·第
2
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2.5
一元二次方程的根与系数的关系
北师版
九年级上
新知导入
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程根的判别式是什么？
3.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；
b2－4ac
新知导入
通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式.
除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?
新知讲解
在练习本上解下面的方程。
(1)x2-2x+1=0
(2)x2-
x-1=0
(3)2x2-3x+1=0
x1=
x2=
x1=1
x2=1
x1=1
x2=
新知讲解
计算上面每个方程的两根之和与两根之积，将下表填写完整。
方程
两根之和
两根之积
x1+x2
x1·x2
x2-2x+1=0
x2-
x-1=0
2x2-3x+1=0
2
1
-1
思考：每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？
新知讲解
你有什么发现？
x2-2x+1=0
a=_____，b=_____，c=_____
x1+x2=2=(
)
x1·x2=1=(
)
1
-2
1
看看另外两个方程是否也符合上面的规律？
新知讲解
对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
小组合作：证明上面的这一结论。
新知讲解
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时有两个根：
新知讲解
总结归纳
一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系：
如果一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
有两个实数根x1，x2，那么
x1+x2=
，x1·x2=
【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0
新知讲解
例
利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2
+
7x
+
6
=
0
（2）2x2
-
3x
-
2
=
0.
解：已知a=1
,
b=7
,
c=6.
Δ=
b2
-4ac=72
-4×1×6
=25
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2，
那么x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.
解：已知a=2,b=-3,c
=-2.
Δ=b2
-4ac=(-3)2
-
4×2×(-2)
=25
>
0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么x1
+
x2
=
,
x1
x2
=
-1
.
新知讲解
例
已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
所以：x1
·
x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+
=
得：k=－7.
答：方程的另一个根是
，k=－7.
分析：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之积可求出另一根，再运用两根之和求出常数项中k的值．
新知讲解
已知方程的一根求另一根，可以直接代入，先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．
也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
总结归纳
课堂练习
1.若x1，x2是一元二次方程x2－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为
( )
A．－5
B．5
C．－4
D．4
A
2.若x1＋x2＝3，x12＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是
( )
A．x2－3x＋2＝0
B．x2＋3x－2＝0
C．x2＋3x＋2＝0
D．x2－3x－2＝0
A
课堂练习
3.
下列方程两根之和是－2的是( )
A．x2＋3x＋2＝0
B．x2－3x－2＝0
C．x2＋2x－3＝0
D．x2－2x＋3＝0
C
课堂练习
4.不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－2x＝5； （2）3x2＋2x＝2(x＋1)．
解：原方程变形为
x2－2x－5＝0，
x1＋x2＝2，
x1x2＝－5.
解：原方程变形为
3x2－2＝0，
x1＋x2＝0，
x1x2＝
.
拓展提高
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
解：根据一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1)
＝2m2＋4m－1.
∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2.
拓展提高
5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值．
又∵方程有两个实数根，
∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥
.
∴m＝2.
中考链接
6.【2020·遵义】已知x1，x2是方程x2－3x－2＝0的两根，
则x12＋x22的值为( )
A．5
B．10
C．11
D．13
D
中考链接
7.【2020·玉林】若一元二次方程x2－x－2＝0的两根为x1，x2，
则(1＋x1)＋x2(1－x1)的值是( )
A．4
B．2
C．1
D．－2
A
课堂总结
本节课你学到了什么？
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0
时，才能应用根与系数的关系.
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
如果x1，x2是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
的两个根，那么
x1+x2=
，x1·x2=
板书设计
课题：2.5
一元二次方程的根与系数的关系?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、
二、
三、已知方程的一根求另一根
作业布置
课本
P50
练习题
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