人教版数学九年级上册22.1.1二次函数学案（word版）

二次函数
学习目标：1．经历探索、分析和建立二次函数的过程，进一步体验如何用数学方法描述两变量之间的关
系．
2．通过实际问题的解决，体会到引入二次函数的必要性．
3．掌握二次函数的特征，了解二次函数与一次函数、反比例函数的联系和区别．
4．会把二次函数化为一般形式．
学习重点：1．二次函数概念的建立过程．
2．把二次函数化为一般式，并正确判定a、b、c．
学习难点：从实际问题中建立二次函数关系式．
学习过程：
一、学前准备
1．?
下列函数中，是二次函数的有
，是一次函数的有
，是反比例函数的有
．（填序号）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）
2．的一般形式为
，其中
，
，
．
3．一块矩形草地，它的长比宽多2，设它的长为，面积为．
（1）写出与的函数关系式．
（2）它是二次函数吗？若是指出它的二次项系数，一次项系数和常数项．
二、思索、交流
1．你还记得这样的情景吗？当鱼儿跃出平静的水面时，水面会泛起层层圆形波纹，圆形波纹的面积随半径的增大也在不断增大．
（1）写出圆的面积（）与圆的半径（）之间的关系式．
（2）请填写下表，．
x／cm
…
1
2
3
4
5
6
…
y／cm2
通过表格请你说出y随x的变化而如何变化？
2．如图小亮家去年建了一个周长为80m的矩形养鱼池．
⑴
如果设矩形的一边长为x
m，矩形的面积为y
m2，求y与x的函数关系式．.
(2)
根据上面的表达式填写下表：
x／m
…
5
15
20
25
30
35
…
y／cm2
(3)
通过表格请你说出y随x的变化而如何变化？
（4）通过表格或y随x的变化规律你判断有最
值（填“大或小”）是
．
2、某种商品的进价为90元/件，最初的售价为100元/件，后来提价销售，经统计售价和月销售量，得到下面的数据表：
售价（元/件）
100
101
102
103
…
月销售量（件）
500
490
480
470
…
（1）从表格中，你能获得信息
；
．（填两条即可）．
（２）当售价为x元/件,设每月销售这种商品可获得的总利润为y元，用x表示y的表达式为y=_____________________；化简为y=________________．
某商品的进价为每件90元．最初售价为每件100元，后来提价销售．经统计售价与月销售量，得到下列数据表：
（1）猜测月销售量（y）与售价（x）之间的函数关系式？
（2）求利润（w）与销售价（x）之间的函数关系式？
（3）当x为何值时，利润最大？最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（1）由表格中的数据可判断出月销售量（y）与售价（x）成一次函数的关系，设y=kx+b，代入求得函数关系式．
（2）按照等量关系“利润=（销售价-进价）×月销售量”列出函数关系式．
（3）根据（2）中的函数关系式，求得函数的最值．解答：解：（1）设月销售量（y）与售价（x）之间的函数关系式满足y=kx+b，
将（100，500）、（101，490）代入：
，
解得：
．
则月销售量（y）与售价（x）之间的函数关系式为y=-10x+1500．
（2）由题意得：
利润W=（x-90）（-10x+1500）=-10x2+2400x-135000．
（3）由（2）求得的函数关系式
W=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000．
∴当x=120时，利润最大，最大利润是9000．
（3）根据上面得到的表达式填写下表：
x
10
15
20
25
30
…
y
?
?
?
?
?
（4）比较一下，上表中的x＝　　　　　时，获得的总利润y最大？
问题：
从以上三个问题中，我们得到了三个表达式：
y=-x2+40x，y=-10x2+400x+5000,观察上述三个函数表达式，它们有什么共同点？
共同特征：___________________
．
定义：一般地，如果两个变量y与x之间的函数关系可以表示成
那么称是的二次函数．
二次函数的一般形式：
．
三、知识点：
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．
四、基本知识练习
1．观察：①y＝6x2；②y＝－x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2、函数y=ax?+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
3．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
4．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y＝1－3x2
（2）y＝3x2＋2x
（3）y＝x
(x－5)＋2
（4）y＝3x3＋2x2
（5）y＝x＋
五．典型例题
1．下列哪些是二次函数的有
（填序号）
2．已知函数（k为常数）
（1）当为何值时，它是二次函数？（2）当为何值时，它是一次函数？
5、已知二次函数y=x?+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-
5,
求这个二次函数的解析式.
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：
1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价－进价)×销售量]
2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?
[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]
3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?
[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，
[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]
5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x)
(100＋100x)(0≤x≤2)]
将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：
y=－100x2＋100x＋20D
(0≤x≤2)
六、课堂训练
1．y＝(m＋1)x－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（
）
A．y＝x＋
B．
y＝3
(x－1)2
C．y＝(x＋1)2－x2
D．y＝－x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（
）
A．28米
B．48米
C．68米
D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．
求：（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当y＝－时，x的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x
m，绿化带的面积为y
m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
七、目标检测
1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（
）
A．a＝1
B．a＝±1
C．a≠1
D．a≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（
）
A．y＝x2－1
B．y＝x－1
C．y＝
D．y＝
3．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求
这个二次函数解析式．
5.已知商场童装组在销售是发现一种品牌的童装进价40元，原来每件卖50元，每天可以卖出100件，如果每降价1元，那么每天可以多卖出3件，为了迎接儿童节，商场准备降价销售，那么为了取得最大利润y元，每件童装应降x元，请用x表示y，若是的二次函数，请化为一般形式，并指出它的
四、解决问题
在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长与宽的比是2：1，已知下班的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元，设制作这面镜子的总费用为y元，镜子的宽为x米。
（1）求y与x的函数关系式，若它是二次函数，把它化一般形式。
（2）如果制作这面镜子共花去195元，求这面镜子的长与宽。
五、课堂小结
1、本节课你学习了哪些主要内容：
．
2、我的困惑：
．
思考：如图：等腰三角形ABC以2厘米/秒的速度沿直线向正方形移动，直到AB与CD（AB=CD）重合．设秒时，三角形与正方形的重叠面积为平方厘米．
（1）
写出与的函数关系式；
（1）
当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
x经x
m
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ａ
Ｃ
４
４