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北师版九年级上册数学2.6
应用一元二次方程教学设计
课题
2.6
应用一元二次方程
单元
二单元
学科
数学
年级
九
学习目标
1.会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.2.经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼析问题，解决问题的能力.3.通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
重点
列一元二次方程解应用题.
难点
能正确理解、有效寻找实际问题中的数量关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师提问：想一想：通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？教师指名学生回答问题。师：列一元一次方程解应用题分几步呢？应注意哪些？①审题②设出未知数③找等量关系④列方程⑤解方程⑥作答
学生思考回答问题。
通过回忆之前的学习内容，为后面的学习新内容做铺垫。
讲授新课
（1）如图，一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为8
m.
如果梯子的顶端下滑1
m时，梯子底端滑动的距离大于1
m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？小组合作：思考下面三个问题。
（1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？（2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？如何建立方程？（3）方程的解是否都符合题意？解：设梯子顶端下滑x
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.由勾股定理可得开始时梯子底端与墙面的水平距离为6
m.根据勾股定理得，(8-x)2+(6+x)2=102,解得，x1=0,x2=2,根据题意x1=0舍去，所以x=2.答：当梯子顶端下滑2
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.（2）如果梯子的长为13
m，梯子顶端与地面的垂直距离为12
m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？解：设梯子顶端下滑x
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.则(12-x)2+(5+x)2=132,解得，x1=0,x2=7,根据题意x1=0舍去，所以x=7.答：当梯子顶端下滑7
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。例1
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200
海里处有一重要目标B，在B的正东方向200
海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1
海里）解：连接DF.∵AD=CD
,
BF=CF，∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB，且DF=AB，∵AB⊥BC,
AB
=
BC
=200n
mile,∴DF⊥BC,
DF
=100n
mile,BF
=100n
mile.设相遇是补给船航行了x
n
mile，那么DE
=
x
n
mile
,
AB+BE
=
2x
n
mile,EF=AB+BF-(AB
+
BE)
=(300
-
2x)n
mile.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2
=
1002
+
(300
-
2x)2.整理得：
3x2
-
1200x+100000
=
0
,解方程得
(不合题意，舍去)总结归纳列方程解应用题的一般步骤：审：审清题意：已知什么？求什么？已知、未知之间有什么关系？设：设未知数，语句要完整；（可以直接设：问什么设什么；也可以间接设.）列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等量关系列方程；解：解所列的方程；验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意；答：答案也必须是完整的语句.例2
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2
500元.调查发现，当销售价为2
900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5
000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5
000元如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是
元，每台冰箱的销售利润为
____________________元，平均每天销售冰箱的数量为
台.解：设每台冰箱降价x元，由题意得：
解方程，得x1=x2=150.经检验x1=x2=150符合题意，是原方程的解.定价为2
900-150=2
750（元）.答：每台冰箱的定价应为2
750元.【做一做】某商场将进货价为30元的台灯按40元出售，平均每月能卖600个，调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就要减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？分析：设商品售价为x元，则每个商品得利润________元，因为每涨价1元，其销售会减少10个，其销售量会减少_____________个，故销售量为__________________个，根据每件商品的利润×销售量=10000，则______________________________________.解：设商品售价为x元，则销售价为(40+x)元，销售量为(600-10x)个，则[600－10（x-40）]·
(x-30)=10000，整理得
x2－130x+4000=0，
解得x1=50，x2=80（舍去）.当x=50时，600-10（x-40）=600-10（50-40）=500（个）；答：要想赚10000元，售价定为50元；这时进货量应为500个.
学生分组讨论:
①怎么设未知数 在这个问题中存在怎样的等量关系 如何利用勾股定理来列方程 ②涉及到解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底是多少.学生从以下方面归纳总结:1列方程解应用题的关键;2列方程解应用题的步骤.
该部分是学习中的难点,在教学中要给学生充分的时间去审清题意,分析各量之间的关系,不能粗线条解决,在讲解过程中可逐步分解难点:
①审清题意:
②找准各条有关线段的长度关系:
③建立方程模型,之后求解.
以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材,以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点,用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望,用学生已有的知识为支点,进一步让学生体会数形结合的思想,大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考,能够在老师的引导下主动地探究问题,取得了比较理想的效果,而且也调动了学生的学习热情,激发了学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础.解决实际应用问题的关键是审清题意,因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意,让学生自己反复审题,弄清各量之间的关系,分析题目中的已知条件和要求解的问题,并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量,弄清它们之间的关系.本题对学生的数学阅读能力有较高要求,结合以前的教学经验,学生理解与解决有困难,所以设置问题串分解难点让学生参与到解决问题的过程中,从而发现题目当中的关键题意,准确的找出等量关系,让学生通过分析,经历将几何语言转化为代数语言的过程,体会根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
课堂练习
1.光彩市场其个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每降低2元，则每周可多卖出20个．若商户计划下周利润达到5
200元，则此电子产品的售价为每个多少元？设销售价格每个降低x元(x为偶数)，则所列方程为( C )A．(80－x)(160＋20x)＝5
200B．(30－x)(160＋20x)＝5
200C．(30－x)(160＋10x)＝5
200D．(50－x)(160＋10x)＝5
2002.如图，在一块长12
m，宽8
m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77
m2，设道路的宽为x
m，则根据题意，可列方程为(12－x)(8－x)＝77．3.如图，某小区有一块长为18
m，宽为6
m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60
m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．解：设人行通道的宽度是x
m，由题意得(18－3x)(6－2x)＝60，解得x1＝1，x2＝8(舍去)．答：人行通道的宽度是1
m.4.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：(1)设一次函数表达式为y＝kx＋b，将x＝2，y＝120和x＝4，y＝140分别代入得解得∴y与x之间的函数表达式为y＝10x＋100.（2）商贸公司要想获利2
090元，则这种干果每千克应降价多少元？解：由题意得(60－40－x)(10x＋100)＝2
090，整理得x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9.∵要让顾客得到更大的实惠，∴x＝9.答：这种干果每千克应降价9元．5.【2020·山西】如图是一张长12
cm，宽10
cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24
cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为_____2___
cm.6.【2020·上海】去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．(1)解：450＋450×12%＝504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得350(1＋x)2＝504，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
学生利用所学知识做练习。
应用问题设置都经过精心准备,通过问题串的设立,将比较复杂、难以理解的题目分成多个小的题目去理解,使学生在不知不觉中克服困难,体会到列方程解应用题的三个重要环节:整体系统的审清题意:寻找等量关系:正确求解并检验解的合理性.采取的是一讲一练,从巩固练习的准确程度上来看,学生掌握得比较好,能够达到预期的效果.
课堂小结
本节课你学到了什么？1.
列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤？审、设、列、解、验、答2.
列方程解实际问题时要注意以下两点：(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获,解题技能方面有哪些提高,还有什么疑难问题希望得到解决。
通过回顾进一步巩固知识,将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中;加深学生利用方程解决实际问题的意识和提高解题的能力。
板书
课题：2.6
应用一元二次方程一、一元二次方程解决实际问题的步骤二、解决几何问题三、解决销售问题
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
2.6
应用一元二次方程
北师版
九年级上
新知导入
想一想：通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？
配方法（直接开平方法）、公式法、因式分解法
列一元一次方程解应用题分几步呢？应注意哪些？
①审题
②设出未知数
③找等量关系
④列方程
⑤解方程
⑥作答
合作探究
（1）如图，一个长为10
m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端与地面的垂直距离为8
m.
如果梯子的顶端下滑1
m时，梯子底端滑动的距离大于1
m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？
新知讲解
小组合作：思考下面三个问题。
（1）梯子底端与墙面的水平距离是多少？怎么求？
（2）此问题的已知量、未知量是什么？相等关系是什么？如何建立方程？
（3）方程的解是否都符合题意？
新知讲解
解：设梯子顶端下滑x
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.
根据勾股定理得，(8-x)2+(6+x)2=102,
解得，x1=0,x2=2,
根据题意x1=0舍去，所以x=2.
答：当梯子顶端下滑2
m时，
梯子底端滑动的距离和它相等.
6m
由勾股定理可得开始时梯子底端与墙面的水平距离为6
m.
x
x
新知讲解
（2）如果梯子的长为13
m，梯子顶端与地面的垂直距离为12
m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
解：设梯子顶端下滑x
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.
则(12-x)2+(5+x)2=132,
解得，x1=0,x2=7,
根据题意x1=0舍去，所以x=7.
答：当梯子顶端下滑7
m时，梯子底端滑动的距离和它相等.
新知讲解
思考：怎样用一元二次方程解决实际问题？步骤是什么？
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即：审、设、列、解、验、答。
这里要特别注意，在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求。
新知讲解
例1
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200
海里处有一重要目标B，在B的正东方向200
海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头，小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.
北
东
A
B
C
D
新知讲解
已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1
海里）
A
B
C
D
E
F
解：连接DF.
∵AD=CD
,
BF=CF，∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥AB，且DF=
AB，
∵AB⊥BC,
AB
=
BC
=200n
mile,
∴DF⊥BC,
DF
=100n
mile，
BF
=100n
mile.
新知讲解
A
B
C
D
E
F
解:
设相遇是补给船航行了x
n
mile，那么
DE
=
x
n
mile
,
AB+BE
=
2x
n
mile,
EF=AB+BF-(AB
+
BE)
=(300
-
2x)n
mile.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2
=
1002
+
(300
-
2x)2.
整理得：
3x2
-
1200x+100000
=
0
,
解方程得
(不合题意，舍去)
新知讲解
总结归纳
列方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意：已知什么？求什么？已知、未知之间有什么关系？
设：设未知数，语句要完整；（可以直接设：问什么设什么；也可以间接设.）
列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等量关系列方程；
解：解所列的方程；
验：检验是否是所列方程的根；是否符合题意；
答：答案也必须是完整的语句.
新知讲解
例2
新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2
500元.调查发现，当销售价为2
900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5
000元，每台冰箱的定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系：
每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5
000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价就是
元，每台冰箱的销售利润为
元，平均每天销售冰箱的数量为
台.
(2
900-x)
(2
900-x-2
500)
新知讲解
解：设每台冰箱降价x元，由题意得：
解方程，得x1=x2=150.
经检验x1=x2=150符合题意，是原方程的解.
定价为2
900-150=2
750（元）.
答：每台冰箱的定价应为2
750元.
新知讲解
【做一做】某商场将进货价为30元的台灯按40元出售，平均每月能卖600个，调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就要减少10个，为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？
分析：设商品售价为x元，则每个商品得利润________元，因为每涨价1元，其销售会减少10个，其销售量会减少_____________个，故销售量为__________________个，根据每件商品的利润×销售量=10000，则______________________________________.
x－30_
[600－10（x-40）]·
(x-30)=10000
10（x-40）_
600-10（x-40）
新知讲解
解：设商品售价为x元，则销售价为(40+x)元，销售量为(600-10x)个，则[600－10（x-40）]·
(x-30)=10000，
整理得
x2－130x+4000=0，
解得x1=50，x2=80（舍去）.
当x=50时，600-10（x-40）=600-10（50-40）=500（个）；
答：要想赚10000元，售价定为50元；这时进货量应为500个.
课堂练习
1.光彩市场其个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每降低2元，则每周可多卖出20个．若商户计划下周利润达到5
200元，则此电子产品的售价为每个多少元？设销售价格每个降低x元(x为偶数)，则所列方程为( )
A．(80－x)(160＋20x)＝5
200
B．(30－x)(160＋20x)＝5
200
C．(30－x)(160＋10x)＝5
200
D．(50－x)(160＋10x)＝5
200
C
课堂练习
2.如图，在一块长12
m，宽8
m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77
m2，设道路的宽为x
m，则根据题意，可列方程为_____________________．
(12－x)(8－x)＝77
课堂练习
3.如图，某小区有一块长为18
m，宽为6
m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60
m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
解：设人行通道的宽度是x
m，
由题意得
(18－3x)(6－2x)＝60，
解得x1＝1，x2＝8(舍去)．
答：人行通道的宽度是1
m.
拓展提高
4.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果的销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2
090元，
则这种干果每千克应降价多少元？
拓展提高
拓展提高
解：由题意得
(60－40－x)(10x＋100)＝2
090，
整理得x2－10x＋9＝0，解得x1＝1，x2＝9.
∵要让顾客得到更大的实惠，
∴x＝9.
答：这种干果每千克应降价9元．
（2）商贸公司要想获利2
090元，则这种干果每千克应降价多少元？
中考链接
5.【2020·山西】如图是一张长12
cm，宽10
cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24
cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________
cm.
2
中考链接
6.【2020·上海】去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
中考链接
(1)解：450＋450×12%＝504(万元)．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
(2)解：设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得350(1＋x)2＝504，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.
课堂总结
本节课你学到了什么？
1.
列一元二次方程解实际应用问题有哪些步骤？
2.
列方程解实际问题时要注意以下两点：
审、设、列、解、验、答
(1)求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义
(2)设未知数可直接设元，也可间接设元.
板书设计
课题：2.6
应用一元二次方程
教师板演区
学生展示区
一、一元二次方程解决实际问题的步骤
二、解决几何问题
三、解决销售问题
作业布置
课本
P55
练习题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
