2.5.2圆与圆的位置关系（教案）-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
教学设计
一、教学目标
1. 理解圆与圆的几种位置关系.
2. 熟练掌握用数量关系来识别两圆的位置关系，由两圆的位置关系得到数量关系.
二、教学重难点
1. 教学重点
圆与圆的位置关系.
2. 教学难点
判断圆与圆的位置关系.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1：设圆的半径为，圆的半径为，如何判断圆与圆的位置关系？
（1）当时，圆和圆外离；
（2）当时，圆和圆外切；
（3）当，圆和圆相交；
（4）当时，圆和圆内切；
（5）当时，圆和圆内含.
问题2：类比运用直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
（二）探索新知
因为两个圆的交点坐标就是两个圆的方程的公共解，所以可以根据两个圆的方程的公共解的个数判断它们之间的关系.具体情形如下：
两圆相交有两组公共解；
两圆相切有一组公共解；
两圆相离没有公共解.
例1 已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.
解法1：将圆与圆的方程联立，得到方程组
①-②，得
由③，得.
把上式代入①，并整理，得.④
方程④的根的判别式，
所以，方程④有两个不相等的实数根.把分别代入方程③，得到.
因此圆与圆有两个公共点，这两个圆相交.
解法2：把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径.
圆与圆的连心线的长为.
圆与圆的两半径之和，两半径长之差.
因为，即，所以圆与圆相交（如图），它们有两个公共点A，B.
例2 已知圆O的直径，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解：如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由，得.
设点M的坐标为，由，得，化简，得，即.
所以点M的轨迹是以为圆心，半径为的一个圆.
因为两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，
又，所以点M的轨迹与圆O相交.
（三）课堂练习
1.圆和的位置关系是( )
A.相交 B.相离 C.内切 D.外切
答案：C
解析：圆的圆心坐标为，半径为2；
圆的圆心坐标为，半径为7.
所以圆心距为，
所以两个圆内切.故选C.
2.若圆与圆相切，则的值为( )
A. B. C.或 D.或
答案：C
解析：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.
①当两圆外切时，有，此时.
②当两圆内切时，有，此时.
综上，当时两圆外切；当时两圆内切.
3.圆与圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：圆与圆的方程相减得.
圆心到直线的距离，
则公共弦长为.故选C.
4.已知两圆和没有公共点，则实数的取值范围为______.
答案：
解析：由已知，得两圆的圆心分别为，半径分别为1，5，
圆心距.
两圆没有公共点，或，
解得或或.
5.已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系.
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）当时，圆的方程为，
圆心为，半径为，
圆的方程为，圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
又，
所以，所以圆和圆相交.
（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：
圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
（四）小结作业
小结：判断圆与圆的位置关系.
作业：
四、板书设计
2.5.2 圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系：
（1）两圆相交，有两个公共点；
（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.