人教A版（2019） 必修一 4.5 对数函数图象和性质
一、单选题
1．（2020高一上·赣县月考）已知 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高三上·怀宁月考）函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
4．（2020高一下·忻州月考）已知定义在 上的偶函数 满足：当 时， ，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019高一上·忻州月考）设函数 若关于 的方程 有四个不同的解 且 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019高一上·长沙月考）已知函数 的定义域为 , 为偶函数，且对 ，满足 .若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2019高一上·浙江期中）用 表示 的整数部分，即 表示不超过 的最大整数，例如： ，设函数 ，则函数 的值域为（ ）
A．{0} B． C． D．
8．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(1,3) D．(2,4)
9．（2019高一上·厦门期中）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019高一上·水富期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2019高一上·水富期中）设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2020高三上·浙江月考）不等式 的解集是 ；不等式 的解集是 .
13．（2019高一上·郁南月考）关于下列结论：
①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；
③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中不正确的是 .
14．（2019高一上·蚌埠月考）函数 的单调递增区间是 ．
15．（2019高一上·苏州月考）已知 ，则函数 的最大值为 ．
16．（2019高一上·浙江期中）函数 的单调递减区为 ，值域为 ．
17．（2019高三上·杨浦期中）方程 的解为 .
三、解答题
18．（2020高一上·吉安期中）已知 且满足不等式 ．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式 ．
（3）若函数 在区间 有最小值为-2，求实数a值．
19．（2020高一上·蚌埠期末）已知 （ 且 ），若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为1．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求函数 的值域．
20．（2019高一上·怀宁月考）某公司制定了一个激励销售人员的阶梯奖励方案：当销售利润不超过 万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过 万元时，若超出 万元，则超出部分奖励 万元．记奖金为 （单位：万元），销售利润为 （单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员小江获得 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
21．（2019高一上·青冈期中）已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
22．（2020高三上·平顶山月考）已知函数 为奇函数， 为偶函数.
（1）求 的值；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：易知 ， ， ，所以 .
故答案为：C.
【分析】易知 ， ， ，根据 的范围即可比较出结果.
2．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，解得 ，也即函数的定义域为 ，由此排除A，B选项.当 时， ，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 是定义在 上的偶函数
所以
由对数的运算及对数函数的图象与性质可知
由指数函数的图象与性质可知
因而
当 时， 为递增函数
所以
即
故选：C
【分析】根据 是定义在 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图象与性质化简 ，即可由 时，函数 的单调性比较大小.
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】画出函数 的图像如下图所示，
根据对称性可知， 和 关于 对称，故 .由于 ，故 .令 ，解得 ，所以 . ，由于函数 在区间 为减函数，故 ，
故答案为：A.
【分析】画出函数 的图像，通过观察 的图像与 的交点，利用对称性求得 与 的关系，根据对数函数的性质得到 与 的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为对 ,满足 ，所以 当 时，是单调递减函数，又因为 为偶函数，所以 关于 对称，所以函数 当 时，是增函数，又因为 ，所以有 ，
当 时，即当 时，
当 时，即当 时，
，综上所述：不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知对 ,满足 ，可以判断函数 当 时，是单调递减函数，由 为偶函数,可以判断出函数 关于 对称，这样可以知道函数 当 时，是增函数，这样可以根据 与1的大小关系，进行分类讨论，求出不等式 的解集.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 的定义域为 ，则
即 ，则 是奇函数，
则 ，
若 ， 是整数，则 ，
如 ，
则 ，
则 ，
则 ，
综上 或 ，
即 的值域为 ，
故答案为：C．
【分析】根据条件先判断函数的 的奇偶性，结合 的定义，分别讨论 取整数值和非整数时对应的结果即可．
8．【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
由 可得： ，两边平方：
则 （1）或 （2）
解（1）得： 无解 ，解（2）得：
，所以实数 的取值范围是： ；
故答案为：A
【分析】首先求出函数的定义域，把 代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。
9．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】若 ，则 ，得 ；若 ，则 ；综上可得 .
故答案为：D
【分析】由已知分段函数的解析式，分两种情况讨论x，利用指数函数与对数函数的单调性，即可求出 的解集.
10．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由已知 ，解得： ，
故答案为：A．
【分析】根据分母不为0，开平方不小于0，对数的真数大于0，列不等式组求解即可．
11．【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意及对数函数的性质得函数在 上函数值小于0，在 函数值大于0，
又函数 是定义在 上的奇函数，
∴函数 在 函数值大于0
∴满足 的 的取值范围是 ．
故答案为：C．
【分析】先由 时， ，得到在 和 上函数值的正负，再由奇函数的性质判断出 上的函数值为正的部分即可．
12．【答案】；（1,2）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 有 ，所以 ，即 ，解得 ；
有 ，所以 ，解得 ；
故答案为： ；（1,2）；
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可.
13．【答案】①③
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】① 与 互为反函数，所以的图象关于直线 对称，所以①错误；
② 的图象可由 的图象向左平移2个单位得到，所以②正确；
③由 得 ，即 ，解得 ．所以③错误；
④设 ，定义域为 ，关于原点对称
所以 是奇函数，所以④正确，
故不正确的结论是①③．
故答案为：①③
【分析】①利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数的奇偶性判断．
14．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 ，
可得 或 ，
所以函数的定义域为
又 在区间 的单调递减，
单调递减,
∴函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 ．
【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论．
15．【答案】13
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由 的定义域为 ，可得 的定义域为 ，又 ， ， 当 时， 有最大值13，故答案为13。
【分析】利用函数f(x)的定义域得出函数 的定义域，再利用换元法结合二次函数图象的单调性，从而求出函数 的最大值。
16．【答案】（-1,1）；
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意得 ，解得 ，
令 ，则 .
因为函数 在 上递增，在 上递减，
且函数 在 上递减，
所以 的单调减区间是 .
又 ，
则 ，所以函数的值域是 ，
故答案为 ．
【分析】由对数的真数大于0求出 的定义域，由二次函数的性质求出内函数的增区间，即为复合函数的减区间，再求出真数部分对应函数的取值范围，结合外函数是减函数可得原函数 的值域．
17．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：解方程 ，可得 ，
所以 ， 解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解.
18．【答案】（1）解： ，
，即 ，
， 又 ， ．
（2）解：由 知 ，
．
等价于 即 ， ，
即不等式的解集为
（3）解： ，
函数 在区间 上为减函数，
当 时，y有最小值为 ，
即 ，
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出 的范围，再利用指数 对数函数的性质，求得 的解集.（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.
19．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以 在 上为增函数．
又 在 上的最大值与最小值之差为1，
所以 ，即 ，所以
（2）解：函数 ，
令 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以所求函数的值域为
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据不等式 可得 ，再根据函数的单调性可得其最值，利用最值之间的关系可求 的值．（2）令 ，根据 的范围可求 的范围，再根据二次函数的性质可求原函数的值域．
20．【答案】（1）解：由题意，得
（2）解： ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴小江的销售利润是 万元．
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据奖励方案，利用分段函数的形式，求得奖金的函数表达式.（2）首先根据（1）中求得的函数表达式，确定 ，由此列方程，解方程求得 的值，也即求得销售利润.
21．【答案】（1）解：由 ，求得 ，
函数 的定义域为 .
（2）解：定义域关于原点对称，对于任意的
，
为偶函数.
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由 ，求得 的取值范围即可取得定义域. （2）根据定义域关于原点对称，再根据 ，可得 为偶函数.
22．【答案】（1）解：函数 为奇函数， ，即 ，
∴ ，上式对 成立，
∴ .
为偶函数， ，
即 ，
，
得 ，∴ .
（2）解： 在 上是增函数，
，
，
即 ，
∴ ，
∴ ，所以 .
∴实数 的取值范围为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，即可求得参数 ，则问题得解；（2）求得 在区间上的最小值，结合对数函数的定义域，求解对数不等式，即可解得 的范围.
1 / 1人教A版（2019） 必修一 4.5 对数函数图象和性质
一、单选题
1．（2020高一上·赣县月考）已知 ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：易知 ， ， ，所以 .
故答案为：C.
【分析】易知 ， ， ，根据 的范围即可比较出结果.
2．（2020高三上·怀宁月考）函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】由 ，解得 ，也即函数的定义域为 ，由此排除A，B选项.当 时， ，由此排除D选项.所以正确的为C选项.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.
3．（2020·新课标Ⅱ·理）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增
B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增
D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的奇偶性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而得到结果.
4．（2020高一下·忻州月考）已知定义在 上的偶函数 满足：当 时， ，若 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】因为 是定义在 上的偶函数
所以
由对数的运算及对数函数的图象与性质可知
由指数函数的图象与性质可知
因而
当 时， 为递增函数
所以
即
故选：C
【分析】根据 是定义在 上的偶函数，结合指数函数与对数函数的图象与性质化简 ，即可由 时，函数 的单调性比较大小.
5．（2019高一上·忻州月考）设函数 若关于 的方程 有四个不同的解 且 则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；对数函数的图象与性质；分段函数的应用
【解析】【解答】画出函数 的图像如下图所示，
根据对称性可知， 和 关于 对称，故 .由于 ，故 .令 ，解得 ，所以 . ，由于函数 在区间 为减函数，故 ，
故答案为：A.
【分析】画出函数 的图像，通过观察 的图像与 的交点，利用对称性求得 与 的关系，根据对数函数的性质得到 与 的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.
6．（2019高一上·长沙月考）已知函数 的定义域为 , 为偶函数，且对 ，满足 .若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为对 ,满足 ，所以 当 时，是单调递减函数，又因为 为偶函数，所以 关于 对称，所以函数 当 时，是增函数，又因为 ，所以有 ，
当 时，即当 时，
当 时，即当 时，
，综上所述：不等式 的解集为 ，
故答案为：A.
【分析】由已知对 ,满足 ，可以判断函数 当 时，是单调递减函数，由 为偶函数,可以判断出函数 关于 对称，这样可以知道函数 当 时，是增函数，这样可以根据 与1的大小关系，进行分类讨论，求出不等式 的解集.
7．（2019高一上·浙江期中）用 表示 的整数部分，即 表示不超过 的最大整数，例如： ，设函数 ，则函数 的值域为（ ）
A．{0} B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数 的定义域为 ，则
即 ，则 是奇函数，
则 ，
若 ， 是整数，则 ，
如 ，
则 ，
则 ，
则 ，
综上 或 ，
即 的值域为 ，
故答案为：C．
【分析】根据条件先判断函数的 的奇偶性，结合 的定义，分别讨论 取整数值和非整数时对应的结果即可．
8．（2019高一上·上饶期中）已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A．(1,2) B．(2,3) C．(1,3) D．(2,4)
【答案】A
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，
由 可得： ，两边平方：
则 （1）或 （2）
解（1）得： 无解 ，解（2）得：
，所以实数 的取值范围是： ；
故答案为：A
【分析】首先求出函数的定义域，把 代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案。
9．（2019高一上·厦门期中）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】若 ，则 ，得 ；若 ，则 ；综上可得 .
故答案为：D
【分析】由已知分段函数的解析式，分两种情况讨论x，利用指数函数与对数函数的单调性，即可求出 的解集.
10．（2019高一上·水富期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由已知 ，解得： ，
故答案为：A．
【分析】根据分母不为0，开平方不小于0，对数的真数大于0，列不等式组求解即可．
11．（2019高一上·水富期中）设函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意及对数函数的性质得函数在 上函数值小于0，在 函数值大于0，
又函数 是定义在 上的奇函数，
∴函数 在 函数值大于0
∴满足 的 的取值范围是 ．
故答案为：C．
【分析】先由 时， ，得到在 和 上函数值的正负，再由奇函数的性质判断出 上的函数值为正的部分即可．
二、填空题
12．（2020高三上·浙江月考）不等式 的解集是 ；不等式 的解集是 .
【答案】；（1,2）
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 有 ，所以 ，即 ，解得 ；
有 ，所以 ，解得 ；
故答案为： ；（1,2）；
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性及其性质求不等式解集即可.
13．（2019高一上·郁南月考）关于下列结论：
①函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象关于y轴对称；
②函数y=ax+2(a>0且a≠1)的图象可以由函数y=ax的图象平移得到；
③方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解集为{-1,3}；
④函数y=ln(1+x)-ln(1-x)为奇函数.
其中不正确的是 .
【答案】①③
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】① 与 互为反函数，所以的图象关于直线 对称，所以①错误；
② 的图象可由 的图象向左平移2个单位得到，所以②正确；
③由 得 ，即 ，解得 ．所以③错误；
④设 ，定义域为 ，关于原点对称
所以 是奇函数，所以④正确，
故不正确的结论是①③．
故答案为：①③
【分析】①利用对称的性质判断；②利用图象的平移关系判断；③解对数方程可得；④利用函数的奇偶性判断．
14．（2019高一上·蚌埠月考）函数 的单调递增区间是 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调区间
【解析】【解答】由 ，
可得 或 ，
所以函数的定义域为
又 在区间 的单调递减，
单调递减,
∴函数 的单调递增区间是 ,
故答案为 ．
【分析】先确定函数的定义域，再考虑内外函数的单调性，利用复合函数的单调性即可得到结论．
15．（2019高一上·苏州月考）已知 ，则函数 的最大值为 ．
【答案】13
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由 的定义域为 ，可得 的定义域为 ，又 ， ， 当 时， 有最大值13，故答案为13。
【分析】利用函数f(x)的定义域得出函数 的定义域，再利用换元法结合二次函数图象的单调性，从而求出函数 的最大值。
16．（2019高一上·浙江期中）函数 的单调递减区为 ，值域为 ．
【答案】（-1,1）；
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】由题意得 ，解得 ，
令 ，则 .
因为函数 在 上递增，在 上递减，
且函数 在 上递减，
所以 的单调减区间是 .
又 ，
则 ，所以函数的值域是 ，
故答案为 ．
【分析】由对数的真数大于0求出 的定义域，由二次函数的性质求出内函数的增区间，即为复合函数的减区间，再求出真数部分对应函数的取值范围，结合外函数是减函数可得原函数 的值域．
17．（2019高三上·杨浦期中）方程 的解为 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：解方程 ，可得 ，
所以 ， 解得 ，即 ，
故答案为： .
【分析】解对数方程，首先要注意对数的真数要大于0，再解方程即可得解.
三、解答题
18．（2020高一上·吉安期中）已知 且满足不等式 ．
（1）求实数a的取值范围．
（2）求不等式 ．
（3）若函数 在区间 有最小值为-2，求实数a值．
【答案】（1）解： ，
，即 ，
， 又 ， ．
（2）解：由 知 ，
．
等价于 即 ， ，
即不等式的解集为
（3）解： ，
函数 在区间 上为减函数，
当 时，y有最小值为 ，
即 ，
，
解得 或 舍去 ，
所以 ．
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性即可求解；（2）由题意利用指数函数的性质求出 的范围，再利用指数 对数函数的性质，求得 的解集.（3）根据a的范围，利用对数函数的性质，求出a的值.
19．（2020高一上·蚌埠期末）已知 （ 且 ），若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为1．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求函数 的值域．
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
所以 在 上为增函数．
又 在 上的最大值与最小值之差为1，
所以 ，即 ，所以
（2）解：函数 ，
令 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以所求函数的值域为
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据不等式 可得 ，再根据函数的单调性可得其最值，利用最值之间的关系可求 的值．（2）令 ，根据 的范围可求 的范围，再根据二次函数的性质可求原函数的值域．
20．（2019高一上·怀宁月考）某公司制定了一个激励销售人员的阶梯奖励方案：当销售利润不超过 万元时，按销售利润的 进行奖励；当销售利润超过 万元时，若超出 万元，则超出部分奖励 万元．记奖金为 （单位：万元），销售利润为 （单位：万元）．
（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
（2）如果业务员小江获得 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【答案】（1）解：由题意，得
（2）解： ， ．
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
∴小江的销售利润是 万元．
【知识点】对数函数的值域与最值；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）根据奖励方案，利用分段函数的形式，求得奖金的函数表达式.（2）首先根据（1）中求得的函数表达式，确定 ，由此列方程，解方程求得 的值，也即求得销售利润.
21．（2019高一上·青冈期中）已知函数f(x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)．
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．
【答案】（1）解：由 ，求得 ，
函数 的定义域为 .
（2）解：定义域关于原点对称，对于任意的
，
为偶函数.
【知识点】函数的奇偶性；对数函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）由 ，求得 的取值范围即可取得定义域. （2）根据定义域关于原点对称，再根据 ，可得 为偶函数.
22．（2020高三上·平顶山月考）已知函数 为奇函数， 为偶函数.
（1）求 的值；
（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：函数 为奇函数， ，即 ，
∴ ，上式对 成立，
∴ .
为偶函数， ，
即 ，
，
得 ，∴ .
（2）解： 在 上是增函数，
，
，
即 ，
∴ ，
∴ ，所以 .
∴实数 的取值范围为 .
【知识点】奇函数与偶函数的性质；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，即可求得参数 ，则问题得解；（2）求得 在区间上的最小值，结合对数函数的定义域，求解对数不等式，即可解得 的范围.
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