2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
北师大版
九年级上
第二章
一元二次方程
2.4　用因式分解法求解一元二次方程
学
习
目
标
1
2
理解用因式分解法解方程的依据.
会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
3
新课导入
复习交流
(2)因式分解有哪些方法？
2.
说出方程(x+3)(x－5)=0的解。
1.
(1)什么是因式分解？
①提公因式法
②公式法
平方差公式
完全平方公式
③十字相乘法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解.
知识讲解
★
因式分解法解一元二次方程
问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x.根据题意,可得方程
x2
=
3x.
由方程
x2
=
3x
,得
x2
-
3x
=
0.
因此
,
x1
=
0,
x2
=
3.
所以这个数是0或3.
小颖的思路：
小明的思路：
方程
x2
=
3x
两边
同时约去x,
得
x
=
3
.
所以这个数是3.
因式分解
如果a
·
b
=
0，
那么
a
=
0或
b
=
0.
两个因式乘积为
0，说明什么？
或
降次，化为两个一次方程
（解两个一次方程，得出原方程的根）
这种解法是不是很简单？
x2
-3x
=0
①
x(x-3)
=0
②
x
=0
x-3=0
小亮的思路：
由方程
x2
=
3x
,得
x1
=
0
,
x2
=
3
通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
因式分解法的概念
因式分解法的基本步骤
1.移项：将方程的右边化为0;
2.化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积;
3.转化：方程转化为两个一元一次方程;
4.求解：解两个一元一次方程，写出方程两个解.
简记口诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
例1
用因式分解法解下列方程
因式分解，得
x2－2x+1
=
0.
(
x－1
)(
x－1
)
=
0.
所以x1=x2=1.
解：化为一般式为
从而
解：因式分解，得
(
2x
+
11
)(
2x－
11
)
=
0.
有
2x
+
11
=
0
或
2x
－
11=
0，
所以
从而
或
解：把方程的左边进行因式分解，得
，
，
几种常见的用因式分解法求解的方程
（1）形如x2
+bx
＝
0
的一元二次方程，将左边运用提公因式法因式分解为
x（x+b）＝
0，则x
＝
0
或x+b
＝
0，即x1=
0，
x2
＝
-b.
（2）形如x2
-
a2
＝
0
的一元二次方程，将左边用平方差公式因式分解为（x+a）（x-a）＝
0，则x+a
＝
0
或x-a
＝
0，即x1
＝
-a，
x2
＝
a.
（3）形如x2
±2ax+
a2
＝
0
的一元二次方程，将左边用完全平方公式因式分解为（x±
a
）2＝
0，则①
x+a
＝
0，即x1
＝
x2
＝
-a.
②
x-a
＝
0，即x1
＝
x2
＝
a.
（4）形如x2
+（a+b）x+ab
＝
0
的一元二次方程，将其左边因式分解，
则方程化为（x+a）（x+b）＝
0，所以x+a
＝
0
或x+b
＝
0，即x1
＝
-a，
x2
＝
-b.
★
选择适当的方法解一元二次方程
例2
用适当的方法解下列方程：
（1）2（x-1）2-18
＝
0
；
分析：出现了（x-1）2，并且一次项为0，考虑用直接开平方法.
解：整理，得（x-1）2＝
9.
开平方，得x-1
＝
±3，
即x-1
＝
3
或x-1
＝
-3，
∴
x1＝4，x2＝-2.
（2）x2+4x-1
＝
0
；
分析：出现了x2
+4x，接近完全平方式的结构特点，考虑用配方法.
解：原方程变形为x2+4x＝
1.
配方，得x2+4x+22＝
1+22，即（x+2）2＝5.
可得x+2
＝
±
，
∴
x1＝
-2+
，x2＝-2-
.
（3）9（x+1）2＝（2x-5）2
；
分析：移项易发现符合平方差公式，考虑用因式分解法.
解：整理，得［3（x+1）］2-（2x-5）2＝
0.
因式分解，得［3（x+1）+（2x-5）］［3（x+1）-（2x-5）］＝
0.
可得3（x+1）+（2x-5）＝
0
或3（x+1）-（2x-5）＝
0，
即5x-2
＝
0
或x+8
＝
0，
∴
x1
＝
，x2
＝-8.
解：∵
a
＝
9，b
＝
-12，c
＝
-1，
∴
Δ
＝
b
2-4
a
c
＝（-12）2-4×9×（-1）＝
144+36
＝
180>0，
（4）9x2-12x-1
＝
0.
分析：方程的结构没有明显特殊性，考虑公式法.
x2
+
px
+
q
=
0
（p2
-
4q
≥0）
(x+m)2＝n（n
≥
0）
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0
,
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
（x
+
n）＝0
一元二次方程的解法及适用类型
1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），
应选用直接开平方法；
2.若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路
随堂训练
1.下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是(
)
A．(x－2)(x＋5)＝2
B．(x－2)2＝
x
2－4
C．
x
2＋5
x
－2＝0
D．12(2－
x)2＝3
2．一元二次方程x(x
－3)＋3－
x
＝0的根是(
)
A．1
B．3
C．1和3
D．1和2
C
B
3．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x
2－4
x
＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是(
)
A．5
B
．7
C．5或7
D．10
B
6．若正数a是一元二次方程x
2－5x＋m＝0的一个根，－a是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是
．
4．方程x
2＝|
x
|的根是
．
5．如果x
2－
x
－1＝(x
＋1)0，那么x的值为
．
0，±1
2
5
7．用因式分解法解下列方程：
(1)2(x
－3)2＝x2－9；
(2)(3x＋2)2－4x2＝0；
(3)5x(2x－3)＝10x－15.
?
解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，
(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0.
解得x1＝3，x2＝9.
解：(3x＋2＋2x)(3x＋2－2x)＝0，
解得x1＝－，x2＝－2.
解：5x(2x－3)＝5(2x－3)，
(5x－5)(2x－3)＝0，
解得x1＝1，x2＝.
8．已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，
得x1＝7，x2＝10.
当x＝10时，3＋7＝10，
∴x2＝10不合题意，舍去．
∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17.
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记口诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
如果a
·b=0，那么a=0或b=0
原理
将方程左边因式分解，右边=0
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2
±2ab+b2=(a
±b)2；
a2
-b2=(a
+b)(a
-b)
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