2.1.1 一元二次方程 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
北师大版
九年级上
第二章
一元二次方程
2.1　认识一元二次方程
第1课时
一元二次方程
理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(难点）
学
习
目
标
1
2
3
了解一元二次方程的概念.（重点）
根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.（重点）
18m2
幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
问题情境1
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________,
则方程列为_______________
，整理得_________________.
(5-2x)m
(8-2x)m
(8-2x)(5-2x)=18
新课导入
4x2
-26x+22
＝0
5m
观察下面等式：102
+
112
+
122
=
132
+
142
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为
,
,
,
.　
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
x+1
x+2
x+3
x+4
x2
+
(x
+
1)2
+
(x
+
2)2
=
(x
+
3)2
+
(x
+
4)2.
化简，得
x2
-
8x
-
20＝0.
问题情境2
7m
解：如果设梯子底端滑动x
m，那么滑动后梯子底端距墙　　　　m,
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　　
72＋(x＋6)2
＝102，
(x
＋6)
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
数学化
问题情境3
A
B
C
1m
D
E
整理得
x2
+12x-15
＝0.
6m
思考
探究
这三个方程都不是一元一次方程.那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
4x2
-26x+22
＝0
x2
-8x-20
＝0
x2
+12x-15
＝0
知识讲解
★
一元二次方程的概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0
(a、b、c为常数,
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
（1）
只含一个未知数;
（2）
未知数的最高次数是2；
（3）
整式方程.
满足的条件:
★
一元二次方程的一般形式
想一想
为什么要限制a
≠0
,
b,
c可以为零吗？
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(a
≠
0)
二次项系数
一次项系数
常数项
二次项
一次项
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
ax2
=
0
总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c
可以为零呢？
当b
≠
0时，为
一元一次方程
一元二次方程
下列方程中哪些是一元二次方程？
是分式
－
y2
2
（8）
=0
(7)4
－
7x2＝0
(6)x2＋2x－3＝1＋x2
例1
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.
(1)ax2-x=2x2；
(2)(a-1)x
∣
a
∣
+1
-2x-7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a
∣+1
=2，且a-1
≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
例2
解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；
（2）系数和项均包含前面的符号.
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、
一次项和常数项及它们的系数.
例3
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x?-x=2
(
)
(2)2(x-1)?=3y
(
)
(3)3x?-2x+5
(
)
(
)
(5)(m?+5)x?+7x-1=0
(
)
√
√
×
×
×
随堂训练
2.方程（2a-4）x2
-2bx+a=0,
在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：
若（2a-4）x2
-2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零，
∴2a-4
≠0，解得a≠2，
即当a≠2时，
(2a-4）x2
-2bx+a=0是一元二次方程；
若（2a-4）x2
-2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，
∴2a-4
=0且-2b
≠0，解得a＝2，b≠0,
即当a＝2，b≠0时，
(2a-4）x2
-2bx+a=0是一元一次方程.
3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：
(1)
2x2=3x-1；
(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.
解：（1）
2x2=3x-1化为一般形式为
2x2-3x+1=0，
∴
二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.
(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为
-x2+2x-4=0,
∴
二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.
4.桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？
15㎝
25㎝
（25-2x）（15-2x
）=
300,
300cm2
4x2
-8x+75
＝0.
解：设剪去的正方形边长为x
cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x）
cm
，宽为（
15-2x
）
cm
.
根据题意，可列方程为
整理得
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2
一般形式
对于ax2+bx+c=0
(a
≠0)，
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、一次项
系数及常数项要先化为一般式
课堂小结
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