4.7.1 相似三角形的性质1 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
北师大版
九年级上
第四章
图形的相似
第一课时
4.7
相似三角形的性质　
学
习
目
标
1.明确相似三角形中对应线段的比与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
知识回顾
A
B
C
A/
B/
C/
①相似三角形的对应角_________
②相似三角形的对应边__________
想一想:
它们还有哪些性质呢?
（3）相似三角形有何性质？
（4）什么是相似三角形的相似比？
相似比=对应边的比=
相等
成比例
在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
探究相似三角形对应高的比.
合作探究
(1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之间的关系，对应角之间的关系.
(2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比.
(3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
(4)据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B
=∠E,
∠BAC=∠EDF.
又∵AM,DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线,
∴∠BAM=∠EDN,
∴△AMB∽△DNE
(两角对应相等的两个三角形相似),
已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM、DN分别为三角形的角平分线，它们的对应角平分线的比是多少？
(相似三角形对应边成比例).
A
B
C
M
D
E
F
N
结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图，∵△ABC∽△DEF，
∴∠B
=∠E,
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比
A
B
C
M1
D
E
F
N1
又∵AM1,DN1分别是△ABC和△DEF的中线，
∴△AM1B∽△DN1E(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似).
且∠B
=∠E，
已知△ABC
∽
△DEF，
△ABC
与△DEF的相似比为K，AM1、DN1分别为三角形的中线，它们的对应中线的比是多少？
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
定理
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.
知识讲解
议一议
k
k
相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等分线的比都等于相似比。
例1：如图，AD是△ABC的高，AD=h,
点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当
时，求DE的长.如果
呢？
　
∴△ASR∽△ABC
(两角分别相等的两个三角形相似).
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，
B
A
E
R
C
D
S
∴SR∥BC.
∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.
(相似三角形对应高的比等于相似比)，
例题讲解
当
时，得
解得
B
A
E
R
C
D
S
当
时，得
解得
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶
3
2
∶
3
2．两个相似三角形的相似比为1:4,
则对应高的比为_________,对应角的角平分线的比为_________.
1:4
1:4
3．两个相似三角形对应中线的比为
，
则相似比为______,对应高的比为______
.
随堂训练
4.如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形.
(1)AE是Δ
ASR的高吗？为什么？
(2)
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
(3)求正方形PQRS的边长.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（1）AE是ΔASR的高吗？为什么？
解：
AE是ΔASR的高.
理由：
∵AD是ΔABC的高
∴
∠ADC=90°
∵四边形PQRS是正方形
∴SR∥BC
∴∠AER=∠ADC=90°
∴
AE是ΔASR的高.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（2）
ΔASR与ΔABC相似吗？为什么？
解：
ΔASR与ΔABC相似.
理由:
∵
SR∥BC
∴
∠ASR=∠B,
∠ARS=∠C
∴
ΔASR与ΔABC相似
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
（3）求正方形PQRS的边长.
是方程思想哦！
解：∵
ΔASR
∽
ΔABC
AE、AD分别是ΔASR
和ΔABC
对应边上的高
∴
设正方形PQRS的边长为
x
cm,
则SR=DE=x
cm,
AE=(40-x)cm
∴
解得：x=24
∴正方形PQRS的边长为24cm.
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
5.如图，AD是ΔABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
设SP=xcm，则SR=2x
cm
得到：
所以
x=2，
2x=4
S矩形PQRS=
2×4=8cm2
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况一：SR=2SP
设SR=xcm，则SP=2x
cm
得到：
所以
x=2.5，
2x=5
S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2
原来是分类思想呀！
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
分析：
情况二：SP=2SR
相似三角形的性质
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应角平分线的比等于相似比
相似三角形对应中线的比等于相似比
课堂小结
?
2.相似三角形对应边的比为2∶3,那么对应角的角平分线的比为_______.
2∶
3
1．两个相似三角形的相似比为
,
则对应高的比为________,
则对应中线的比为_______.
当堂检测
解：∵
△ABC∽△DEF，
　
解得,EH＝3.2(cm).
答：EH的长为3.2cm.
A
G
B
C
D
E
F
H
4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长.
5.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（1）、（2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。
（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）
F
A
B
C
D
E
（1）
F
G
B
A
C
E
D
（2）
S
R
Q
P
E
D
C
B
A
6.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.
A
C
B
D
(1)
A
C
B
D
(5)
D
C
B
A
(4)
A
C
B
D
(3)
D
C
B
A
(1)
A
C
B
D
(2)
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php