4.5 相似三角形判定定理的证明 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
北师大版
九年级上
第四章
图形的相似
4.
5
相似三角形判定定理的证明　
学
习
目
标
1.会证明相似三角形判定定理.（重点）
2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）
前面，我们已经学过相似三角形的哪些判定方法？但是这些方法，我们都是通过动手画图、测量、探索得出的，在理论上是不是一定正确，还需要进行证明，这节课我们就来研究这个问题.
新课导入
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=
∠A'，∠B
=∠B'.
求证：△ABC
∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
知识讲解
A′
B′
C′
A
B
C
证明：在
△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取AD
=A'B'，过点D作BC的平行线，交
AC
于点E，则
∠1=∠B，∠2
=∠C，
过点
D
作
AC
的平行线,交
BC
于点
F,则
∴
∵
DE∥BC,
DF∥AC,
∴
四边形
DFCE
是平行四边形,∴
DE
=
CF.
∴
∴
E
D
F
1
2
∵
∠
1
=
∠
B，∠
DAE
=
∠
BAC，∠
2=∠
C，
∴
△ADE
∽
△ABC.
∵
∠
A
=
∠
A'，∠
ADE
=
∠
B
=∠
B'，AD
=
A'B'，
∴
△ADE
≌△A'
B
'
C
'
，
∴
△ABC
∽△A'B'C.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
F
1
2
1.如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm,BD=4cm,那么CD等于
cm.
2.如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（
）
6
C
随堂训练
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=∠
A'，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A'B'，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
知识讲解
则∠
B
=
∠
1，
∠
C
=
∠
2，
∴
△ABC
∽
△ADE，
AD
=
A'B'，
∴
AE
=A'C'.
∵
∠
A=∠
A'，
∴
△ADE
≌
△A'B'C'，
△ABC
∽
△A'B'C'.
A′
B′
C′
A
B
C
E
D
1
2
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
证明：在△ABC
的边
AB（或它的延长线）上截取
AD
=
A'B'，过点
D
作
BC
的平行线，交
AC
于点
E，则
∵
，AD
=
A'B'，AE
=
A'C'，
∵∠
BAC
=∠
DAE，
∴
△ABC
∽△ADE，
又
，AD
=
A'B'，
∴
DE
=
B'C'，
∴
△ADE
≌
△A'B'C'
，
∴
△ABC
∽△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角
形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
课堂小结
1．下列命题中是真命题的是(
)
A．有一个角相等的直角三角形都相似
B．有一个角相等的等腰三角形都相似
C．有一个角是120°的等腰三角形都相似
D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似
C
当堂检测
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3
cm，则AF的长为(
)
A．5
cm
　
B．6
cm　
　C．7
cm　　　D．8
cm
B
解：
∵
∠
A=
∠
A,∠ABD=∠C,
∴
△ABD
∽
△ACB
,
∴
AB
:
AC=AD
:
AB,
∴
AB2
=
AD
·
AC.
∵
AD=2,
AC=8,
∴
AB
=4.
3.
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2,
AC=8，求AB.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBE.
5.如图，AD是直角△ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F.求证：
证明：
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠FAD=90°,
∴∠B=
∠FAD,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵AD⊥BC,
∵DE⊥DF,
∴∠EDA+∠FDA=90°,
∴∠EDA+∠BDE=
90°,
∵AD⊥BC,
∴∠BDE=
∠ADF,
∴△BED∽△AFD.
∴
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