【人教版八上高频易错必刷题】12.3 角的平分线的性质（含解析）

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12.3
角的平分线的性质
高频易错必刷题汇编
一、选择题
1．（2020?牡丹江）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
2．（2021?青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
3．（2021?贵阳模拟
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2：1
B．：1
C．3：2
D．2：
4．（2021?茂名模拟）如图，已知点O为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8.5
B．15
C．17
D．34
5．（2021?西安模拟）如图，在△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2+
B．+
C．2+
D．3
6．（2021?湖州模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．24
B．30
C．36
D．42
7．（2021?阜阳模拟）如图，在四边形A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（　　）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
8．（2021?泰安模拟）如图，△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
9．（2021?郑州模拟）如图，已知P
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是∠AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．3cm
B．3cm
C．2cm
D．2cm
10．（2021?西安模拟）如图，在△AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
二、填空题
11．（2021?襄阳模拟）如
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝6，△ABC的面积是　
　．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
12．（2021?合肥模拟）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　
　．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
13．（2021?株洲模拟）在△ABC中，若
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　
　．
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14．（2021?衡水模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝　
　cm．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
15．（2020?牡丹江）已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是　
　度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
16．（2021?贵阳模拟）如图，在△BCD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠BDC＝90°，以BD为斜边，向外作Rt△ABD．若AD＝4，∠ADB＝∠C．且P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　
　．
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三、解答题
17．（2021?上海模拟）如图，△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠B的平分线BD与∠C的外角平分线CE交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
18．（2021?北京模拟）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠1＝∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE＝CF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
19．（2020?北京模拟）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．
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20．（2021?龙岩模拟）观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；www-2-1-cnjy-com
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
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12.3
角的平分线的性质
高频易错必刷题汇编
一、选择题
1．（2020?牡丹江）如图，直线l1、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．一处
B．二处
C．三处
D．四处
解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
答案：D．
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2．（2021?青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
答案：B．
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3．（2021?贵阳模拟）如图，在△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，BD是∠ABC的平分线，设△ABD，△BCD的面积分别是S1，S2，则S1：S2等于（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2：1
B．：1
C．3：2
D．2：
解：过D作DE⊥AB于E，则DE＝DC
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又∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝＝，
∴S1：S2＝AB：BC＝：1．
答案：B．
4．（2021?茂名模拟）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．8.5
B．15
C．17
D．34
解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，
∴点O到△ABC各边的距离相等，
而OD⊥BC，OD＝4，
∴点O到△ABC各边的距离为4，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，
∴AB+AC+BC＝17，
即△ABC的周长为17．
答案：C．
5．（2021?西安模拟）如图，在△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．2+
B．+
C．2+
D．3
解：过点D作DF⊥AC于F，如图所示，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△CDF中，∠C＝45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2，
答案：A．
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6．（2021?湖州模拟）如图，已知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）21·世纪
教育网
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A．24
B．30
C．36
D．42
解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，
∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，
∴DH＝CD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB?DH+BC?CD＝×6×4+×9×4＝30，
答案：B．
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7．（2021?阜阳模拟）如图，在四边形AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，且点O在线段BD上，BD＝4，则点O到边AC的距离是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1
B．1.5
C．2
D．3
解：过O作OE⊥AC于E，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC与∠ACD的平分线交于点O，
∴OB＝OE＝OD，
∵BD＝4，
∴OB＝OE＝OD＝2，
∴点O到边AC的距离是2，
答案：C．
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8．（2021?泰安模拟）如图，△ABC的外
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　）21
cnjy
com
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A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
答案：C．
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9．（2021?郑州模拟）如图，已知P是∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AOB的角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，点C是OB上的一个动点，若PC的最小值为3cm，则MD的长度为（　　）
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A．3cm
B．3cm
C．2cm
D．2cm
解：作PC⊥OB于C，则此时PC最小，
∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD＝PC＝3，∠AOP＝30°，
∴OP＝2PD＝6，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，
∴DM＝OP＝3，
答案：A．
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10．（2021?西安模拟）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
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A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
答案：D．
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二、填空题
11．（2021?襄阳模拟）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝6，△ABC的面积是　96　．
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解：过O作OM⊥AB，ON⊥AC，连接AO，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OM＝ON＝OD＝6，
∴△ABC的面积为：×AB×OM+BC×DO+NO＝（AB+BC+AC）×DO＝32×6＝96．
答案：96．
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12．（2021?合肥模拟）如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝　6　．
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解：如图，
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取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
13．（2021?株洲模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　4　．2-1-c-n-j-y
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解：如图，延长BP交AC于D，
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∵∠BAC＝∠PBA＝45°，
∴∠ADB＝90°，AD＝BD，
∵P为△ABC的费马点，
∴∠APB＝∠CPA＝120°，
∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°，
∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠APD＝60°，
Rt△PAD中，∵PA＝4，
∴PD＝2，AD＝2，
∵∠APC＝120°，
∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，
Rt△PDC中，∠PCD＝30°，
∴CD＝2，
∴AC＝AD+CD＝2+2＝4，
∴△PAC的面积为＝＝4．
答案：4．
14．（2021?衡水模拟）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝　　cm．21教育名师原创作品
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解：作DF⊥BC于F，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ADB+S△BCD＝S△ABC，
∴×10×DE+×14×DF＝42，
∴5DE+7DE＝42，
∴DE＝（cm）．
答案：．
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15．（2020?牡丹江）已知如图，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，则∠EAB是　35　度．
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解：过点E作EF⊥AD，
∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，
∴CE＝EB＝EF，
又∵∠B＝90°，且AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠EAB＝∠EAF．
又∵∠CED＝35°，∠C＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CDA＝110°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝70°，
∴∠EAB＝35°．
答案：35．
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16．（2021?贵阳模拟）如图，在△B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CD中，∠BDC＝90°，以BD为斜边，向外作Rt△ABD．若AD＝4，∠ADB＝∠C．且P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　4　．21世纪教育网版权所有
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解：∵∠BDC＝90°，∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠C+∠CBD＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短可知DP⊥BC时DP的长度最小，
此时，DP＝AD，
∵AD＝4，
∴DP的最小值为4．
答案：4．
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三、解答题
17．（2021?上海模拟）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如图，△ABC中，∠B的平分线BD与∠C的外角平分线CE交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA所在的直线的距离相等．【来源：21cnj
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证明：如图，过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线，垂足分别是Q、M、N．
则垂线段PQ、PM、PN，即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离．
∵P是∠ABC的平分线BD上的一点，
∴PM＝PQ．
∵P是∠ACM的平分线CE上的一点，
∴PM＝PN．
∴PQ＝PM＝PN．
∴P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
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18．（2021?北京模拟）如图，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠1＝∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE＝CF．
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解：作EH⊥AB于H，作FG⊥BC于G，
∵∠1＝∠2，AD⊥BC，
∴EH＝ED（角平分线的性质）
∵EF∥BC，AD⊥BC，FG⊥BC，
∴四边形EFGD是矩形，
∴ED＝FG，
∴EH＝FG，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
又∵∠AHE＝∠FGC＝90°，
∴△AEH≌△CFG（AAS）
∴AE＝CF．
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19．（2020?北京模拟）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC＝AD，∠DAC＝∠ABC．21
cnjy
com
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠DAC＝45°，OA＝1，求OC的长．
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（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠DAC＝∠ABC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD．
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD．
∴∠ABD＝∠CBD．
∴BD平分∠ABC；
（2）解：过点O作OE⊥BC于E，
∵∠DAC＝45°，∠DAC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠B
AC＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴OE＝OA＝1．
在Rt△OEC中，∠ACB＝45°，OE＝1，
∴OC＝．
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20．（2021?龙岩模拟）观察、猜想、探究：
在△ABC中，∠ACB＝2∠B．
（1）如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB＝AC+CD；
（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．
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解：（1）过D作DE⊥AB，交AB于点E，如图1所示，
∵AD为∠BAC的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD＝AD，DE＝DC，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，∠ACB＝∠AED，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
又∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝DC，
则AB＝BE+AE＝CD+AC；
（2）AB＝CD+AC，理由为：
在AB上截取AG＝AC，如图2所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ADC中，
，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴CD＝DG，∠AGD＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B，
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BE＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（3）AB＝CD﹣AC，理由为：
在AF上截取AG＝AC，如图3所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
∵在△ADG和△ACD中，
，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，即∠ACB＝∠FGD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B，
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG﹣AG＝CD﹣AC．
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精品试卷·第
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