第一章 空间向量与立体几何 单元检测试卷（A） -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含解析）

2021-2022学年高二数学（人教A版2019选择性必修一）
第一章
空间向量与立体几何
单元检测试卷（A）
一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．对于空间任意两个非零向量
是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设平面与平面的夹角为，若平面的法向量分别为，则(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知点A的坐标为A(1，1，0)，向量＝(4，0，2)，则点B的坐标为（
）
A．(7，－1，4)
B．(9，1，4)
C．(3，1，1)
D．(1，－1，1)
4．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
5．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．对于结论：①
；②
；③
是平面的法向量；④
．其中正确的是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
10．已知向量，下列等式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．给出下列命题，其中正确的命题是（
）
A．若，则是钝角
B．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
C．若，则可知
D．在四面体中，若，，则
12．在以下命题中，不正确的命题有（
）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
三、填空题。本大题共4小题。
13．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______．
14．如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
15．三棱锥A﹣BCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A﹣BD﹣C的平面角的正切值是__．
16．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，设＝，＝，＝，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用表示以下各向量：
（1）；
（2）．
18．如图：直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.
（1）求证：BC平面DAE；
（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；
（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.
19．正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1的夹角．
20．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD═BC＝2，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使平面B1AE⊥平面AECD，M为线段AE的中点．
（1）求证：CD⊥B1D；
（2）求二面角D﹣AB1﹣E的余弦值；
（3）在线段B1C上是否存在点P，使得直线MP∥平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1
（1）当SM＝2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．
22．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA，AB，AC两两垂直，PA＝AB＝AC＝3，且D为线段BC的中点．
（1）证明：BC⊥平面PAD；
（2）若，求平面PAB与平面PDE所成角的正弦值．
参考答案
1．B
【解析】显然，
包括向量同向共线和反向共线两种情形
故选：B
2．B
【解析】由题意，，
因平面与平面的夹角与其法向量的夹角相等或互补，
所以.
故选：B
3．B
【解析】由题意，∴，
即点坐标为．
故选：B．
4．A
【解析】因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
5．D
【解析】以点为坐标原点，以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，
为平面的一个法向量．
．
∴直线与平面所成角的正弦值为．
故选：D．
6．A
【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
7．A
【解析】在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
8．A
【解析】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
9．ABC
【解析】，所以，所以，故①
正确；
，所以，所以，故②正确；
因为与不平行，，所以是平面
所以是平面的法向量，故③正确．
因为，
因为，所以与不平行，故④错误．
所以选项ABC正确，
故选：ABC
10．BCD
【解析】A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；
B.左边
右边，左边=右边，因此正确.
C.
左边，右边左边=右边，因此正确.
D.由C可得左边=，
左边=右边，因此正确.
故选：BCD
11．CD
【解析】对于A，当时，若，但，不是钝角，所以A错；
对于B，当时，，不是直线的方向向量，所以B错；
对于C，
??，所以C对；
对于D，如图，
过P作平面ABD交平面于O点，连CO交AB于M，
连AO交BC于N，连BO交AC于T，，
同理为垂心，所以，
从而，所以D对；
故选：CD.
12．ABC
【解析】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
13．．
【解析】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系：
则设，
则，设直线与所成角为
所以
解得，所以，
故答案为：．
14．（1）（3）
【解析】解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
15．-2
【解析】解：∵平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，
∴设AB＝1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，
得下列坐标：O（0，0，0），D（，0，0），B（0，，0），C（0，，0），A（0，0，），
，显然（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
设平面ABD的法向量为（x，y，1）则
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
（x，y，1）?=（x，y，1）＝0
解得x＝1，y＝，
则
显然（0，0，1）为平面BCD的法向量．
设二面角A﹣BD﹣C大小为θ，则θ为钝角，则|cosθ|＝＝＝，
即cosθ＝﹣，
则sinθ＝＝，
则tanθ＝＝﹣＝﹣2，
故答案为：﹣2．
16．8
【解析】解：由正四面体棱长为，其内切圆的半径为，
由题意，，是直径的两端点，可得，，
则，
当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为，
则的最大值为，
故答案为：．
17．（1）；（2）．
【解析】解：（1）∵在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴
（2）∵在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴
又∵
∴
18．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）证明：∵直角梯形ABCD中，ADBC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EFAB，
∴CFDE，CF?面CBF，DE面CBF，则DE面CBF；
FBAE，FB
?面CBF，AE面CBF，则AE面CBF；
又∵AE∩DE=E，DE?AE?面DAE
∴面CBF面DAE
又BC?面CBF，所以BC平面DAE
（2）取AE的中点H，连接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=，
又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…
所以四棱锥D﹣AEFB的体积
（3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系
则A(﹣1，0，0)，D(0，0，)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1，0，0)，F(1，﹣2，0)
因为，所以C(，﹣2，)
易知是平面ADE的一个法向量，==(0，2，0)
设平面BCD的一个法向量为=(x，y，z)
由
令x=2，则y=2，z=﹣2，∴=(2，2，﹣2)，
∴cos<，>=
所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为
19．30°
【解析】如图，以点为坐标原点，以所成直线为轴，以所在直线为轴，以经过原点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系．
由已知得，0，，，，，，．
取的中点，于是有，
连，有，
且，，，，
由，，
所以，面，
与所成的角就是与侧面所成的角．
，，
，，，
，
所以，与所成的角，即与侧面所成的角为．
20．（1）证明见解析；（2）；（3）存在；．
【解析】（1）证明：由题意可知四边形ABED是平行四边形，所以AM＝ME，故B1M⊥AE．
又因为AB＝BE，M为AE的中点，所以BM⊥AE，
即DM⊥AE．又因为AD∥BC，AD＝CE＝2．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AE∥CD．
故CD⊥DM．
因为平面B1AE⊥平面AECD，平面B1AE∩平面AECD＝AE，B1M?平面AECD
所以B1M⊥平面AECD．B1M⊥AE．
因为CD?平面AECD，所以B1M⊥CD．
因为MD∩B1M＝M，MD、B1M?平面B1MD，
所以CD⊥平面B1MD．…
（2）解：以ME为x轴，MD为y轴，MB1为z轴建立空间直角坐标系，
则C（2，，0），B1（0，0，），A（﹣1，0，0），D（0，，0）．
平面AB1E的法向量为．
设平面DB1A的法向量为，
因为，，
所以，
令z＝1得，．
所以，因为二面角D﹣AB1﹣E为锐角，
所以二面角D﹣AB1﹣E的余弦值为．
（3）解：存在点P，使得MP∥平面B1AD．…
设在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，
设，（0≤λ≤1），C（2，，0），
因为．
所以，
因为MP∥平面B1AD，所以，
所以﹣2λ+λ+﹣λ＝0，解得λ＝，
又因为MP?平面B1AD，
所以在线段B1C上存在点P，使得MP∥平面B1AD，.
21．（1）
；（2）当时，sinθ最大．
【解析】解（1）∵SA⊥底面ABCD，
∴SA⊥AD，SA⊥AB，
又AD⊥AB，
∴以A为原点，
以AD，AB，AS所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图，
∵SA＝AB＝BC＝2，AD＝1，SM＝2MB，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），S（0，0，2），
M（0，，），D（1，0，0）
由上可知AD⊥平面SAB，
∴＝（1，0，0）可作为平面SAB的法向量；
设平面MAC的法向量为，则，即，
，即
取x＝1，则y＝﹣1，z＝2，
即，
设平面SAB与平面AMC所成锐二面角为α，
则
（2）如图，作NQ∥BC，DR∥AB，NQ，DR交于P，
则，
设QN＝m，则PN＝m﹣1，
∴DP＝2M﹣2，
∴N（m，2m﹣2，0），
∴，
∴
∴|
，
当时取等号，
此时，，
，
所以当时，最大．
22．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为AB＝AC，D为线段BC的中点，
所以AD⊥BC．
又PA，AB，AC两两垂直，且AB∩AC＝A，
所以PA⊥平面ABC，则PA⊥BC．
因为AD∩PA＝A，
所以BC⊥平面PAD．
（2）解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），P（0，0，3），D（，，0）．
∵，
∴可设E（0，t，0），则（0，t，﹣3），（，，0），
∴，∴t＝1，
则（，，0），（0，1．﹣3），
设平面PDE的法向量为（x，y，z），
则，即，
令z＝1，得（-1，3，1）．
平面PAB的一个法向量为（0，1，0），
则＝＝．
则
故平面PAB与平面PDE所成二面角的正弦值为．