考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第1课 函数的概念

第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
2.设集合，，从到有四种对应如图所示：
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；
(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．
4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) ，；值域是．
(2) ；值域是．
(3) ，．值域是．
【范例解析】
例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例2.（1）求下列函数的定义域：① ； ② ；
（2）设函数，则函数的定义域为_____________．
分析：（2）先求的定义域，得不等式组求解．
解：（1）① 由题意得：解得且或且，
故定义域为．
② 由题意得：，解得，故定义域为．
（2）由，解得，则
故的定义域为．
点评：（1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域问题，由解出x的范围．
例3.若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
分析：化归为恒成立问题．
解：由对任意恒成立，
当时，成立； 当时，不成立；
当时，，解得．
综上，实数a的取值范围是．
点评：注意讨论二次项系数的情况．
例4.求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
解：，，函数的值域为；
解法一：由，，则，，故函数值域为．
解法二：由，则，，，，故函数值域为．
（3）解：令，则，，
当时，，故函数值域为．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数f(x)＝的定义域是___________．
2．函数的定义域为_________________．
3. 函数的值域为________________．
4. 函数的值域为_____________．
5．函数的定义域为_____________________．
6．若函数的定义域为R，则实数的取值范围______________．
7．设，则的定义域为______________．
8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则____4___．
9. 设集合对任意实数x恒成立}，则下列结论中：
①PQ ；②QP；③P=Q；④PQ=．
其中正确结论的序号有______①______．
10. 已知函数与分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
(1)求的值； (2)若2时，求的值；
(3)求满足的的值．
解：（1）；（2） 4； （3）1，4
11.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故当BA时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．
12.对定义域分别是，的函数，，规定：函数
（1）若函数，，，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域．
解：（1）
（2）当时，；当时，；当时，；
综上可知，．
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且