考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第2课 函数的表示方法

第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数，，则_________；__________．
2.设函数，,则_____3_______；；．
3.已知函数是一次函数，且，,则__15___．
4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
6.已知函数，则___________．
【范例解析】
例1.已知，求的解析式．
分析：可用换元法，配凑法求解析式．
解法一：令，则，代入得：，
即．
解法二：，
又，．
点评：解法一是换元法，已知的解析式且存在反函数时，可用换元法．一般步骤为：（1）令，并求出t的取值范围（即的值域）；（2）解出；（3）将，同时代入函数并化简；（4）以x代t且写出x的取值范围（即t的取值范围）．
例2.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设，则解得
故所求的解析式为．
解法二：，抛物线有对称轴．故可设．
将点代入解得．故所求的解析式为．
解法三：设，由，知有两个根0，2，
可设，，
将点代入解得．故所求的解析式为．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例3.已知函数与的图像关于点对称，求的解析式．
分析：利用对称性求函数的解析式．
解：设函数图像上任一点为，点关于点的对称点为，
得解得代入中，得
，即
点评：求与已知函数的图像关于点，线对称的函数解析式时，可用代入对称点的方法．
例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若，，则（ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
2．已知，且，则m等于________．
3. 设函数，，，则_________．
4. 函数，若，则a的所有可能值为_______________．
5．函数对于任意实数满足条件，若则_______．
6．在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则实数a的取
值范围是____________________．
7．已知则不等式≤5的解集是_________．
8．已知a，b为常数，若，，则___2____．
9. 函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个命题：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中真命题的序号有____②④__．
10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则
∵点在函数的图象上
∴．
11.（1）设，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式．
解：（1）设，则，，故．
（2）设，，则，．
得，，．
12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x．
（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0 )= x0，求函数f(x)的解析表达式．
解：（Ⅰ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2.
又由f(2)=3，得f(3－22+2)=3－22+2，即f(1)=1．
若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0.
所以对任意xR，有f(x)－x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)－x + x0= x0,
又因为f(x0)=x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)－x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0．
若x2=1，则有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1．易验证该函数满足题设条件．
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）．
第5题
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例4
，