考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第3课 函数的单调性

第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
①； ②； ③； ④．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数的递增区间是___ R ___．
3.函数的递减区间是__________．
4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；
③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；
④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例1. 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；
（2） 函数在上是单调递减函数；
（3）函数在区间和上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
（2）对于上的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，
得，故，即．
所以，函数在上是单调减函数．
（3）对于区间内的任意两个值，，且，
因为，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
同理，对于区间，函数是单调增函数；
所以，函数在区间和上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例2.确定函数的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，
则
又，，
，即．
所以，在区间上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
例3.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）试求函数的最小值．
分析：本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．
解：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；
所以，的最小值为，此时；
又，所以的最大值为，此时或．
（3）令，则，
由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．
例4. 已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．
解：
①当时，在[－1，1]上是增函数，
②当时，对称轴方程为，
ⅰ）当时，，解得；
ⅱ）当时， ，解得；
．
点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．
【反馈演练】
1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.
3. 函数的单调递增区间为.
4. 函数的单调递减区间为．
5． “a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件．
6．在下列四个函数中，①； ②； ③； ④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有____①____．
7．已知是上的减函数，那么的取值范围是．
8．设函数的定义域为，有下列三个命题：
①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．
这些命题中，真命题的序号有___②③___．
9. 若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式
的解集为____________________.
10. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设对于区间内的任意两个值，，且，
则，
，，得，，，即．
11. 设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．
证明：在区间上任取x1、x2，使得x1则f(x1)－f(x2)=－a(x1－x2)= －a(x1－x2)
=(x1－x2)( －a)．
∵ <1，且a≥1，∴ －a<0，
又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)> f(x2)．
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．
12. 已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；
（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
解：（1）函数＝＋（＞0）的最小值是，则，．
（2）函数＝＋在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数
当时，＝＋在上是减函数，则的最小值为；
当时，＝＋在上是增函数，则的最小值为；
当时，＝＋在上是减函数，在上时增函数，则的最小值为；
综上所述，的最小值．
（3）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．．
又是偶函数，则函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（4）可以把函数推广为＝＋（常数＞0），其中n为正整数．
当n为奇数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数．
当n为偶数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．