第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出4个函数：①；②；③；④．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．
2.（1）一次函数是奇函数的充要条件是_____________；
（2）二次函数是偶函数的充要条件是_____________．
3. 设函数为奇函数，则实数 －1 ．
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5] ．若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是 ______________ ．
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解：（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，关于原点对称；，
，故为奇函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，且，
所以既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则．
解：设，则，．
又是奇函数，，．
当时，．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
例3. 奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．
分析：运用函数的性质脱去“外衣”．
解：由，解得：．
又，得，
定义在上是减函数，，即，
解得：．又，故a的取值范围是．
点评：在上是减函数时，若设，则成立，反之，也成立．
例4. 已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：函数在上是减函数；
（3）解不等式．
分析：赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．
（1）证明：令，则，得．
令，则，即．故函数是奇函数．
（2）证明：对于上的任意两个值，，且，
则，
又，则，又当时，．
， 即．故函数在上是减函数．
（3）解：由（2）知：函数在R上是减函数．
，．
，解得．又所以解集为．
点评：本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．
【反馈演练】
1．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ D ）
A.是奇函数 B.是奇函数
C. 是偶函数 D.是偶函数
2．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
A． B． C． D．
3. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
4. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．
5．设函数为奇函数，则________．
6．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取
值范围是（－2，2）．
7．已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为____0 ___．
9. 已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间的最小值为___－1_____．
10. 已知函数是奇函数．又，．
（1）求a，b，c的值；
（2）问函数图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，则，应舍去；若，则．
所以，．
（2）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0，x0=1±
∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称．
11. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围．
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则．
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数．
12. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数．如：，，．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求的值域．
解：（1）取特殊值得，．
且，故是非奇非偶函数．
（2）当时，，则，则可取2，3，4；
当时，，则，则可取0，1；
当时，，则，则可取0；
当时，，则，则可取1；
当时，．
综上，可知的值域为．
_
5
_
2
y
x
O
第4题第10 课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数在区间有_____1 ___个零点．
2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
则在区间上的零点至少有___3__个．
3.方程在区间内的近似解为___0.3___（精确到0.1）．
4. 已知函数的零点所在区间为，则m=____2____．
5. 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围______________．
【范例解析】
例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：
①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2
③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．
例2.设，若，，．
求证：（1）且；
（2）方程在内有两个实根．
分析：利用，，进行消元代换．
证明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即证．
（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．
点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．
例3.设函数(,不同时为零)，方程与的实根相同，求实数c的取值范围．
分析：写出方程，的根即可．
解：由，即 ①
由，即 ②
（1）当，时，方程①②的根都是；
（2）当，时，方程①②的根都是；
（3）当，时，方程①的根为，；它们都是方程②的根都，但不是的根，则方程无实数根，故此方程，解得；
综上所述，实数c的取值范围．
点评：关键点在于方程无实根，可根据得到；另要注意分类讨论的使用．
例4.已知函数．
求证：当时，关于x的方程有三个实数解．
分析一：从“形”的角度求解．
证法一：由，得
即
在同一坐标系内作出和
的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，
且位于第一、三象限的双曲线，与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．
因此，与的图象在第三象限有一个交点，即有一个负数解.
又∵，
当a>3时，，
∴当a>3时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.
∴与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解.
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
分析二：从“数”的角度求解．
证法二：由，得，
即，得方程的一个解.
方程化为，
由a>3，，得 ，
∵，， ∴且．
若，即，即，解得或，
这与a>3矛盾，
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
点评：证法一是数形结合的思想方法，借助两个函数图像的交点个数来说明方程根的个数，这是常用的一种思路，但要结合图像说清理由；证法二是代数方法．
【反馈演练】
1．方程的实数解的个数是_____ 2_____．
2． 设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
3．设函数若，，则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．方程在区间上的根必定属于区间（ B ）
A． B． C． D．
5．设定义域为R的函数，则方程有7个不同实数根的充要条件是．
6．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；
②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
7．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为_①__②_③_④_．注①k=-2 ②k= ③k= 0 ④k=
8．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．
解：令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
8．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.
解：（1）是偶函数，
由于此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解
等价于方程有唯一实数解，且.
令，则此问题等价于方程只有一个正实根且.
从而有：
①即，则，不合题意舍去.
②即
(Ⅰ)若，即或.当时，代入方程得不合题意，
当时，得符合题意.
(Ⅱ)方程有一个正根和一个负根，即，即符合题意，
综上所述，实数a的取值范围是.
9．已知二次函数．
（1）若a>b>c， 且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若对，求证：关于的方程有2个不等实根且必有一个根属于．
解：（1）
的图象与x轴有两个交点.
（2），即，
，或=4{[(b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2}
又且，则，故至少有一个不是0，，
故方程有两个不等的实数根．
令，
，
又，，，故方程的根必有一个属于．第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
①； ②； ③； ④．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数的递增区间是___ R ___．
3.函数的递减区间是__________．
4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；
③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；
④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例1. 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；
（2） 函数在上是单调递减函数；
（3）函数在区间和上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
（2）对于上的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，
得，故，即．
所以，函数在上是单调减函数．
（3）对于区间内的任意两个值，，且，
因为，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
同理，对于区间，函数是单调增函数；
所以，函数在区间和上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例2.确定函数的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，
则
又，，
，即．
所以，在区间上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
例3.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性，并证明；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）试求函数的最小值．
分析：本题先研究函数的单调性，再利用单调性解决最值问题．
解：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则，，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（2）由（1）知，函数在上是单调递减，上是单调递增；
所以，的最小值为，此时；
又，所以的最大值为，此时或．
（3）令，则，
由（1）知，在上单调递增，所以，y的最小值为．
例4. 已知函数在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
分析：由函数在[－1，1]上是增函数，建立不等关系．
解：
①当时，在[－1，1]上是增函数，
②当时，对称轴方程为，
ⅰ）当时，，解得；
ⅱ）当时， ，解得；
．
点评：由单调性求参数的范围，应注意分类讨论．
【反馈演练】
1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.
3. 函数的单调递增区间为.
4. 函数的单调递减区间为．
5． “a=1”是“函数在区间[1，+∞)上为增函数”的___充分不必要___条件．
6．在下列四个函数中，①； ②； ③； ④．满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的函数的序号有____①____．
7．已知是上的减函数，那么的取值范围是．
8．设函数的定义域为，有下列三个命题：
①若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
②若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
③若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值．
这些命题中，真命题的序号有___②③___．
9. 若函数为R上的减函数，且的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式
的解集为____________________.
10. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设对于区间内的任意两个值，，且，
则，
，，得，，，即．
11. 设函数f(x)=－ax，其中a>0．证明：当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．
证明：在区间上任取x1、x2，使得x1则f(x1)－f(x2)=－a(x1－x2)= －a(x1－x2)
=(x1－x2)( －a)．
∵ <1，且a≥1，∴ －a<0，
又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)> f(x2)．
所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．
12. 已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．
（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；
（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；
（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．
解：（1）函数＝＋（＞0）的最小值是，则，．
（2）函数＝＋在0，上是减函数，在，＋∞上是增函数
当时，＝＋在上是减函数，则的最小值为；
当时，＝＋在上是增函数，则的最小值为；
当时，＝＋在上是减函数，在上时增函数，则的最小值为；
综上所述，的最小值．
（3）对于区间内的任意两个值，，且，
则，
当，则．
所以，函数在区间上是单调减函数；
当，则．
所以，函数在区间上是单调增函数；
综上所述，函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．．
又是偶函数，则函数在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．
（4）可以把函数推广为＝＋（常数＞0），其中n为正整数．
当n为奇数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数．
当n为偶数时，＝＋在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数；在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数．第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数，，则_________；__________．
2.设函数，,则_____3_______；；．
3.已知函数是一次函数，且，,则__15___．
4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
6.已知函数，则___________．
【范例解析】
例1.已知，求的解析式．
分析：可用换元法，配凑法求解析式．
解法一：令，则，代入得：，
即．
解法二：，
又，．
点评：解法一是换元法，已知的解析式且存在反函数时，可用换元法．一般步骤为：（1）令，并求出t的取值范围（即的值域）；（2）解出；（3）将，同时代入函数并化简；（4）以x代t且写出x的取值范围（即t的取值范围）．
例2.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设，则解得
故所求的解析式为．
解法二：，抛物线有对称轴．故可设．
将点代入解得．故所求的解析式为．
解法三：设，由，知有两个根0，2，
可设，，
将点代入解得．故所求的解析式为．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例3.已知函数与的图像关于点对称，求的解析式．
分析：利用对称性求函数的解析式．
解：设函数图像上任一点为，点关于点的对称点为，
得解得代入中，得
，即
点评：求与已知函数的图像关于点，线对称的函数解析式时，可用代入对称点的方法．
例4.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若，，则（ D ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知，且，则m等于________．
3. 设函数，，，则_________．
4. 函数，若，则a的所有可能值为_______________．
5．函数对于任意实数满足条件，若则_______．
6．在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则实数a的取
值范围是____________________．
7．已知则不等式≤5的解集是_________．
8．已知a，b为常数，若，，则___2____．
9. 函数，其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定，，给出下列四个命题：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中真命题的序号有____②④__．
10.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则
∵点在函数的图象上
∴．
11.（1）设，求函数的解析式；
（2）已知，求函数的解析式．
解：（1）设，则，，故．
（2）设，，则，．
得，，．
12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x．
（Ⅰ）若f(2)=3，求f(1)；又若f(0)=a，求f(a)；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0 )= x0，求函数f(x)的解析表达式．
解：（Ⅰ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2.
又由f(2)=3，得f(3－22+2)=3－22+2，即f(1)=1．
若f(0)=a，则f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xR，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，
又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0.
所以对任意xR，有f(x)－x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)－x + x0= x0,
又因为f(x0)=x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，则f(x)－x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两个不同实根，与题设条件矛盾，故x2≠0．
若x2=1，则有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1．易验证该函数满足题设条件．
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）．
第5题
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例4
，第6 课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
已知二次函数,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为，最小值为．
二次函数的图像的对称轴为,则__－2___，顶点坐标为_，递增区间为，递减区间为．
函数的零点为．
实系数方程两实根异号的充要条件为；有两正根的充要条件为；有两负根的充要条件为．
已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
【范例解析】
例1.设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若时，求的最小值．
分析：去绝对值．
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数．
当时，，，
，．
此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在上的最小值为，在内的最小值为．
故函数在内的最小值为．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．
例3.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围．
分析：确定好分类标准是关键．
解：若，，显然在上没有零点，所以 ．
令 ，解得
①当 时，恰有一个零点在上；
②当，即时，在上也恰有一个零点．
③当在上有两个零点时，则
或
解得或．
综上所求实数的取值范围是 或 ．
点评：本题是以函数在区间上零点的个数为分类标准，进行求解．另本题也可以用参数分类求解．
【反馈演练】
1．函数是单调函数的充要条件是．
2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．
3. 已知函数若则与大小关系是．注： 1+x1+1+x2>0 (1)1+x2>1+x1>0 (2)1+x2>-1-x1>0
4. 设，二次函数的图象为下列四图之一：
则a的值为 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
5．若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是．
6．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．
7．（1）若关于的方程的两个实根满足，则实数t的取值范围是．
（2）若关于的方程的两根都小于1，则实数a的取值范围是．
8. 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是．
9.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．
10. 已知函数在有最小值，记作．
（1）求的表达式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知对称轴方程为，
当时，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上，．
（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．
11. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数在在上有最大值2；
（2）函数在在上有最大值4．
解：（1）当时，，令，则；
当时，，令，（舍）；
当时，，即．
综上，可得或．
（2）当时，，即，则；
当时，，即，则．
综上，或．
12. 已知函数．
（1）对任意，比较与的大小；
（2）若时，有，求实数a的取值范围．
解：（1）对任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．本章自主测试
一．填空题（本大题共14小题，每小题6分，共84分）
1.方程的解是．
2.已知集合，，则．
3.若函数是奇函数，则a= ．
4.已知f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上是减函数，若，则x的取值范围是．
5.若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是．
6.用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下：
f(1.6000)=0.200 f(1.5875)=0.133 f(1.5750)=0.067
f(1.5625)=0.003 f(1.5562)=-0.029 f(1.5500)=-0.060
根据此数据，可得方程的一个近似解（精确到0.01）为 1.56 ．
7.已知函数的值域为，函数，，总，使得成立，则实数a的取值范围为.
8. 已知是以2为周期的偶函数，且当时，.若在区间内，函数有4个零点，则的取值范围是.
9.若直线y=2a与函数y=|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是．
10.设函数则实数a的取值范围是 （－∞，－1） ．
11.若与在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的值范围是．
12.函数满足，且均大于，，则的最小值.
13.设若，且，则的取值范围是.
14. 某同学在研究函数 f (x) = () 时，分别给出下面几个结论：
①等式在时恒成立； ②函数 f (x) 的值域为 (－1,1)；
③若x1≠x2，则一定有f (x1)≠f (x2)； ④函数在上有三个零点.
其中正确结论的序号有 ①②③ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)
二．解答题（本大题共5小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.已知函数 求在区间上的最大值
解：
当即时，在上单调递增，
当即时，
当时，在上单调递减，
综上，
16.设，函数是R上的偶函数．
（1）求a的值；（2）证明在上是增函数．
解：（1）对一切有，即则对一切成立．得，即．
（2）证明：设，，
由，得，，，即，故在上是增函数．
17.已知函数.
（1）求证：函数在内单调递增；
（2）若关于的方程在上有解，求的取值范围.
（1）证明：任取，则
，
，
，
，即函数在内单调递增.
（2） 解法一：
，
当时，，
的取值范围是.
解法二：解方程，得，
，
解得 .
的取值范围是.
18. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？
（Ⅱ）当天购买一次配料时，求该厂在这天中用于配料的总支出（元）关于的函数关系式；
(Ⅲ)求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少
（总支出=购买配料费+运输费+保管费）
解:（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
(元)
（Ⅱ）（1）当时
（2）当时
=
∴
（Ⅲ）设该厂天购买一次配料时，平均每天的总支出为元，
则
当时
，当且仅当时，有最小值（元）
当时
=，当且仅当时取等号.
又∵
综上可知，当时，有最小值393元.
答：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P为88元；
（Ⅱ）天中用于配料的总支出；
（Ⅲ）该厂12天购买一次配料时，才能使平均每天的总支出最少，最少费用为393元.
19．定义在R上的函数，对任意，，都有，则称函数是R上的凹函数．已知二次函数．
（1）求证：当时，函数是凹函数；
（2）对任意有，求a的取值范围。
（1）证明：
，又，故，
所以当时，函数是凹函数，命题得证.
（2）解：由得，即对任意恒成立.
又，得解得.第二章 函数
【知识导读】
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．
1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．
2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．
4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
映射
特殊化
函数
具体化
一般化
概念
图像
表 示 方 法
定义域 值域
单调性 奇偶性
基本初等函数Ⅰ
幂函数
指数函数
对数函数
二次函数
指数
对数
互 逆
函数与方程
应用问题第8 课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．
2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．
3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．
4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．
5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．
6.已知函数过定点，则此定点坐标为．
【范例解析】
例1.比较各组值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．
例2.已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
分析：研究函数的单调性，将恒成立问题转化为求最值问题．
（1）解：因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
（2）解法一：由（1）知，易知在上为减函数．
又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
解法二：由（1）知．又由题设条件得：，
即 ：，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
点评：本题第（2）问解法二，计算量大；而解法一利用单调性可以达到简化目的．
例3.已知函数，求证：
（1）函数在上是增函数；
（2）方程没有负根．
分析：注意反证法的运用．
证明：（1）设，，
，，又，所以，，，则
故函数在上是增函数．
（2）设存在，满足，则．又，
即，与假设矛盾，故方程没有负根．
点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．
例4.已知函数，．
（1）证明是奇函数，并求的单调区间；
（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
分析：利用定义证明函数的奇偶性和单调性．
解：（1）函数的定义域为关于原点对称，
又，是奇函数．
设，则，
，，即函数在上是增函数．
又是奇函数，则函数在上是增函数．
（2）计算，，由此概括对所有不等于零的实数x有．
．
点评：本题主要考察幂函数的性质，以及分析，归纳能力和逻辑思维能力．
【反馈演练】
1．函数对于任意的实数都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．设，则 （ A ）
A．－23．将y=2x的图像 ( D )
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数的图像．
4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ B ）
A． B．
C． D．
6．函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为___2__．
7．设则．
8．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_____512____个．
9．已知实数a, b满足等式下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有_____③④____．
10．若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围．
解：由得，，
11．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）定义域为R，则，故是奇函数．
（2）设，，
当时，得，即；
当时，得，即；
综上，实数a的取值范围是．
12．定义在R上的奇函数的最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当为何值时，方程在上有实数解．
解：（1）是R上的奇函数，；又2为的最小正周期，
，，设，则．
，．．
（2）设，，故在上是单调减函数．
（3）因为在上是单调减函数，，即，
同理，在上时，，又，
，方程在上有实数解．
1
O
－1
1
x
y
第4题第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
2.设集合，，从到有四种对应如图所示：
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；
(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．
4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) ，；值域是．
(2) ；值域是．
(3) ，．值域是．
【范例解析】
例1.设有函数组：①，；②，；③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例2.（1）求下列函数的定义域：① ； ② ；
（2）设函数，则函数的定义域为_____________．
分析：（2）先求的定义域，得不等式组求解．
解：（1）① 由题意得：解得且或且，
故定义域为．
② 由题意得：，解得，故定义域为．
（2）由，解得，则
故的定义域为．
点评：（1）确定函数的定义域主要根据是使式子有意义，列出不等式（组）求解；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域问题，由解出x的范围．
例3.若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
分析：化归为恒成立问题．
解：由对任意恒成立，
当时，成立； 当时，不成立；
当时，，解得．
综上，实数a的取值范围是．
点评：注意讨论二次项系数的情况．
例4.求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
解：，，函数的值域为；
解法一：由，，则，，故函数值域为．
解法二：由，则，，，，故函数值域为．
（3）解：令，则，，
当时，，故函数值域为．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数f(x)＝的定义域是___________．
2．函数的定义域为_________________．
3. 函数的值域为________________．
4. 函数的值域为_____________．
5．函数的定义域为_____________________．
6．若函数的定义域为R，则实数的取值范围______________．
7．设，则的定义域为______________．
8．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则____4___．
9. 设集合对任意实数x恒成立}，则下列结论中：
①PQ ；②QP；③P=Q；④PQ=．
其中正确结论的序号有______①______．
10. 已知函数与分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 2 3 4 1
x 1 2 3 4
g(x) 2 1 4 3
(1)求的值； (2)若2时，求的值；
(3)求满足的的值．
解：（1）；（2） 4； （3）1，4
11.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故当BA时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．
12.对定义域分别是，的函数，，规定：函数
（1）若函数，，，，写出函数的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域．
解：（1）
（2）当时，；当时，；当时，；
综上可知，．
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且第7 课 指数与对数
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．
【基础练习】
1.写出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化简下列各式：
（1）；
（2）．
3.求值：（1）___－38____；
（2）____1____；
（3）_____3____．
4.已知，，则___－0.14_____(结果保留2位小数) ．
5.（1）方程的解集为_____16________；
（2）方程的解集为；
（3）方程的解集为_____2____．
【范例解析】
例1. 化简求值：
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值．
分析：先化简再求值．
解：（1）由，得，故；
又，；，故．
（2）由得；则．
点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．
例2.（1）求值：；
（2）已知，，求．
分析：化为同底．
解：（1）原式=；
（2）由，得；所以．
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．
例3.已知，且，求c的值．
分析：将a，b都用c表示．
解：由，得，；又，则，
得．，．
点评：三个方程三个未知数，消元法求解．
例4.设，，为正数，且满足．
（1）求证：；
（2）若，，求，，的值．
分析：运用对数运算性质化简证明．
（1）证明：左边
=右边．
（2）解：由得①；由得②；
又③；联立①②③得，，．
点评：证明恒等式问题一般由复杂到简单．
【反馈演练】
1．若，则．
2．设，则．
3．已知函数，若，则－b．
4．设函数若，则x0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．
6．方程的解是___0或1___．
7．若，，则k =__－1__．
8．若正整数m满足，155．
9．若，则_2___．
10．已知，求的值．
解：由已知得，，即，，解得：．又，且，，从而，则．
11．已知，求的值．
解：，，，，
又，．
12．已知函数，且．
（1）求实数c的值；
（2）解不等式．
解：（1）因为，所以，
由，即，．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．第9 课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
1.函数的定义域是．
2.函数的单调递增区间是．
3.已知0＜a＜1，，则 (A )
A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
4.函数的单调减区间是．
5.设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为．
6.若函数在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为．
【范例解析】
例1.比较下列各组的大小：
（1），，，；
（2），，，．
解：（1）；
（2）．
点评：比较大小：（1）化为同底利用单调性；（2）用0，1等数分类．
例2. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．
（2）设函数，给出下列命题：
①有最小值； ②当时，的值域为；
③当时，的定义域为；
④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．
（2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；
③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．
例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性．
解：x须满足
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
例4.设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点．
（1）写出函数y=g(x)的解析式；
（2）若当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．
分析：去绝对值，转化为求最值问题．
解 （1）设点Q的坐标为(x′，y′)，则x′=x－2a,y′=－y． 即x=x′+2a，y=－y′．
∵点P(x，y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，
∴－y′=loga(x′+2a－3a)，即y′=loga，∴g(x)=loga ( http: / / www. / )
（2）由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0；=>0，
又a>0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|≤1，
∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1，
∵0＜a＜1，∴a+2>2a．又f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2，a+3］上为减函数，
∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2，a+3］上为减函数，
从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a)，［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a)，于是所求问题转化为求不等式组的解 由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤，由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤，
∴所求a的取值范围是0＜a≤．
点评：根据定义域确定a的取值范围；含绝对值问题，一般是去绝对值求解．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①；②；③；④.其中值最大的序号是___④___.
2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．
3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．
4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.
6．下列四个函数：①； ②；③；
④.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．设均为正数，且，，．则的大小关系为．
8．设，函数，则使的x的取值范围是．
9．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是．
10．求函数,的最大值和最小值．
解：
令，，则，
即求函数在上的最大值和最小值．
故函数的最大值为0，最小值为．
11．已知函数，．若，判断与的大小，并证明．
证明：因为，，
又，
所以当时，；当时，．
12．已知函数．
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性，并证明．
解：（1）解：由 ，故的定义域为．
（2），故为奇函数．
（3）证明：设，则，
．
当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；
当时，，故在，上为增函数．
第6题第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；
（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；
（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：
3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．
4. 函数的图象是 （ B ）
5.给出下列四个函数：①；②；③；④．当时，使成立的函数的序号有____①____．
【范例解析】
例1.作出函数及，，，，的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
将的图像向左平移2个单位得到的图像；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
与的图像关于原点对称；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．
例2.将函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得图像C，图像与C关于原点对称，图像与关于直线对称，求对应函数的解析式．
分析：先通过平移变换得到图像C对应的解析式，再利用对称性得到解析式．
解：函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得的图像；因图像与C关于原点对称，则图像的解析式为：，即．
设函数图像上任一点为，点直线对称的点为，
得代入中，得，故对应函数的解析式为．
点评：注意根据对称性求解析式的一般步骤．
例3.讨论方程的解的个数．
分析：构造函数，利用函数的图像讨论方程的解的个数．
解：构造两个函数，，是一组平行于x轴的直线，作出函数的图像，如图，观察图像可得，当时，两个函数图像无交点，故方程无解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解；当时，两个函数图像有4个交点，故方程有4个解；当时，两个函数图像有3个交点，故方程有3个解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解．综上，当时，方程无解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解．
点评：将方程的根的问题转化为函数图像的交点问题，体现了化归思想，函数与方程思想，数形结合思想．
例4.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．
分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.
由于.
（3）当时，.
，
. 又，
① 当，即时，取，
.
， 则.
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方．
点评：恒成立问题是一种常见题型，通常转化为求函数最值问题或利用参数分离求解．
【反馈演练】
1．函数的图象是（ B ）
2．某地一年的气温Q（t）（单位： c）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 c，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则可能正确的是（ A ）
3.如图所示，单位圆中弧的长为x，表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ D ）
4. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到．
5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称．现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为．
6．已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=．
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
8. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图象与的图象关于 x 轴 对称，则函数= ．（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）．
9. 若直线是函数的图像的一条对称轴，则的图像关于直线对称．
10. 作出下列函数的简图：
（1）； （2）； （3）．
解答：略．
11. 已知函数的定义域为，且满足．
（1）证明函数的图像关于直线对称；
（2）若又是偶函数，且时，，求当时的的解析式．
解：（1）设是函数的图像上任意一点，则．
点关于直线的对称点，
，
也在函数的图像上，故函数的图像关于直线对称．
（2）由，及是偶函数，得；
当时，由函数的图像关于直线对称，用代入，
得；
又是偶函数，得．
故
12. 试讨论方程的解的个数．
解：设，，则方程的实根的个数就是函数的图像与的图像的交点个数，作与的图像，根据图像可知：
当时，方程没有实数根；
当或或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不等的实数根．
向上平移3个单位
向右平移1个单位
向右平移3个单位
作关于y轴对称的图形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
图2
－1
O
y
x
图1
－1
O
y
x
图4
－1
O
y
x
图3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
x
－1
1
C．
O
y
－1
1
D．
x
t
O
Q(t)
10 c
6
12
第2题
A
O
6
12
t
G(t)
10 c
O
t
G(t)
12
6
10 c
B
O
t
12
6
10 c
G(t)
C
t
12
6
O
G(t)
10 c
D
第3题
Ｄ．
Ｃ．
Ｂ．
A．
第5题
x
y
1
O
k=1
k=－1
第12题第11 课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1.2006年11月15日起，国内投寄首重100g以内的外部信函的邮资标准：每封信不超过20g时付邮资120分，超过20g而不超过40g付邮资240分，超过40g而不超过60g付邮资360分，依次类推．如果某人所寄一封信的质量为82.5g，那么他应付邮资为____600___分．
2.今有一组实验数据如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① ② ③ ④
其中最接近的一个的序号是______③_______．
3.以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值l，
则这块场地的最大面积是___________．
4.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则这种物质的
剩留量关于时间的函数关系式为_______________．
5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 解不等式得.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例1.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
点评：本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
例2.某工厂第一季度某产品月生产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好 为什么
分析：待定系数法求二次函数解析式．
解：设二次函数，由，，，解得：，，，．
由得，解得：，，，
即
又，，
，作为模拟函数更好．
点评：函数模型不确定，需要我们去探索，尝试，找到最合适的模型．本题给了两个函数模型供选择，如何选？结合条件中的数据进行处理．
例3.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
当且仅当．即时上式中等号成立
若，则当时，全程运输成本y最小，
若，则当时，有
=
因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
所以，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．
点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．
【反馈演练】
1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________．
2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份 1 2 3 4 5 6 7
价格（元/担） 68 78 67 71 72 70
则7月份该产品的市场收购价格应为______ 71_______元．
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．
5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（ A ）
A． B． C． D．
6．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方
形的周长为 ．
7．建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_____1120____元．
8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，
室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，
y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，
回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）
之间的函数关系式为．
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
9．在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警装置，生产x台的收入函数为(单位:元)，其成本函数为(单位:元)，利润是收入与成本之差．则利润函数的最大值为_____74120_____元，边际利润函数的最大值为____2440___元．
10．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省
解：由题意得 xy+x2=8，∴y==(0则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时，x=8－4，，
故当x为8－4m，y为m时，用料最省.
11．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元
（II）当时，
当时，
当时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当时，；当时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
12．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(＜1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小
解：（1）设画面高为x cm，宽为x cm，则x2 = 4840．
设纸张面积为S，有S = (x＋16) (x＋10)= x2＋(16＋10) x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
（2）如果，可设，则由的表达式得
44=
由于，故
因此，所以在区间［］内单调递增.
从而，对于，当＝时，取得最小值
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．如果要求，当＝时，所用纸张面积最小.
第3题
第8题
第10题
x
y