考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第4课 函数的奇偶性

第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出4个函数：①；②；③；④．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．
2.（1）一次函数是奇函数的充要条件是_____________；
（2）二次函数是偶函数的充要条件是_____________．
3. 设函数为奇函数，则实数 －1 ．
4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5] ．若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是 ______________ ．
5. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解：（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，关于原点对称；，
，故为奇函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，且，
所以既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则．
解：设，则，．
又是奇函数，，．
当时，．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
例3. 奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．
分析：运用函数的性质脱去“外衣”．
解：由，解得：．
又，得，
定义在上是减函数，，即，
解得：．又，故a的取值范围是．
点评：在上是减函数时，若设，则成立，反之，也成立．
例4. 已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有．当时，．
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：函数在上是减函数；
（3）解不等式．
分析：赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．
（1）证明：令，则，得．
令，则，即．故函数是奇函数．
（2）证明：对于上的任意两个值，，且，
则，
又，则，又当时，．
， 即．故函数在上是减函数．
（3）解：由（2）知：函数在R上是减函数．
，．
，解得．又所以解集为．
点评：本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．
【反馈演练】
1．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ D ）
A.是奇函数 B.是奇函数
C. 是偶函数 D.是偶函数
2．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
A． B． C． D．
3. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
4. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．
5．设函数为奇函数，则________．
6．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取
值范围是（－2，2）．
7．已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为____0 ___．
9. 已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间的最小值为___－1_____．
10. 已知函数是奇函数．又，．
（1）求a，b，c的值；
（2）问函数图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，则，应舍去；若，则．
所以，．
（2）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,－y0)也在y=f(x)图象上，则消去y0得x02－2x0－1=0，x0=1±
∴y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1－,－2)关于(1，0)对称．
11. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围．
解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设，
，
由得，
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，则．
另解（导数法）：，要使在区间是增函数，只需当时，恒成立，即，则恒成立，
故当时，在区间是增函数．
12. 已知函数，其中表示不超过x的最大整数．如：，，．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求的值域．
解：（1）取特殊值得，．
且，故是非奇非偶函数．
（2）当时，，则，则可取2，3，4；
当时，，则，则可取0，1；
当时，，则，则可取0；
当时，，则，则可取1；
当时，．
综上，可知的值域为．
_
5
_
2
y
x
O
第4题