考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第5课 函数的图像

第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；
（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；
（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：
3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．
4. 函数的图象是 （ B ）
5.给出下列四个函数：①；②；③；④．当时，使成立的函数的序号有____①____．
【范例解析】
例1.作出函数及，，，，的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
将的图像向左平移2个单位得到的图像；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
与的图像关于原点对称；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．
例2.将函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得图像C，图像与C关于原点对称，图像与关于直线对称，求对应函数的解析式．
分析：先通过平移变换得到图像C对应的解析式，再利用对称性得到解析式．
解：函数的图像沿x轴向右平移1个单位，得的图像；因图像与C关于原点对称，则图像的解析式为：，即．
设函数图像上任一点为，点直线对称的点为，
得代入中，得，故对应函数的解析式为．
点评：注意根据对称性求解析式的一般步骤．
例3.讨论方程的解的个数．
分析：构造函数，利用函数的图像讨论方程的解的个数．
解：构造两个函数，，是一组平行于x轴的直线，作出函数的图像，如图，观察图像可得，当时，两个函数图像无交点，故方程无解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解；当时，两个函数图像有4个交点，故方程有4个解；当时，两个函数图像有3个交点，故方程有3个解；当时，两个函数图像有2个交点，故方程有2个解．综上，当时，方程无解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解．
点评：将方程的根的问题转化为函数图像的交点问题，体现了化归思想，函数与方程思想，数形结合思想．
例4.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；
（3）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方．
分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.
由于.
（3）当时，.
，
. 又，
① 当，即时，取，
.
， 则.
② 当，即时，取， ＝.
由 ①、②可知，当时，，.
因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方．
点评：恒成立问题是一种常见题型，通常转化为求函数最值问题或利用参数分离求解．
【反馈演练】
1．函数的图象是（ B ）
2．某地一年的气温Q（t）（单位： c）与时间t（月份）之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 c，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则可能正确的是（ A ）
3.如图所示，单位圆中弧的长为x，表示弧与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数的图像是（ D ）
4. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到．
5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象关于直线对称．现将的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数的表达式为．
6．已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=．
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
8. 把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：
若函数的图象与的图象关于 x 轴 对称，则函数= ．（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）．
9. 若直线是函数的图像的一条对称轴，则的图像关于直线对称．
10. 作出下列函数的简图：
（1）； （2）； （3）．
解答：略．
11. 已知函数的定义域为，且满足．
（1）证明函数的图像关于直线对称；
（2）若又是偶函数，且时，，求当时的的解析式．
解：（1）设是函数的图像上任意一点，则．
点关于直线的对称点，
，
也在函数的图像上，故函数的图像关于直线对称．
（2）由，及是偶函数，得；
当时，由函数的图像关于直线对称，用代入，
得；
又是偶函数，得．
故
12. 试讨论方程的解的个数．
解：设，，则方程的实根的个数就是函数的图像与的图像的交点个数，作与的图像，根据图像可知：
当时，方程没有实数根；
当或或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不等的实数根．
向上平移3个单位
向右平移1个单位
向右平移3个单位
作关于y轴对称的图形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
图2
－1
O
y
x
图1
－1
O
y
x
图4
－1
O
y
x
图3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
x
－1
1
C．
O
y
－1
1
D．
x
t
O
Q(t)
10 c
6
12
第2题
A
O
6
12
t
G(t)
10 c
O
t
G(t)
12
6
10 c
B
O
t
12
6
10 c
G(t)
C
t
12
6
O
G(t)
10 c
D
第3题
Ｄ．
Ｃ．
Ｂ．
A．
第5题
x
y
1
O
k=1
k=－1
第12题