考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第6课 二次函数

第6 课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
已知二次函数,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为，最小值为．
二次函数的图像的对称轴为,则__－2___，顶点坐标为_，递增区间为，递减区间为．
函数的零点为．
实系数方程两实根异号的充要条件为；有两正根的充要条件为；有两负根的充要条件为．
已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
【范例解析】
例1.设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若时，求的最小值．
分析：去绝对值．
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数．
当时，，，
，．
此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在上的最小值为，在内的最小值为．
故函数在内的最小值为．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．
例3.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围．
分析：确定好分类标准是关键．
解：若，，显然在上没有零点，所以 ．
令 ，解得
①当 时，恰有一个零点在上；
②当，即时，在上也恰有一个零点．
③当在上有两个零点时，则
或
解得或．
综上所求实数的取值范围是 或 ．
点评：本题是以函数在区间上零点的个数为分类标准，进行求解．另本题也可以用参数分类求解．
【反馈演练】
1．函数是单调函数的充要条件是．
2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．
3. 已知函数若则与大小关系是．注： 1+x1+1+x2>0 (1)1+x2>1+x1>0 (2)1+x2>-1-x1>0
4. 设，二次函数的图象为下列四图之一：
则a的值为 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
5．若不等式对任意的实数均成立，则实数的取值范围是．
6．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．
7．（1）若关于的方程的两个实根满足，则实数t的取值范围是．
（2）若关于的方程的两根都小于1，则实数a的取值范围是．
8. 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是．
9.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．
10. 已知函数在有最小值，记作．
（1）求的表达式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知对称轴方程为，
当时，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上，．
（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．
11. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数在在上有最大值2；
（2）函数在在上有最大值4．
解：（1）当时，，令，则；
当时，，令，（舍）；
当时，，即．
综上，可得或．
（2）当时，，即，则；
当时，，即，则．
综上，或．
12. 已知函数．
（1）对任意，比较与的大小；
（2）若时，有，求实数a的取值范围．
解：（1）对任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．