考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第8课 幂函数、指数函数及其性质

第8 课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．
2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．
3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．
4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．
5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．
6.已知函数过定点，则此定点坐标为．
【范例解析】
例1.比较各组值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．
例2.已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
分析：研究函数的单调性，将恒成立问题转化为求最值问题．
（1）解：因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
（2）解法一：由（1）知，易知在上为减函数．
又因是奇函数，从而不等式：
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
解法二：由（1）知．又由题设条件得：，
　　即　：，
整理得　
上式对一切均成立，从而判别式
点评：本题第（2）问解法二，计算量大；而解法一利用单调性可以达到简化目的．
例3.已知函数，求证：
（1）函数在上是增函数；
（2）方程没有负根．
分析：注意反证法的运用．
证明：（1）设，，
，，又，所以，，，则
故函数在上是增函数．
（2）设存在，满足，则．又，
即，与假设矛盾，故方程没有负根．
点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．
例4.已知函数，．
（1）证明是奇函数，并求的单调区间；
（2）分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．
分析：利用定义证明函数的奇偶性和单调性．
解：（1）函数的定义域为关于原点对称，
又，是奇函数．
设，则，
，，即函数在上是增函数．
又是奇函数，则函数在上是增函数．
（2）计算，，由此概括对所有不等于零的实数x有．
．
点评：本题主要考察幂函数的性质，以及分析，归纳能力和逻辑思维能力．
【反馈演练】
1．函数对于任意的实数都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．设，则 （ A ）
A．－23．将y=2x的图像 ( D )
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位
再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数的图像．
4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ B ）
A． B．
C． D．
6．函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为___2__．
7．设则．
8．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成_____512____个．
9．已知实数a, b满足等式下列五个关系式：
①0其中不可能成立的关系式有_____③④____．
10．若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围．
解：由得，，
11．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）定义域为R，则，故是奇函数．
（2）设，，
当时，得，即；
当时，得，即；
综上，实数a的取值范围是．
12．定义在R上的奇函数的最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当为何值时，方程在上有实数解．
解：（1）是R上的奇函数，；又2为的最小正周期，
，，设，则．
，．．
（2）设，，故在上是单调减函数．
（3）因为在上是单调减函数，，即，
同理，在上时，，又，
，方程在上有实数解．
1
O
－1
1
x
y
第4题