考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第9课 对数函数及其性质

第9 课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
1.函数的定义域是．
2.函数的单调递增区间是．
3.已知0＜a＜1，，则 (A )
A．1＜n＜m B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
4.函数的单调减区间是．
5.设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为．
6.若函数在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为．
【范例解析】
例1.比较下列各组的大小：
（1），，，；
（2），，，．
解：（1）；
（2）．
点评：比较大小：（1）化为同底利用单调性；（2）用0，1等数分类．
例2. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．
（2）设函数，给出下列命题：
①有最小值； ②当时，的值域为；
③当时，的定义域为；
④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．
（2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；
③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．
例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性．
解：x须满足
所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
例4.设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点．
（1）写出函数y=g(x)的解析式；
（2）若当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围．
分析：去绝对值，转化为求最值问题．
解 （1）设点Q的坐标为(x′，y′)，则x′=x－2a,y′=－y． 即x=x′+2a，y=－y′．
∵点P(x，y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，
∴－y′=loga(x′+2a－3a)，即y′=loga，∴g(x)=loga ( http: / / www. / )
（2）由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0；=>0，
又a>0且a≠1，∴0＜a＜1，
∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|≤1，
∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1，
∵0＜a＜1，∴a+2>2a．又f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2，a+3］上为减函数，
∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2，a+3］上为减函数，
从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a)，［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a)，于是所求问题转化为求不等式组的解 由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤，由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤，
∴所求a的取值范围是0＜a≤．
点评：根据定义域确定a的取值范围；含绝对值问题，一般是去绝对值求解．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①；②；③；④.其中值最大的序号是___④___.
2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．
3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．
4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.
6．下列四个函数：①； ②；③；
④.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．设均为正数，且，，．则的大小关系为．
8．设，函数，则使的x的取值范围是．
9．已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记．若在区间上是增函数，则实数的取值范围是．
10．求函数,的最大值和最小值．
解：
令，，则，
即求函数在上的最大值和最小值．
故函数的最大值为0，最小值为．
11．已知函数，．若，判断与的大小，并证明．
证明：因为，，
又，
所以当时，；当时，．
12．已知函数．
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性，并证明．
解：（1）解：由 ，故的定义域为．
（2），故为奇函数．
（3）证明：设，则，
．
当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；
当时，，故在，上为增函数．
第6题