考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第10课 函数与方程

第10 课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数在区间有_____1 ___个零点．
2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
则在区间上的零点至少有___3__个．
3.方程在区间内的近似解为___0.3___（精确到0.1）．
4. 已知函数的零点所在区间为，则m=____2____．
5. 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围______________．
【范例解析】
例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：
①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．
例2.设，若，，．
求证：（1）且；
（2）方程在内有两个实根．
分析：利用，，进行消元代换．
证明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即证．
（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．
点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．
例3.设函数(,不同时为零)，方程与的实根相同，求实数c的取值范围．
分析：写出方程，的根即可．
解：由，即 ①
由，即 ②
（1）当，时，方程①②的根都是；
（2）当，时，方程①②的根都是；
（3）当，时，方程①的根为，；它们都是方程②的根都，但不是的根，则方程无实数根，故此方程，解得；
综上所述，实数c的取值范围．
点评：关键点在于方程无实根，可根据得到；另要注意分类讨论的使用．
例4.已知函数．
求证：当时，关于x的方程有三个实数解．
分析一：从“形”的角度求解．
证法一：由，得
即
在同一坐标系内作出和
的大致图象，其中的图象是以坐标轴为渐近线，
且位于第一、三象限的双曲线，与的图象是以为顶点，开口向下的抛物线．
因此，与的图象在第三象限有一个交点，即有一个负数解.
又∵，
当a>3时，，
∴当a>3时，在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.
∴与的图象在第一象限有两个交点，即有两个正数解.
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
分析二：从“数”的角度求解．
证法二：由，得，
即，得方程的一个解.
方程化为，
由a>3，，得 ，
∵，， ∴且．
若，即，即，解得或，
这与a>3矛盾，
因此，当a>3时，方程有三个实数解．
点评：证法一是数形结合的思想方法，借助两个函数图像的交点个数来说明方程根的个数，这是常用的一种思路，但要结合图像说清理由；证法二是代数方法．
【反馈演练】
1．方程的实数解的个数是_____ 2_____．
2． 设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
3．设函数若，，则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．方程在区间上的根必定属于区间（ B ）
A． B． C． D．
5．设定义域为R的函数，则方程有7个不同实数根的充要条件是．
6．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；
②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
7．关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为_①__②_③_④_．注①k=-2 ②k= ③k= 0 ④k=
8．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．
解：令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
8．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.
解：（1）是偶函数，
由于此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解
等价于方程有唯一实数解，且.
令，则此问题等价于方程只有一个正实根且.
从而有：
①即，则，不合题意舍去.
②即
(Ⅰ)若，即或.当时，代入方程得不合题意，
当时，得符合题意.
(Ⅱ)方程有一个正根和一个负根，即，即符合题意，
综上所述，实数a的取值范围是.
9．已知二次函数．
（1）若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；
（2）若对，求证：关于的方程有2个不等实根且必有一个根属于．
解：（1）
的图象与x轴有两个交点.
（2），即，
，或=4{[(b+a(x1+x2)]2+a2(x1-x2)2}
又且，则，故至少有一个不是0，，
故方程有两个不等的实数根．
令，
，
又，，，故方程的根必有一个属于．