考前最后一轮基础知识巩固之第二章 第11课 函数模型及其应用

第11 课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1.2006年11月15日起，国内投寄首重100g以内的外部信函的邮资标准：每封信不超过20g时付邮资120分，超过20g而不超过40g付邮资240分，超过40g而不超过60g付邮资360分，依次类推．如果某人所寄一封信的质量为82.5g，那么他应付邮资为____600___分．
2.今有一组实验数据如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① ② ③ ④
其中最接近的一个的序号是______③_______．
3.以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱笆的总长为定值l，
则这块场地的最大面积是___________．
4.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%，则这种物质的
剩留量关于时间的函数关系式为_______________．
5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 解不等式得.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例1.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
点评：本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
例2.某工厂第一季度某产品月生产量分别为1万件，1.2万件，1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数(其中a，b，c为常数)．已知4月份的产量为1.36万件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好 为什么
分析：待定系数法求二次函数解析式．
解：设二次函数，由，，，解得：，，，．
由得，解得：，，，
即
又，，
，作为模拟函数更好．
点评：函数模型不确定，需要我们去探索，尝试，找到最合适的模型．本题给了两个函数模型供选择，如何选？结合条件中的数据进行处理．
例3.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（II）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解：（Ⅰ）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
故所求函数及其定义域为
(Ⅱ)依题意知S，a，b，v都为正数，故有
当且仅当．即时上式中等号成立
若，则当时，全程运输成本y最小，
若，则当时，有
=
因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，
所以，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．
点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．
【反馈演练】
1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________．
2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格与其前三个月的市场收购价格有关，且使与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：
月份 1 2 3 4 5 6 7
价格（元/担） 68 78 67 71 72 70
则7月份该产品的市场收购价格应为______ 71_______元．
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．
5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（ A ）
A． B． C． D．
6．一根长为1的铁丝，分成两段分别围成一个正方形和一个圆，当正方形和圆的面积之和最小时，正方
形的周长为 ．
7．建造一个容积为8m3 ，深为2m的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_____1120____元．
8．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，
室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，
y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，
回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）
之间的函数关系式为．
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室．
9．在经济学中，函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产100台报警装置，生产x台的收入函数为(单位:元)，其成本函数为(单位:元)，利润是收入与成本之差．则利润函数的最大值为_____74120_____元，边际利润函数的最大值为____2440___元．
10．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省
解：由题意得 xy+x2=8，∴y==(0则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时，x=8－4，，
故当x为8－4m，y为m时，用料最省.
11．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；
（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）
解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元
（II）当时，
当时，
当时，
所以
（III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
当时，；当时，
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；
如果订购1000个，利润是11000元．
12．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(＜1)，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．
（1）怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小
解：（1）设画面高为x cm，宽为x cm，则x2 = 4840．
设纸张面积为S，有S = (x＋16) (x＋10)= x2＋(16＋10) x＋160，
将代入上式，得．
当时，即时，S取得最小值．
此时，高：，宽：．
（2）如果，可设，则由的表达式得
44=
由于，故
因此，所以在区间［］内单调递增.
从而，对于，当＝时，取得最小值
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．如果要求，当＝时，所用纸张面积最小.
第3题
第8题
第10题
x
y