24.1.4圆周角 课件（共32张PPT）

(共34张PPT)
24.1.4圆周角
人教版
九年级上
教学目标
1.掌握圆周角的概念及圆周角定理.
2.掌握圆周角与圆心角的关系及其推论并能运用圆周角定理解决
简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质，并会利用其
进行简单的应用.（难点）
回顾旧知
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中
合作探究
问题1
：指出图中的圆心角。
问题2
：∠ABE、
∠ACE
、∠ADE的顶点和边有哪
些特点?
它们的顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交。
∠AOE
.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的定义:
趁热打铁
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
（4）
顶点不在圆上
合作探究
探究一：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
?
1．一个弧上所
对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角的度数是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
合作探究
探究二：同弧所对的圆周角与这条弧所对的圆心角之间的关系。
如图，在☉O任取一段弧BC，连接BO,CO,得圆心角∠BOC，圆周角
∠BAC，∠BAC与∠BOC存在怎样的位置关系？
圆心O
在∠BAC的内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC的外部
∠BAC与∠BOC有怎样的数量关系？试着去证明。
合作探究
★圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
合作探究
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
O
A
C
D
O
A
B
D
★圆心O在∠BAC的内部
合作探究
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
★圆心O在∠BAC的外部
合作探究
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
归纳总结：圆周角定理：
合作探究
问题3:如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A
，D
是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等.理由如下：
合作探究
D
A
B
O
C
E
F
问题4
:如图，若
∠A与∠B相等吗？
解：相等.理由如下：
合作探究
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
A1
A2
A3
合作探究
问题5：如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB=
∠AOB=90°.
问题6：反过来，
若∠ACB
=90°，那么∠AOB是怎样的角？
根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系可知∠AOB是平角，及
90°的圆周角所对的弦是直径。
合作探究
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理的推论2
典例精析
例1、如图，⊙O的直径AB为10
cm，弦AC为6
cm．∠ACB的平分线
交⊙O于点D,
求BC，AD，BD的长．
解：如图，连接OD．
在Rt△ABC中，
D
C
B
A
O
∴
∠ACB=∠ADB=90°.
∵AB是直径，
典例精析
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∵CD平分∠ACB，
知识点拨：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
D
C
B
A
O
∴AD=BD.
∴
∠AOD=∠BOD.
∴∠ACD=∠BCD.
趁热打铁
1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则∠ACB=90°.
∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
∴∠BAD=∠DCB=30°.
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
趁热打铁
2、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径的长度．
解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD、AO，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4
∴∠C=30°，∴∠BOA=60°．
D
又∵OA=OB，∴△AOB是正三角形
∴OB=AB=4，∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
合作探究
探究三：圆内接多边形及其性质。
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
合作探究
问题7：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆，
∠A与∠C,
∠B与∠D之间有什么关系呢？
∵
∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α，
则
同理
性质：圆的内接四边形的对角互补.
连接OB，OD．
∴
趁热打铁
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝150°，那么∠BCD是(　　)
A．120°
B．105°
C．80°
D．60°
B
2．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=120°，∠B=70°，则
∠C=
，∠D=
.
3．在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶6
，则
∠D=
.
60?
110?
112.5?
综合演练
1．判断：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等.
（
）
（3）90°的角所对的弦是直径.
（
）
（4）同弦所对的圆周角相等.
（
）
√
×
×
×
综合演练
2.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠OBA=40°，则∠ACB的度数
是（
）．
A、60
°
B、50
°
C、40
°
D、30
°
B
A
C
O
B
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.
若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
）.
A、60
°
B、50
°
C、40
°
D、30
°
D
综合演练
4.如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的两点,∠ABD=50°,则∠BCD=________.
40°
A
B
O
C
D
E
5.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，E是BC延长线上线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数是________.
65°
综合演练
6.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
解：连接OA、OB
∵∠C=30
°
，∴∠AOB=60
°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2
即半径为2。
C
A
B
O
综合演练
A
O
B
C
证明：
7.
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．
综合演练
8、如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.
求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，
∴AB垂直平分CD.
∴AC＝AD.
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
提能训练
9、如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?
(2)求证：
.
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.
∵AB=AC，∴BD=CD.
（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD.
.
（1）解:BD=CD．理由如下：连接AD.
课堂总结
说一说
1、什么是圆周角？
2、圆周角的推论有哪些？
3、圆内接四边形的性质是什么？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题24.1
P89页：5、7、13
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