2．4 整 式
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
书写代数式注意的事项：
(1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以
．
(2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可
，但数字必须写在
．
(3)代数式中不能出现除号，相除关系要写成
的形式．
(4)数字与数字相乘时，乘号仍应
，不能
，或直接计算出结果．
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"../标.TIF"
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P66【动脑筋】，你发现的规律是：
单项式及其相关概念
(1)定义：由数与字母的
组成的代数式．
特别地：单独一个
或一个
也是单项式．
(2)系数：单项式中，与字母相乘的
．
(3)次数：一个单项式中，
的指数的
．单独的一个非零数的次数是
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P67【说一说】，你发现的规律是：
1．多项式及其相关概念
(1)定义：由几个单项式的
组成的代数式．
(2)项：组成多项式的每个
．
(3)次数：多项式中
的项的次数．
2．整式
单项式和
统称整式．
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"../标.TIF"
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【图表导思】
单项式
次数
系数
2x
πx2
42y3
2x3y2
(1)单项式的次数和系数如何确定？
(2)数字2
021的次数是多少？
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．代数式不是整式．(
)
2．单项式x的系数是1，次数是0.(
)
3．xy＋x＋1是二次三项式．(
)
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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单项式及有关概念
【教材P66做一做拓展】——写单项式
(2021·恩施期中)小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成－xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
【思路点拨】利用单项式的定义求解即可．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
单项式及其概念
(1)任意一个字母和数字的
的形式是单项式；
(2)单独一个字母或数字也叫单项式；如果一个单项式，只含有数字因数，那么它的次数为
；
(3)分母含有
的式子不属于单项式；
(4)单项式的次数是所有字母指数
；
(5)单项式的系数是
数．
变式一：巩固
单项式－的系数和次数分别是(
)
A．－1，3
B．，3
C．－，3
D．－，2
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"../标.TIF"
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变式二：提升
(2021·聊城质检)观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…写出第n个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号规律是
，系数的绝对值规律是
；
(2)这组单项式的次数的规律是
；
(3)根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是(只能填写一个代数式)
；
(4)请你根据猜想，写出第2
020个、第2
021个单项式，它们分别是
，
．
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多项式及有关概念
【教材P68例题强化】——降幂排列
(2021·浦东新区月考)已知多项式2x2y3＋x3y2＋xy－5x4－.
(1)把这个多项式按x的降幂重新排列；
(2)请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
多项式的项与次数的确定
(1)多项式的项：多项式中的每个
，其中多项式中不含字母的项叫做
；
(2)多项式的次数：单项式中的
的次数．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
对于多项式x2－5x－6，下列说法正确的是(
)
A．它是三次三项式
B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是－5
D．它的二次项系数是2
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"../标.TIF"
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变式二：提升
(2021·渭南期中)若关于x，y的多项式3x2－nxmy－x是一个三次三项式，且最高次项的系数是－3，求m－n的值．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
求单项式－的系数和次数．
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"../标.TIF"
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【一题多变】
若多项式4xn＋2－5x2－n＋6是关于x的三次多项式，求代数式n3－2n＋3的值．
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【母题变式】
若多项式4xn＋2－5x2－n＋6是关于x的二次多项式，求代数式n3－2n＋3的值．
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【难题拆解】
(2021·邓州期中)已知多项式xm＋1y2＋2xy2－4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5－m的次数与该多项式的次数相同，求(－m)3＋2n的值．
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：根据多项式次数的概念可知m＋1＋2＝
．解得m＝
．
拆解二：根据题意可知单项式的次数是
，故
＝6.解得n＝
．
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6
-2．4 整 式
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
书写代数式注意的事项：
(1)两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号都可以
省略不写
．
(2)字母与数字相乘或数字与括号相乘时，乘号可
省略不写
，但数字必须写在
前面
．
(3)代数式中不能出现除号，相除关系要写成
分数
的形式．
(4)数字与数字相乘时，乘号仍应
保留
，不能
省略
，或直接计算出结果．
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P66【动脑筋】，你发现的规律是：
单项式及其相关概念
(1)定义：由数与字母的
积
组成的代数式．
特别地：单独一个
数
或一个
字母
也是单项式．
(2)系数：单项式中，与字母相乘的
数
．
(3)次数：一个单项式中，
所有字母
的指数的
和
．单独的一个非零数的次数是
0
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P67【说一说】，你发现的规律是：
1．多项式及其相关概念
(1)定义：由几个单项式的
和
组成的代数式．
(2)项：组成多项式的每个
单项式
．
(3)次数：多项式中
次数最高
的项的次数．
2．整式
单项式和
多项式
统称整式．
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【图表导思】
单项式
次数
系数
2x
1
2
πx2
2
π
42y3
3
16
2x3y2
5
2
(1)单项式的次数和系数如何确定？
解：单项式的次数是所有字母指数之和；单项式中的数字因数是系数．
(2)数字2
021的次数是多少？
解：数字2
021的次数是0.
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【质疑判断】
1．代数式不是整式．( × )
2．单项式x的系数是1，次数是0.( × )
3．xy＋x＋1是二次三项式．( √ )
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"../研重点·典例探析.TIF"
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单项式及有关概念
【教材P66做一做拓展】——写单项式
(2021·恩施期中)小明在抄写单项式时把字母中有的指数漏掉了，抄成－xyz，他只知道这个单项式是四次单项式，你能帮他写出这个单项式吗？这样的单项式有几个，不妨都写出来．
【思路点拨】利用单项式的定义求解即可．
【自主解答】因为这个单项式是四次单项式，
所以这个单项式可能是－x2yz，－xy2z，
－xyz2.
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【归纳提升】
单项式及其概念
(1)任意一个字母和数字的
积
的形式是单项式；
(2)单独一个字母或数字也叫单项式；如果一个单项式，只含有数字因数，那么它的次数为
0
；
(3)分母含有
字母
的式子不属于单项式；
(4)单项式的次数是所有字母指数
之和
；
(5)单项式的系数是
数字因
数．
变式一：巩固
单项式－的系数和次数分别是(C)
A．－1，3
B．，3
C．－，3
D．－，2
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变式二：提升
(2021·聊城质检)观察下列单项式：－x，3x2，－5x3，7x4，…，－37x19，39x20，…写出第n个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：
(1)这组单项式的系数的符号规律是
(－1)n(说法合理即可)
，系数的绝对值规律是
2n－1(说法合理即可)
；
(2)这组单项式的次数的规律是
从1开始的连续自然数
；
(3)根据上面的归纳，可以猜想第n个单项式是(只能填写一个代数式)
(－1)n(2n－1)xn
；
(4)请你根据猜想，写出第2
020个、第2
021个单项式，它们分别是
4
039x2
020
，
－4
041x2
021
．
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多项式及有关概念
【教材P68例题强化】——降幂排列
(2021·浦东新区月考)已知多项式2x2y3＋x3y2＋xy－5x4－.
(1)把这个多项式按x的降幂重新排列；
(2)请指出该多项式的次数，并写出它的二次项和常数项．
【思路点拨】(1)根据多项式的降幂排列，即可解答．
(2)利用多项式的次数以及各项名称和多项式项的确定方法求出即可．
【自主解答】(1)按x降幂排列为：－5x4＋x3y2＋2x2y3＋xy－；
(2)该多项式的次数是5，它的二次项是xy，常数项是－.
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【归纳提升】
多项式的项与次数的确定
(1)多项式的项：多项式中的每个
单项式
，其中多项式中不含字母的项叫做
常数项
；
(2)多项式的次数：单项式中的
最高项
的次数．
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变式一：巩固
对于多项式x2－5x－6，下列说法正确的是(C)
A．它是三次三项式
B．它的常数项是6
C．它的一次项系数是－5
D．它的二次项系数是2
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变式二：提升
(2021·渭南期中)若关于x，y的多项式3x2－nxmy－x是一个三次三项式，且最高次项的系数是－3，求m－n的值．
解：因为关于x，y的多项式3x2－nxmy－x是一个三次三项式，且最高次项的系数是－3，
所以m＋1＝3，－n＝－3，
解得：n＝3，m＝2，故m－n＝2－3＝－1.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
求单项式－的系数和次数．
正解：单项式－的系数是－，次数是3.
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【一题多变】
若多项式4xn＋2－5x2－n＋6是关于x的三次多项式，求代数式n3－2n＋3的值．
解：由题意可知：该多项式最高次数项为3次，
当n＋2＝3时，此时n＝1，所以n3－2n＋3＝1－2＋3＝2，
当2－n＝3时，此时n＝－1，所以n3－2n＋3＝－1＋2＋3＝4，
综上所述，代数式n3－2n＋3的值为2或4.
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【母题变式】
若多项式4xn＋2－5x2－n＋6是关于x的二次多项式，求代数式n3－2n＋3的值．
解：由题意可知：该多项式最高次数项为2次，
当n＋2＝2时，此时n＝0，当2－n＝2时，即n＝0，
所以n3－2n＋3＝0－0＋3＝3.
所以代数式n3－2n＋3的值为3.
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【难题拆解】
(2021·邓州期中)已知多项式xm＋1y2＋2xy2－4x3＋1是六次四项式，单项式26x2ny5－m的次数与该多项式的次数相同，求(－m)3＋2n的值．
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：根据多项式次数的概念可知m＋1＋2＝
6
．解得m＝
3
．
拆解二：根据题意可知单项式的次数是
6
，故
2n＋2
＝6.解得n＝
2
．
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【水到渠成——破难题】
【尝试解答】由于多项式是六次四项式，所以m＋1＋2＝6，解得m＝3，单项式26x2ny5－m应为26x2ny2，由题意可知：2n＋2＝6，
解得n＝2，所以(－m)3＋2n＝(－3)3＋2×2＝－23.
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