1．7 有理数的混合运算
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
小学学过的四则运算顺序：
(1)同级运算时，从__左__到__右__依次计算．
(2)两级运算时，先算__乘除__，后算__加减__．
(3)有括号时，先算括号__里面__的，再算括号__外面__的．
有多层括号时，先算__小括号__里的，再算__中括号__里面的，最后算括号__外面__的．
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"../标.TIF"
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【新知初探】
阅读教材P46【议一议】，你发现的规律是：
有理数的混合运算顺序
(1)先算__乘方__，再算__乘除__，最后算__加减__．
(2)如果有括号，就先进行__括号__里面的运算．
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"../标.TIF"
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【图表导思】
观察，填表
运算方式
(－1)3－×[2－(－3)2]
__乘方__
＝__－1__－×(2－__9__)
减法
＝__－1__－×(__－7__)
__乘法__
＝－1＋____
加法
＝____
思考：有理数混合运算的步骤？
解：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的．
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"../标.TIF"
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【妙招巧记】
有理数的混合算
乘方乘除后加减．
不跳步来，细心算．
分配律嘛，别漏乘，
先定符号，再相乘．
细心算来，准能行．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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有理数的混合运算
【教材P46例1，2拓展】——含小数乘方运算
(2021·长沙月考)计算：
(1)72＋2×(－3)2－(－6)÷；
(2)32×0.62＋0.32＋×(－3)2.
【自主解答】(1)72＋2×(－3)2－(－6)÷＝49＋2×9－(－6)÷＝49＋18＋54＝121；
(2)32×0.62＋0.32＋×(－3)2＝9×0.36＋0.09＋×9＝3.24＋0.09＋1＝4.33.
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
有理数混合运算顺序
(1)先算__乘方__，再算乘除，最后算__加减__；
(2)同级运算，应按从__左__到__右__的顺序进行计算；
(3)如果有括号，要先做__括号内__的运算．
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变式一：巩固
计算：
(1)(－32)－17－(－65)＋4；
(2)－12－|－3|×[2＋(－3)]2.
解：(1)(－32)－17－(－65)＋4＝－49＋65＋4＝20.
(2)－12－|－3|×[2＋(－3)]2＝－1－3×1
＝－1－3＝－4.
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变式二：提升
(2021·临湘期中)若“
”表示一种新运算，规定a
b＝(a＋b)2－3ab，请计算下列各式的值．
(1)(－4)
3.
(2)3
[(－2)
(－1)].
解：(1)根据题中的新定义得：
原式＝(－4＋3)2－3×(－4)×3＝1＋36＝37；
(2)根据题中的新定义得：
原式＝3
[(－2－1)2－3×(－2)×(－1)]
＝3
3＝(3＋3)2－3×3×3＝36－27＝9.
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"../知识点二.TIF"
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运算律在有理数的混合运算中的应用
【教材P47例3强化】——运用运算律简算
计算：
(1)(－5)－(－5)×÷×(－5).
(2)3.95×6－1.45×6＋×18.
【完善解答】(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)
＝(－5)－(－5)××__10__×(－5)…………除法法则
＝(－5)－__[(－5)×(－5)]__×
………………………………………………乘法交换结合律
＝－5－__25__………………………………乘法法则
＝__－30__．…………………………………加法法则
(2)3.95×6－1.45×6＋×18
＝(__3.95－1.45__)×6＋
………………………………乘法分配律
＝15＋(__14－15＋7__)………………………乘法法则
………………………………加法法则
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
有理数混合运算的三点注意
1．注意顺序：注意有理数混合运算的顺序．
2．注意运算律：仔细观察算式后，灵活选择运用运算律，可以使计算简便．
3．注意符号：在有理数混合运算中，时常出现“－”，要分清运算符号与性质符号．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
计算
×(－12)＝__－9__．
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变式二：提升
计算
÷＋÷的结果为____．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
计算：[(－2)3－(－4)3]÷[(－5)－(－7)].
正解：原式＝[(－8)－(－64)]
÷[(－5)＋7]
＝[(－8)＋64]
÷[(－5)＋7]
＝56÷2＝28.
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【思想体现——分类讨论思想】
【解读】分类讨论思想是一种解决情况较多、较复杂问题时常用的数学方法．具体来讲，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决．
【应用】已知数的绝对值，需要根据数的不同取值分类讨论，进而进行有理数的混合运算．
【典例】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2－(a＋b＋cd)x＋(a＋b)2
019＋(－cd)2
020的值．
解：由已知可得，a＋b＝0，cd＝1，x＝±2；
当x＝2时，
x2－(a＋b＋cd)x＋(a＋b)2
019＋(－cd)2
020
＝22－(0＋1)×2＋02
019＋(－1)2
020
＝4－2＋0＋1
＝3.
当x＝－2时，
x2－(a＋b＋cd)x＋(a＋b)2
019＋(－cd)2
020
＝(－2)2－(0＋1)×(－2)＋02
019＋(－1)2
020
＝4＋2＋0＋1
＝7.
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【一题多变】
规定一种运算“△”满足：a△b＝a2－b3，求
(－5)△(－2)的值．
解：根据题中的新定义得：(－5)△(－2)
＝(－5)2－(－2)3＝25－(－8)＝33.
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【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)规定一种运算“△”满足：a△b＝a2－b3，若|a＋2|与(b－3)2互为相反数，则
a△b＝__－23__．
【变式二】(变换条件与问法)
定义一种新运算“□”：观察下列各式：
2□3＝2×3＋3＝9；3□(－1)＝3×3－1＝8；
4□4＝4×3＋4＝16；5□(－3)＝5×3－3＝12.
请判断：a□b＝__3a＋b__．
PAGE1．7 有理数的混合运算
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【旧知再现】
小学学过的四则运算顺序：
(1)同级运算时，从__
__到__
__依次计算．
(2)两级运算时，先算__
__，后算__
__．
(3)有括号时，先算括号__
__的，再算括号__
__的．
有多层括号时，先算__
__里的，再算__
__里面的，最后算括号__
__的．
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【新知初探】
阅读教材P46【议一议】，你发现的规律是：
有理数的混合运算顺序
(1)先算__
__，再算__
__，最后算__
__．
(2)如果有括号，就先进行__
__里面的运算．
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【图表导思】
观察，填表
运算方式
(－1)3－×[2－(－3)2]
_
__
＝__
_－×(2－
__)
减法
＝__
__－×(__
__)
__
__
＝－1＋__
__
加法
＝__
__
思考：有理数混合运算的步骤？
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【妙招巧记】
有理数的混合算
乘方乘除后加减．
不跳步来，细心算．
分配律嘛，别漏乘，
先定符号，再相乘．
细心算来，准能行．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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有理数的混合运算
【教材P46例1，2拓展】——含小数乘方运算
(2021·长沙月考)计算：
(1)72＋2×(－3)2－(－6)÷；
(2)32×0.62＋0.32＋×(－3)2.
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【归纳提升】
有理数混合运算顺序
(1)先算__
__，再算乘除，最后算__
__；
(2)同级运算，应按从__
__到__
__的顺序进行计算；
(3)如果有括号，要先做__
__的运算．
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变式一：巩固
计算：
(1)(－32)－17－(－65)＋4；
(2)－12－|－3|×[2＋(－3)]2.
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变式二：提升
(2021·临湘期中)若“
”表示一种新运算，规定a
b＝(a＋b)2－3ab，请计算下列各式的值．
(1)(－4)
3.
(2)3
[(－2)
(－1)].
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运算律在有理数的混合运算中的应用
【教材P47例3强化】——运用运算律简算
计算：
(1)(－5)－(－5)×÷×(－5).
(2)3.95×6－1.45×6＋×18.
【完善解答】(1)(－5)－(－5)×÷×(－5)
＝(－5)－(－5)××__
__×(－5)…………除法法则
＝(－5)－__
__×
………………………………………………乘法交换结合律
＝－5－__
__………………………………乘法法则
＝__
__．…………………………………加法法则
(2)3.95×6－1.45×6＋×18
＝(__
__)×6＋
………………………………乘法分配律
＝15＋(__
__)………………………乘法法则
………………………………加法法则
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【归纳提升】
有理数混合运算的三点注意
1．注意顺序：注意有理数混合运算的顺序．
2．注意运算律：仔细观察算式后，灵活选择运用运算律，可以使计算简便．
3．注意符号：在有理数混合运算中，时常出现“－”，要分清运算符号与性质符号．
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变式一：巩固
计算
×(－12)＝__
__．
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变式二：提升
计算
÷＋÷的结果为__
__．
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【火眼金睛】
计算：[(－2)3－(－4)3]÷[(－5)－(－7)].
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【思想体现——分类讨论思想】
【解读】分类讨论思想是一种解决情况较多、较复杂问题时常用的数学方法．具体来讲，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决．
【应用】已知数的绝对值，需要根据数的不同取值分类讨论，进而进行有理数的混合运算．
【典例】已知：a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是2，求x2－(a＋b＋cd)x＋(a＋b)2
019＋(－cd)2
020的值．
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【一题多变】
规定一种运算“△”满足：a△b＝a2－b3，求
(－5)△(－2)的值．
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【母题变式】
【变式一】(变换条件和问法)规定一种运算“△”满足：a△b＝a2－b3，若|a＋2|与(b－3)2互为相反数，则
a△b＝__
__．
【变式二】(变换条件与问法)
定义一种新运算“□”：观察下列各式：
2□3＝2×3＋3＝9；3□(－1)＝3×3－1＝8；
4□4＝4×3＋4＝16；5□(－3)＝5×3－3＝12.
请判断：a□b＝__
__．
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