第3章
一元一次方程
3．1 建立一元一次方程模型
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
1．(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
．
2．(1)长方形周长＝(
＋
)×2，
(2)长方形面积＝
×
，
(3)正方形周长＝
×4，(4)正方形面积＝
，
(5)三角形面积＝
，
(6)长方体的表面积＝(
＋
＋
)×2，
(7)长方体的体积＝
×
×
．
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【新知初探】
阅读教材P83【动脑筋】至P84【说一说】解决以下问题：
(1)已知数、未知数：在解决问题前就
的数字叫做已知数；在解决问题前
的数字叫做未知数．
(2)等式：含有
的式子．
(3)方程：含有
的等式．
(4)建立方程：把所要求的量用字母x(或y，…)表示，根据问题中的
关系列出方程的过程．
(5)一元一次方程：只含有
个未知数，并且未知数的次数是
的整式方程．
(6)方程的解：能使方程左、右两边
的未知数的
．
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【图表导思】
实际问题
A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，那么B种饮料单价是多少？如果设B种饮料单价为x元．
数量关系
(1)
；(2)
．
列出方程
．
检验方程的解
x＝2，x＝3是否是方程的解？
完成上述表格，并回答以下问题：
1．当x＝2时，方程的左右两边是否相等？
2．当x＝3时，方程的左右两边是否相等？
3．原方程的解是什么？
4．如果设A种饮料的单价是x元，则列方程是什么？
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"../研重点·典例探析.TIF"
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列一元一次方程
【P83“动脑筋”拓展】——列方程的方法
某校组织师生春游活动，如果每辆车坐45人，那么还剩20人没有座位；如果每辆车坐55人，那么会有30个空座位．如果设有x辆车，请你列出方程．
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【归纳提升】
由实际问题列方程的“三个步骤”
第一步
设
设未知数，表示出相关量
第二步
找
分析题意，找等量关系
第三步
列
根据等量关系，列出方程
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变式一：巩固
某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空出2个房间，这个学校的住宿生有多少人？如果设这个学校共有x间宿舍，
根据等量关系，列出方程为
．
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变式二：提升
学校组织植树活动，原计划的安排是在甲处有10人，在乙处有17人，到植树现场后发现甲处的工作量比较大，决定从乙处调一部分人去支援甲处，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，那么应调往甲处多少人？若设应调往甲处x人，则乙处有
人，可列方程为
．
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一元一次方程的有关概念
【P84例题拓展】——一元一次方程中未知数的指数与系数
已知方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值．
(2)写出这个一元一次方程．
(3)判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
【完善解答】(1)因为方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程，
所以m－1≠
，|m|＝
，所以m＝
．一元一次方程定义
(2)由(1)得：－2x＋
＝0.
(3)当x＝1时，左边＝
，右边＝
，
检验左边和右边是否相等
所以左边≠右边，所以x＝1
该方程的解；
当x＝2.5时，左边＝
，右边＝
，
所以左边＝右边，所以x＝
是该方程的解；
当x＝3时，左边＝
，右边＝
，
所以左边≠右边，所以x＝3
该方程的解．
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【归纳提升】
判断方程解的“三个步骤”
第一步
代
把所给未知数的值代入方程两边
第二步
算
计算方程左右两边的值
第三步
判
若方程两边相等，则是方程的解，否则不是
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变式一：巩固
若(a－2)xa－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝
．
变式二：提升
检验x＝1和x＝3是不是方程x－9＝1的解．
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【火眼金睛】
已知方程(a－4)x|a|－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，求a的值．
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【一题多变】
若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则a的值是(
)
A．－1
B．5
C．1
D．－5
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【母题变式】
(变换问法)若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则代数式3a2－2a＋7的值是
．
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【难题拆解】
已知关于
x
的方程(|
k
|－3)x2－(k－3)x
＋
2m＋1＝
0
是一元一次方程，求k
的值．
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：当k＝
时，|k|－3＝0.
拆解二：当k
时，k－3≠0.
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一元一次方程
3．1 建立一元一次方程模型
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【旧知再现】
1．(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
vt
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
s÷v
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
s÷t
．
2．(1)长方形周长＝(
长
＋
宽
)×2，
(2)长方形面积＝
长
×
宽
，
(3)正方形周长＝
边长
×4，(4)正方形面积＝
边长2
，
(5)三角形面积＝
底×高÷2
，
(6)长方体的表面积＝(
长×宽
＋
长×高
＋
宽×高
)×2，
(7)长方体的体积＝
长
×
宽
×
高
．
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【新知初探】
阅读教材P83【动脑筋】至P84【说一说】解决以下问题：
(1)已知数、未知数：在解决问题前就
知道
的数字叫做已知数；在解决问题前
不知道
的数字叫做未知数．
(2)等式：含有
等号
的式子．
(3)方程：含有
未知数
的等式．
(4)建立方程：把所要求的量用字母x(或y，…)表示，根据问题中的
等量
关系列出方程的过程．
(5)一元一次方程：只含有
一
个未知数，并且未知数的次数是
1
的整式方程．
(6)方程的解：能使方程左、右两边
相等
的未知数的
值
．
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【图表导思】
实际问题
A种饮料比B种饮料单价少1元，小峰买了2瓶A种饮料和3瓶B种饮料，一共花了13元，那么B种饮料单价是多少？如果设B种饮料单价为x元．
数量关系
(1)
A的单价＝B的单价－1
；(2)
2瓶A的费用＋3瓶B的费用＝13
．
列出方程
2(x
－1)＋3x＝13
．
检验方程的解
x＝2，x＝3是否是方程的解？
x＝2不是方程的解，x＝3是方程的解．
完成上述表格，并回答以下问题：
1．当x＝2时，方程的左右两边是否相等？
答：不相等
2．当x＝3时，方程的左右两边是否相等？
答：相等
3．原方程的解是什么？
答：x＝3
4．如果设A种饮料的单价是x元，则列方程是什么？
答：2x＋3(x＋1)＝13
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"../研重点·典例探析.TIF"
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列一元一次方程
【P83“动脑筋”拓展】——列方程的方法
某校组织师生春游活动，如果每辆车坐45人，那么还剩20人没有座位；如果每辆车坐55人，那么会有30个空座位．如果设有x辆车，请你列出方程．
【思路点拨】
【自主解答】一共有x辆车，则根据题意得：
45x＋20＝55x－30.
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【归纳提升】
由实际问题列方程的“三个步骤”
第一步
设
设未知数，表示出相关量
第二步
找
分析题意，找等量关系
第三步
列
根据等量关系，列出方程
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变式一：巩固
某学校安排学生住宿，若每室住7人，则有10人无法安排；若每室住8人，则恰好空出2个房间，这个学校的住宿生有多少人？如果设这个学校共有x间宿舍，
根据等量关系，列出方程为
7x＋10＝8(x－2)
．
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变式二：提升
学校组织植树活动，原计划的安排是在甲处有10人，在乙处有17人，到植树现场后发现甲处的工作量比较大，决定从乙处调一部分人去支援甲处，使在甲处植树的人数是在乙处植树人数的2倍，那么应调往甲处多少人？若设应调往甲处x人，则乙处有
(17－x)
人，可列方程为
10＋x＝2(17－x)
．
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一元一次方程的有关概念
【P84例题拓展】——一元一次方程中未知数的指数与系数
已知方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值．
(2)写出这个一元一次方程．
(3)判断x＝1，x＝2.5，x＝3是否是该方程的解．
【完善解答】(1)因为方程(m－1)x|m|＋5＝0是关于x的一元一次方程，
所以m－1≠
0
，|m|＝
1
，所以m＝
－1
．一元一次方程定义
(2)由(1)得：－2x＋
5
＝0.
(3)当x＝1时，左边＝
3
，右边＝
0
，
检验左边和右边是否相等
所以左边≠右边，所以x＝1
不是
该方程的解；
当x＝2.5时，左边＝
0
，右边＝
0
，
所以左边＝右边，所以x＝
2.5
是该方程的解；
当x＝3时，左边＝
－1
，右边＝
0
，
所以左边≠右边，所以x＝3
不是
该方程的解．
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【归纳提升】
判断方程解的“三个步骤”
第一步
代
把所给未知数的值代入方程两边
第二步
算
计算方程左右两边的值
第三步
判
若方程两边相等，则是方程的解，否则不是
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变式一：巩固
若(a－2)xa－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，则a＝
4
．
变式二：提升
检验x＝1和x＝3是不是方程x－9＝1的解．
解：把x＝1代入方程的左边，
得左边＝－9＝－，而右边＝1，
所以左边≠右边，
所以x＝1不是原方程的解；
把x＝3代入方程的左边，得左边＝10－9＝1，
又因为右边＝1，所以左边＝右边，
所以x＝3是原方程的解．
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【火眼金睛】
已知方程(a－4)x|a|－3＋2＝0是关于x的一元一次方程，求a的值．
正解：因为一元一次方程未知数的次数是1.
所以|a|－3＝1，即|a|＝4，
所以a＝±4.
当a＝4时，未知数x的系数a－4＝0，
不合题意，
所以a＝－4.
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【一题多变】
若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则a的值是(A)
A．－1
B．5
C．1
D．－5
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【母题变式】
(变换问法)若x＝1是方程ax＋3x＝2的解，则代数式3a2－2a＋7的值是
12
．
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【难题拆解】
已知关于
x
的方程(|
k
|－3)x2－(k－3)x
＋
2m＋1＝
0
是一元一次方程，求k
的值．
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MERGEFORMAT
【层层剖析——清障碍】
拆解一：当k＝
±3
时，|k|－3＝0.
拆解二：当k
≠3
时，k－3≠0.
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【水到渠成——破难题】
【尝试解答】因为(|k|－3)x2－(k－3)x＋2m＋1＝0是一元一次方程，
所以|k|－3＝0，所以k＝±3；
若k＝3时，
k－3＝0，不符合题意，即k＝－3.
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