3．3 一元一次方程的解法
第1课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
相加，字母和字母指数
．
2．去括号法则：如果括号前面是“＋”：去掉
和“
”，括号内各项符号都
；如果括号前面是“
”：去掉
和“
”，括号内各项符号都
．
3．等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式)，结果仍是
；
4．等式性质2：等式两边都乘同一个数(或式)，或除以同一个
的数(或式)，结果仍是
．
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"../标.TIF"
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P90【动脑筋】，解决以下问题：
1．观察、猜想
利用等式性质解方程：2x＋4＝10.
解：2x＋4＝10，①
在方程两边同减去
，得2x＋4－
＝10－
，2x＝10－
，②
2x＝
，方程两边同除以
，得x＝
．
比较方程①，②，发现方程①左边的4移动到方程右边，但是这一项由原来的
变为
．
2．你发现的规律是：
(1)解方程
求方程的
的过程．
(2)移项
把方程中的某一项改变
后，从方程的一边移到另一边．移项要
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P92【动脑筋】、【说一说】，你发现的规律是：
1．解一元一次方程的步骤
(1)去括号．(2)
．(3)合并同类项．(4)方程两边都除以
．
2．解方程的实质：
．
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"../标.TIF"
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【图表导思】
请根据提示完善以下表格内容：
步骤
名称
依据
第一步
去括号
第二步
移项
第三步
合并同类项
第四步
化系数为1
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．把方程－3x＋4＝3通过移项变为－3x＝3＋4.(
)
2．把方程7x－6＝4x通过移项变为－7x－4x＝6.(
)
3．把方程4x＝3通过系数化1，变为，x＝.(
)
4．把方程4－4(x－2)＝x通过去括号变为4－4x＋8＝x.(
)
5．把方程1－3(2x－1)＝2x通过去括号变为1－6x＋1＝2x.(
)
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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通过移项解一元一次方程
【P91例1拓展】——解一元一次方程的通法
解方程：
(1)2x－19＝7x＋6.
(2)－2.5y－7.5y＝5－16y.
【完善解答】(1)移项，得
2x
7x＝6
19，
等式性质1
合并同类项，得
＝25，合并同类项法则
两边都除以－5，得x＝
．等式性质2
(2)移项，得－2.5y－7.5y＋16y＝5，等式性质1
合并同类项，得
＝5，合并同类项法则
两边都除以6，得y＝
．等式性质2
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
用移项法解一元一次方程的三个“步骤”
第一步：移项．把未知项和常数项分别移到方程的两边；
第二步：合并同类项．把未知项和常数项分别合并，化为ax＝b的形式；
第三步：化系数为1.在方程的两边同时除以一次项系数，把方程化为x＝m的形式．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
方程1－3y＝7的解是(
)
A．y＝－
B．y＝
C．y＝－2
D．y＝2
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"../标.TIF"
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变式二：提升
若代数式4x－8与3x＋22的值互为相反数，则x的值是
．
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"../知识点二.TIF"
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解带括号的一元一次方程
【教材P93例2拓展】——解一元一次方程的步骤
解方程：12－3(4－3x)＝1－2(5x＋3).
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
去括号的规律
1．将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，利
用分配律将它与括号内的各项相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac.
2．解方程中去括号的一般顺序是，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
解下列方程：
(1)4x－3(5－x)＝6；
(2)7(2x－1)－3(4x－1)＝4(3x＋2)－1.
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"../标.TIF"
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变式二：提升
(新定义运算题)若规定一种运算a
b＝2a－3b，例如：5
m＝2×5－3m＝10－3m，那么(3－x)
(2x－1)＝5时，x＝
．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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"../标.TIF"
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【火眼金睛】
解方程：3(x－7)－2(9－2x)＝18.
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"../标.TIF"
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【一题多变】
当x取何值时，代数式3x－5与－4x＋6的值互为相反数．
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"../标.TIF"
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【母题变式】
(变换条件)当x取何值时，代数式3x－5与－4x＋6的和为6.
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"../标.TIF"
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【难题拆解】
王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x,
得方程的解为x＝－4，那么请你求出原方程的解．
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"../标.TIF"
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：x＝－4不是7a＋x＝18的解，是哪个方程的解？
拆解二：a的值是什么？
拆解三：解方程：14＋x＝18.
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-
7
-3．3 一元一次方程的解法
第1课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
\
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
系数
相加，字母和字母指数
不变
．
2．去括号法则：如果括号前面是“＋”：去掉
括号
和“
＋
”，括号内各项符号都
不变
；如果括号前面是“
－
”：去掉
括号
和“
－
”，括号内各项符号都
改变
．
3．等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式)，结果仍是
等式
；
4．等式性质2：等式两边都乘同一个数(或式)，或除以同一个
不为0
的数(或式)，结果仍是
等式
．
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"../标.TIF"
\
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P90【动脑筋】，解决以下问题：
1．观察、猜想
利用等式性质解方程：2x＋4＝10.
解：2x＋4＝10，①
在方程两边同减去
4
，得2x＋4－
4
＝10－
4
，2x＝10－
4
，②
2x＝
6
，方程两边同除以
2
，得x＝
3
．
比较方程①，②，发现方程①左边的4移动到方程右边，但是这一项由原来的
＋4
变为
－4
．
2．你发现的规律是：
(1)解方程
求方程的
解
的过程．
(2)移项
把方程中的某一项改变
符号
后，从方程的一边移到另一边．移项要
变号
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P92【动脑筋】、【说一说】，你发现的规律是：
1．解一元一次方程的步骤
(1)去括号．(2)
移项
．(3)合并同类项．(4)方程两边都除以
未知数的系数(或乘以其倒数)
．
2．解方程的实质：
就是把方程化为x＝a的形式
．
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"../标.TIF"
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【图表导思】
请根据提示完善以下表格内容：
步骤
名称
依据
第一步
去括号
乘法分配律和去括号法则
第二步
移项
等式性质
第三步
合并同类项
合并同类项法则
第四步
化系数为1
等式性质2
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．把方程－3x＋4＝3通过移项变为－3x＝3＋4.( × )
2．把方程7x－6＝4x通过移项变为－7x－4x＝6.( × )
3．把方程4x＝3通过系数化1，变为，x＝.( × )
4．把方程4－4(x－2)＝x通过去括号变为4－4x＋8＝x.( √ )
5．把方程1－3(2x－1)＝2x通过去括号变为1－6x＋1＝2x.( × )
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"../研重点·典例探析.TIF"
\
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"../知识点一.TIF"
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通过移项解一元一次方程
【P91例1拓展】——解一元一次方程的通法
解方程：
(1)2x－19＝7x＋6.
(2)－2.5y－7.5y＝5－16y.
【完善解答】(1)移项，得
2x
－
7x＝6
＋
19，
等式性质1
合并同类项，得
－5x
＝25，合并同类项法则
两边都除以－5，得x＝
－5
．等式性质2
(2)移项，得－2.5y－7.5y＋16y＝5，等式性质1
合并同类项，得
6y
＝5，合并同类项法则
两边都除以6，得y＝
．等式性质2
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"../标.TIF"
\
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【归纳提升】
用移项法解一元一次方程的三个“步骤”
第一步：移项．把未知项和常数项分别移到方程的两边；
第二步：合并同类项．把未知项和常数项分别合并，化为ax＝b的形式；
第三步：化系数为1.在方程的两边同时除以一次项系数，把方程化为x＝m的形式．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
方程1－3y＝7的解是(C)
A．y＝－
B．y＝
C．y＝－2
D．y＝2
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变式二：提升
若代数式4x－8与3x＋22的值互为相反数，则x的值是
－2
．
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"../知识点二.TIF"
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解带括号的一元一次方程
【教材P93例2拓展】——解一元一次方程的步骤
解方程：12－3(4－3x)＝1－2(5x＋3).
【思路点拨】根据“去括号、移项、合并同类项、化系数为1”四个步骤解方程．
【自主解答】去括号，得12－12＋9x＝1－10x－6，
移项，得9x＋10x＝1－6＋12－12，
合并同类项，得19x＝－5，
化系数为1，得x＝－.
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【归纳提升】
去括号的规律
1．将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体，利
用分配律将它与括号内的各项相乘，即a(b＋c)＝ab＋ac.
2．解方程中去括号的一般顺序是，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号．
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\
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变式一：巩固
解下列方程：
(1)4x－3(5－x)＝6；
(2)7(2x－1)－3(4x－1)＝4(3x＋2)－1.
解：(1)去括号，得4x－15＋3x＝6，
移项，得4x＋3x＝6＋15，
合并同类项，得7x＝21，
化系数为1，得x＝3.
(2)去括号得：14x－7－12x＋3＝12x＋8－1，
移项得：14x－12x－12x＝8－1＋7－3，
合并同类项得：－10x＝11，
系数化为1得：x＝－1.1.
变式二：提升
(新定义运算题)若规定一种运算a
b＝2a－3b，例如：5
m＝2×5－3m＝10－3m，那么(3－x)
(2x－1)＝5时，x＝
．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
解方程：3(x－7)－2(9－2x)＝18.
正解：去括号，得3x－21－18＋4x＝18，
移项，得3x＋4x＝18＋21＋18，
合并同类项，得7x＝57，两边都除以7，得x＝.
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"../标.TIF"
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【一题多变】
当x取何值时，代数式3x－5与－4x＋6的值互为相反数．
解：根据题意，得：3x－5＋(－4x＋6)＝0，
去括号，得：3x－5－4x＋6＝0，
移项，得：3x－4x＝5－6，
合并同类项，得：－x＝－1，
两边都除以－1，得：x＝1.
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【母题变式】
(变换条件)当x取何值时，代数式3x－5与－4x＋6的和为6.
解：根据题意，得：3x－5＋(－4x＋6)＝6，
去括号，得：3x－5－4x＋6＝6，
移项，得：3x－4x＝6＋5－6，
合并同类项，得：－x＝5，
两边都除以－1，得：x＝－5.
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【难题拆解】
王涵同学在解关于x的方程7a＋x＝18时，误将＋x看作－x,
得方程的解为x＝－4，那么请你求出原方程的解．
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\
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：x＝－4不是7a＋x＝18的解，是哪个方程的解？
答：x＝－4是方程7a－x＝18的解．
拆解二：a的值是什么？
答：a＝2.
拆解三：解方程：14＋x＝18.
答：x＝4.
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【水到渠成——破难题】
【尝试解答】如果误将＋x看作－x，那么方程7a－x＝18的解为x＝－4,
即7a＋4＝18，解得a＝2，将a＝2代入原方程得到：14＋x＝18，解得x＝4.
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-3．3 一元一次方程的解法
第2课时
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
相加，字母和字母指数
．
2．等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式)，结果仍是
；
3．等式性质2：等式两边都乘同一个数(或式)，或除以同一个
的数(或式)，结果仍是
．
4．已学过解一元一次方程的步骤：(1)
；(2)
；(3)合并同类项；
(4)两边都
未知数的系数．
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【新知初探】
阅读教材P93【动脑筋】，解决以下问题：
1．问题：某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，那么甲和乙一共用了多少天？
分析：(1)问题中的等量关系是：甲的工作量＋乙的工作量＝
；
(2)甲每天的工作量占整个工作量的
，乙每天的工作量占整个工作量的
；
(3)设甲、乙一共用x天完成，其中乙干了15天，完成这项工作的
，甲干了(x－15)天，完成这项工作的
，根据甲干的工作量＋乙干的工作量＝总工作量1，列出方程：
．
(4)解方程＋＝1时，若要去掉分母30，则要在方程的两边同时乘以
，若要去掉分母25，则要在方程的两边同时乘以
，若要同时去掉两个分母，必须在方程的两边同时乘以
．
解决：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为＋＝1.解得
．
答：甲、乙一共用
天完成．
2．你发现的规律是：
(1)去分母
方程的两边都乘以各分母的
，将分数系数化为
系数．
(2)解含分母的一元一次方程的一般步骤：
①
．②去括号．③
．④合并同类项．
⑤两边都
未知数的系数．
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【质疑判断】
1．由＋1＝得2(x－1)＋1＝5x.(
)
2．由－＝3x得6－3x－3＝18x.(
)
3．由－＝2得－＝2.(
)
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"../标.TIF"
\
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【妙招巧记】
解方程，中间等．
去分母，忌漏乘．
去括号，看符号．
移动项，要变号．
系化1，勿颠倒．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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解含分母的一元一次方程
【P94例3拓展】—去掉方程中分母的方法
解方程：＝1－.
【完善解答】
去分母得：3(3x－1)＝
，等式性质2
去括号，得：9x－3＝
，去括号法则
移项，得：9x＋2x＝
，等式性质1
合并同类项，得：11x＝
，合并同类项法则
两边同时除以11
，得：x＝
．等式性质2
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"../标.TIF"
\
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【归纳提升】
解含分母的一元一次方程时应注意的事项
1．用各分母的最小公倍数乘方程的两边时，不要遗漏方程中不含分母的项．
2．去掉分母后，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来(分数线有括号的作用).
3．去括号时，若括号前面是“－”号，去括号后括号里各项要改变符号，同时括号前面的数字要乘以括号内的每一项．
4．若分子或分母中有小数时，一般先用分数的基本性质把分子或分母中的小数化为整数，再去分母．
变式一：巩固
解方程：＝－3.
变式二：提升
若代数式的值比的值小1，则k的值为(
)
A．－1
B．
C．1
D．
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【火眼金睛】
解方程：－＝1＋.
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【一题多解】
解方程：＝2x－5.
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\
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【难题拆解】
解方程：－
＝.
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"../标.TIF"
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：根据分数的基本性质填空：
(1)＝；
(2)＝；
拆解二：解方程：－
＝.
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-3．3 一元一次方程的解法
第2课时
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\
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【旧知再现】
1．合并同类项法则：合并时，将
系数
相加，字母和字母指数
不变
．
2．等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式)，结果仍是
等式
；
3．等式性质2：等式两边都乘同一个数(或式)，或除以同一个
不为0
的数(或式)，结果仍是
等式
．
4．已学过解一元一次方程的步骤：(1)
去括号
；(2)
移项
；(3)合并同类项；
(4)两边都
除以
未知数的系数．
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【新知初探】
阅读教材P93【动脑筋】，解决以下问题：
1．问题：某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，那么甲和乙一共用了多少天？
分析：(1)问题中的等量关系是：甲的工作量＋乙的工作量＝
总工作量1
；
(2)甲每天的工作量占整个工作量的
，乙每天的工作量占整个工作量的
；
(3)设甲、乙一共用x天完成，其中乙干了15天，完成这项工作的
，甲干了(x－15)天，完成这项工作的
，根据甲干的工作量＋乙干的工作量＝总工作量1，列出方程：
＋＝1
．
(4)解方程＋＝1时，若要去掉分母30，则要在方程的两边同时乘以
30(或30的倍数)
，若要去掉分母25，则要在方程的两边同时乘以
25(或25的倍数)
，若要同时去掉两个分母，必须在方程的两边同时乘以
150(或150的倍数)
．
解决：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为＋＝1.解得
x＝27
．
答：甲、乙一共用
27
天完成．
2．你发现的规律是：
(1)去分母
方程的两边都乘以各分母的
最小公倍数
，将分数系数化为
整数
系数．
(2)解含分母的一元一次方程的一般步骤：
①
去分母
．②去括号．③
移项
．④合并同类项．
⑤两边都
除以
未知数的系数．
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【质疑判断】
1．由＋1＝得2(x－1)＋1＝5x.( × )
2．由－＝3x得6－3x－3＝18x.( × )
3．由－＝2得－＝2.( √ )
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"../标.TIF"
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【妙招巧记】
解方程，中间等．
去分母，忌漏乘．
去括号，看符号．
移动项，要变号．
系化1，勿颠倒．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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解含分母的一元一次方程
【P94例3拓展】—去掉方程中分母的方法
解方程：＝1－.
【完善解答】
去分母得：3(3x－1)＝
12－2(x＋8)
，等式性质2
去括号，得：9x－3＝
12－2x－16
，去括号法则
移项，得：9x＋2x＝
12－16＋3
，等式性质1
合并同类项，得：11x＝
－1
，合并同类项法则
两边同时除以11
，得：x＝
－
．等式性质2
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【归纳提升】
解含分母的一元一次方程时应注意的事项
1．用各分母的最小公倍数乘方程的两边时，不要遗漏方程中不含分母的项．
2．去掉分母后，分数线也同时去掉，分子上的多项式要用括号括起来(分数线有括号的作用).
3．去括号时，若括号前面是“－”号，去括号后括号里各项要改变符号，同时括号前面的数字要乘以括号内的每一项．
4．若分子或分母中有小数时，一般先用分数的基本性质把分子或分母中的小数化为整数，再去分母．
变式一：巩固
解方程：＝－3.
解：去分母得：7(1－2y)＝3(3y＋1)－3×21，
去括号得：7－14y＝9y＋3－63，
移项得：－14y－9y＝3－63－7，
合并同类项得：－23y＝－67，
系数化为1得：y＝.
变式二：提升
若代数式的值比的值小1，则k的值为(D)
A．－1
B．
C．1
D．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
解方程：－＝1＋.
正解：去分母，得3x－(5x＋11)＝6＋2(2x－4)，
去括号，得3x－5x－11＝6＋4x－8，
移项，得3x－5x－4x＝6－8＋11，
合并同类项，得－6x＝9，
方程两边都除以－6，得x＝－.
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【一题多解】
解方程：＝2x－5.
解：方法一：去分母，得2＝6x－15，
去中括号，得3(x－1)－6＝6x－15，
去小括号，得3x－3－6＝6x－15，
移项，得3x－6x＝3＋6－15，
合并同类项，得－3x＝－6，
方程两边都除以－3，得x＝2.
方法二：去中括号，得(x－1)－2＝2x－5，
去小括号，得x－1－2＝2x－5，
移项，得x－2x＝2＋1－5，
合并同类项，得－x＝－2，
方程两边都除以－1，得x＝2.
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【难题拆解】
解方程：－
＝.
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：根据分数的基本性质填空：
(1)＝；
(2)＝；
拆解二：解方程：－
＝.
解：去分母，得2(30＋2x)－4(20＋3x)＝3，
去括号，得60＋4x－80－12x＝3，
移项，得4x－12x＝3－60＋80，
合并同类项，得：－8x＝23，
两边同时除以－8，得x＝－.
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【水到渠成——破难题】
【尝试解答】原方程化简为：－
＝，
去分母，得2(30＋2x)－4(20＋3x)＝3，
去括号，得60＋4x－80－12x＝3，
移项，得4x－12x＝3－60＋80，
合并同类项，得：－8x＝23，
两边同时除以－8，得x＝－.
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