3．4 一元一次方程模型的应用
第3课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤
实际问题建立方程模型→解方程→检验解的
合理性．
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"../标.TIF"
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P103【动脑筋】，你发现的规律是：
“分段收费”理解的关键是明确每一阶段的
收费标准
，理清每一阶段的
取值范围
，正确找出问题中的
等量关系
，列出方程，从而解决问题．
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"../二.TIF"
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阅读教材P103【例4】，你发现的规律是：
解决方案设计问题的一般步骤
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解两种方案值相等的情况．
2．用特殊值试探选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性，下结论.
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．某市出租车收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3
km，付8元车费)，超过3
km，每增加1
km收1.6元(不足1
km按1
km计)，小梅从家到图书馆的路程为x
km，出租车车费为24元，那么x的值可能是13.( √ )
2．公园门票价格规定如表：
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校七年级(1)、(2)两个班共104人去游公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班超过50人，但不足100人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1
240元，那么七年级(1)班有48人，七年级(2)班有56人．( √ )
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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分段收费问题
【P103动脑筋拓展】——理解分段收费问题的关键所在
某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气如果不超过30立方米，按每立方米1.20元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份某用户的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份这位用户应交燃气费多少元．
【完善解答】因为3月份某用户的燃气费平均每立方米1.50元，所以用户燃气用量
超过30
立方米，
判断出要分段缴费
设3月份燃气用量为x立方米，
由题意得，
30×1.2＋(x－30)×2＝1.5x
，
根据等量关系列方程
解得：x＝
48
，解方程
则3月份这位用户应交燃气费为：
48
×1.5＝
72
(元).计算3月份这位用户应交的燃气费
答：3月份这位用户应交燃气费
72
元．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
解决分段收费问题的“三个步骤”
1．根据总的费用情况探究该费用所处的“段”．
2．分别计算各段的费用(必要时设未知数).
3．根据各段费用之和等于总费用列式(或方程).
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过3吨时，每吨价格为2元，当用水超过3吨而不超过7吨时，超过部分每吨水的价格为3元，当用水超过7吨时，超过部分每吨水的价格为5元，李老师10月份付了水费33元，则李老师用水的吨数为(B)
A．7
B．10
C．11
D．12
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"../标.TIF"
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变式二：提升
为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，某地实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少60%
，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多20%，但6月份的电费却比5月份的电费少10%
，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为(B)
A．62.5%
B．50%
C．40%
D．37.5%
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"../知识点二.TIF"
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方案解决问题
【P103例4拓展】——辨别各种方案是否可行
春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量(张)
1－50
51－100
101张及以上
单价(元/张)
60元
50元
40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5
500元．
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
【自主解答】(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4
080(元)，则比各自购买门票共可以节省：5
500－4
080＝1
420(元).
(2)设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工(102－x)人．
依题意得50x＋60×(102－x)＝5
500，解得x＝62.
则乙单位人数为：102－x＝40.
答：甲单位有62人，乙单位有40人．
(3)方案一：各自购买门票需50×60＋40×60＝
5
400(元)；
方案二：联合购买门票需(50＋40)×50＝4
500(元)；
方案三：联合购买101张门票需101×40＝
4
040(元)；
综上所述：因为5
400＞4
500＞4
040.
故应该甲乙两单位联合起来选择按单价40元一次购买101张门票最省钱．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
解方案选择问题的一般方法
某些实际问题往往含有多种方案可供选择，这需要先分类再综合思考．有的方案可用算术法求解，有的方案须借助一元一次方程求解，求出所有方案的结果后根据要求进行比较，作出合理的选择．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
某景区门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票(限5张及以上)
价格(元/人)
100
40
60
有两个家庭分别去该景区游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了(B)
A．300元
B．260元
C．240元
D．220元
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"../标.TIF"
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变式二：提升
“十一”期间人民商场回报顾客，实行“迎国庆，大酬宾”活动，具体要求如下：购物200以下不优惠，购物200～500元按9折优惠；购物500～1
000元按8折优惠；1
000元以上按7.5折优惠，活动期间某人两次购物分别用去168元和432元，如果改为一次性购物，那么可以比两次购物节省多少钱？
解：①因为200×0.90＝180＞168，所以该人不享受优惠，所以第一次付款168元，没有优惠；因为付了432元＜500×0.9元，所以该人享受9折优惠．
设他所购为价值x元的货物，则90%x＝432，得x＝480，因为168＋480＝648(元)，
所以648×80%＝518.4(元)，168＋432－518.4＝81.6(元)，所以把两次的货物合在一次买，可以比两次购物节省81.6元钱．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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"../标.TIF"
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【一题多变】
某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过10
m3的部分
超过10
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
2.50
若小明家10月份共交水费25元，则他家10月份所用水量是
12
m3.
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"../标.TIF"
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【母题变式】
【变式一】(变换条件)某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过10
m3的部分
超过10
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
4.00
若小明家10月份共交水费24元，则他家10月份所用水量是
11
m3.
【变式二】(变换条件和问法)某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过x
m3的部分
超过x
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
2.50
若小明家10月份共交水费25元，他家10月份所用水量是12
m3，则x的值为
10
．
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-
5
-3．4 一元一次方程模型的应用
第3课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤
实际问题建立方程模型→解方程→检验解的
．
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P103【动脑筋】，你发现的规律是：
“分段收费”理解的关键是明确每一阶段的
，理清每一阶段的
，正确找出问题中的
，列出方程，从而解决问题．
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"../二.TIF"
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阅读教材P103【例4】，你发现的规律是：
解决方案设计问题的一般步骤
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解两种方案值相等的情况．
2．用特殊值试探选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性，下结论.
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．某市出租车收费标准是：起步价8元(即行驶距离不超过3
km，付8元车费)，超过3
km，每增加1
km收1.6元(不足1
km按1
km计)，小梅从家到图书馆的路程为x
km，出租车车费为24元，那么x的值可能是13.( √ )
2．公园门票价格规定如表：
购票张数
1～50张
51～100张
100张以上
每张票的价格
13元
11元
9元
某校七年级(1)、(2)两个班共104人去游公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班超过50人，但不足100人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1
240元，那么七年级(1)班有48人，七年级(2)班有56人．( √ )
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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分段收费问题
【P103动脑筋拓展】——理解分段收费问题的关键所在
某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气如果不超过30立方米，按每立方米1.20元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份某用户的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份这位用户应交燃气费多少元．
【完善解答】因为3月份某用户的燃气费平均每立方米1.50元，所以用户燃气用量
立方米，
判断出要分段缴费
设3月份燃气用量为x立方米，
由题意得，
，
根据等量关系列方程
解得：x＝
，解方程
则3月份这位用户应交燃气费为：
×1.5＝
(元).计算3月份这位用户应交的燃气费
答：3月份这位用户应交燃气费
元．
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【归纳提升】
解决分段收费问题的“三个步骤”
1．根据总的费用情况探究该费用所处的“段”．
2．分别计算各段的费用(必要时设未知数).
3．根据各段费用之和等于总费用列式(或方程).
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过3吨时，每吨价格为2元，当用水超过3吨而不超过7吨时，超过部分每吨水的价格为3元，当用水超过7吨时，超过部分每吨水的价格为5元，李老师10月份付了水费33元，则李老师用水的吨数为(
)
A．7
B．10
C．11
D．12
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"../标.TIF"
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变式二：提升
为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，某地实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多50%，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少60%
，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多20%，但6月份的电费却比5月份的电费少10%
，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为(
)
A．62.5%
B．50%
C．40%
D．37.5%
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方案解决问题
【P103例4拓展】——辨别各种方案是否可行
春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量(张)
1－50
51－100
101张及以上
单价(元/张)
60元
50元
40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5
500元．
(1)如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？
(3)如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？
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"../标.TIF"
MERGEFORMAT
【归纳提升】
解方案选择问题的一般方法
某些实际问题往往含有多种方案可供选择，这需要先分类再综合思考．有的方案可用算术法求解，有的方案须借助一元一次方程求解，求出所有方案的结果后根据要求进行比较，作出合理的选择．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
某景区门票的收费标准如下：
门票类别
成人票
儿童票
团体票(限5张及以上)
价格(元/人)
100
40
60
有两个家庭分别去该景区游玩，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果一家比另一家少花40元，则花费较少的一家花了(
)
A．300元
B．260元
C．240元
D．220元
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"../标.TIF"
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变式二：提升
“十一”期间人民商场回报顾客，实行“迎国庆，大酬宾”活动，具体要求如下：购物200以下不优惠，购物200～500元按9折优惠；购物500～1
000元按8折优惠；1
000元以上按7.5折优惠，活动期间某人两次购物分别用去168元和432元，如果改为一次性购物，那么可以比两次购物节省多少钱？
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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"../标.TIF"
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【一题多变】
某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过10
m3的部分
超过10
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
2.50
若小明家10月份共交水费25元，则他家10月份所用水量是
m3.
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"../标.TIF"
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【母题变式】
【变式一】(变换条件)某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过10
m3的部分
超过10
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
4.00
若小明家10月份共交水费24元，则他家10月份所用水量是
m3.
【变式二】(变换条件和问法)某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如表所示：
月用水量
不超过x
m3的部分
超过x
m3不超过20
m3的部分
收费标准(元/m3)
2.00
2.50
若小明家10月份共交水费25元，他家10月份所用水量是12
m3，则x的值为
．
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-3．4 一元一次方程模型的应用
第1课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
1．(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
vt
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
s÷v
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
s÷t
．
2．(1)长方形周长＝(
长
＋
宽
)×2，
(2)长方形面积＝
长
×
宽
，
(3)正方形周长＝
边长
×4，
(4)正方形面积＝
边长2
，
(5)三角形面积＝
底×高÷2
，
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P98【动脑筋】，完成以下填空：
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤：
实际问题建立方程模型→解方程→检验解的
合理性
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P99【动脑筋】，你发现的规律是：
1．商品销售利润问题中的等量关系：售价－
进价
＝利润．
2．当售价
＞
进价时，盈利；当售价
＜
进价时，亏损；当售价
＝
进价时，不赔不赚．
3．商品的利润率＝×100%＝×100%.
4．商品的售价＝标价×
(n为打折数).
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【质疑判断】
1．有一些纸箱和若干梨．若每个纸箱装25千克梨，则余40千克无处装；若每个纸箱装30千克梨，则余20个空箱．
设纸箱有x个，依题意列方程得：25x＋40＝30(x－20).( √ )
2．甲乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等，设甲班原有人数是x人，可列出方程(98－x)－3＝x＋3.( × )
3．某种商品的进价为100
元，由于该商品积压，商店准备按标价的八折销售，可保证利润16元，设标价为x元，
依题意可得：0.8x－100＝16，解得x＝116，即标价为116元．( × )
4．(2020·毕节中考)由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元．
设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x＋25＝90%x－20，解得：x＝300，即该商品的原售价为300元．( √ )
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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含有两个等量关系的问题
【P98例1拓展】——用一元一次方程解决应用题的步骤
某地区发生强烈地震，维和部队在两个地方进行救援工作，甲处有91名维和部队队员，乙处有49名维和部队队员，现又调来100名维和部队队员支援，要使甲处的人数比乙处人数的3倍少12人，应往甲、乙两处各调多少名维和部队队员？
【完善解答】设应往甲处调x名维和部队队员，则往乙处调
(100－x)
名，
则调来人员后甲处的总人数是
(91＋x)
，调来人员后乙处的总人数是
49＋(100－x)
，
根据等量关系：
调来后甲处人数是乙处人数的3倍少12人
，
可列方程：91＋x＝
3[49＋(100－x)]－12
，
解得x＝86
，则调往乙处的人数为：100－x＝
14
．
答：应往甲处调
86
名维和部队队员，往乙处调
14
名维和部队队员．
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【归纳提升】
含有两个等量关系问题中的两个未知量及
两个相等关系
1．两个未知量：
这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的代数式表示，两种设法所列方程没有繁简或难易的区别．
2．两个相等关系：
一个用于设未知数，另一个用于列方程．
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变式一：巩固
某班30位同学，在绿色护植活动中共种树72棵．已知女生每人种2棵，男生每人种3棵，设女生有x人，则可列方程为(A)
A．2x＋3(30－x)＝72
B．3x＋2(30－x)＝72
C．2x＋3(72－x)＝30
D．3x＋2(72－x)＝30
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变式二：提升
(2020·攀枝花中考)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
解：设这些学生共有x人，根据题意得－＝2，解得x＝48.
答：这些学生共有48人．
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"../知识点二.TIF"
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打折销售问题
【P99动脑筋拓展】
一件商品按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，结果仍能获利18元，问这件商品的进价是多少元？
【自主解答】设这件商品的进价是x元，由题意得：
(1＋40%)x×80%＝x＋18，
解得：x＝150.
答：这件商品的进价是150元．
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【归纳提升】
打折销售中常见的数量关系
1．利润＝售价－成本价(或进价).
2．利润率＝×100%.
3．利润＝成本价×利润率．
4．售价＝标价×.
5．售价＝成本价＋利润＝成本×(1＋利润率).
6．售价－成本价＝成本价×利润率．
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变式一：巩固
(2020·鸡西中考)“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是
80
元．
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变式二：提升
一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，求每件服装的标价是多少元？
解：设每件服装的标价是x元，根据题意得，
0.5x＋20＝0.8x－40，解得
x＝200.
答：每件服装的标价是200元．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
书店里每本定价10元的书，成本是8元．
为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？
正解：设该书应打x折，根据题意，
得10×－8＝(10－8)×(1－10%)
解得x＝9.8.
答：该书应打九八折．
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【思想体现——方程思想】
【解读】方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算．这就是一种很重要的数学思想方法，有很多问题能归结为方程来处理，并且用方程思想解决比用其他方法要简捷得多．
【应用】用列方程的方法解应用题时，先用字母代替未知数，让它与已知数一起参加运算．这种代数解法是把解题过程分两部分，一部分是“列式”，另一部分是“求解”，列式时先不考虑求解的过程，只需根据问题中的相等关系平铺直叙地列出方程，因此用列方程的方法解应用题，思路简单，易于掌握，是今后解应用题及解其他问题的重要方法．
【典例】(2021·五华期末)在预防新型冠状病毒期间，电子体温枪成为最重要的抗疫资源之一．某品牌电子体温枪由甲、乙两部件各一个组成，加工厂每天能生产甲部件600个，或者生产乙部件400个，现要在30天内生产最多的该种电子体温枪，则甲、乙两种部件各应生产多少天？
【尝试解答】设甲部件应生产x天，则乙部件应生产(30－x)天，由题意得：
600x＝400(30－x)，解得：x＝12.所以，乙部件应生产30－x＝30－12＝18(天).
答：甲部件应生产12天，乙部件应生产18天．
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-3．4 一元一次方程模型的应用
第2课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
速度、时间、路程：
(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
vt
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
s÷v
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
s÷t
．
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P100【例2】，你发现的规律是：
1．有关储蓄的概念
(1)本金：顾客
存入
银行的钱．
(2)利息：银行付给顾客的酬金．
2．有关储蓄的等量关系
(1)利息＝本金×年利率×年数．
(2)本息和＝本金＋
利息
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P101【动脑筋】，你发现的规律是：
行程问题基本类型
(1)追及问题中的等量关系(假设甲先走)：
①甲的路程＝
乙的路程
；②甲的时间＝
乙的时间
＋时间差．
(2)相遇问题(同时出发)中的等量关系：
①甲路程＋乙路程＝
总路程
；②甲的时间＝
乙的时间
．
(3)航行问题：
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度．
逆水(风)速度＝
静水(风)速度
－水流(风)速度．
顺速－逆速＝
2
水速；
顺速＋逆速
＝
2
船速．
顺水的路程＝
逆水的路程
．
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和(本金＋利息)33
852元．设王先生存入的本金为x元，则列方程为3×4.25%x＝33
852.( × )
2．小明的爸爸前年存了年利率为2.25%的两年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税(税率为20%)，所得利息正好为小明买了一个价值576元的咖啡壶机，设小明爸爸前年存了x元钱，可列方程为2.25%×2×(1－20%)x＝576，解得：x＝16
000.( √ )
3．一辆汽车由A地开往B地行驶了3小时，返回时每小时少行驶10千米，多用了0.5小时，若设由A地开往B地行驶的速度是x千米/时，列方程，得3x＝2.5(x－10)，解得x＝60.( × )
4．甲、乙两车分别从相距3
000米的A、B两地同时出发相向而行，5分钟相遇，若乙的速度是5米/秒，则甲的速度是6米/秒.( × )
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储蓄问题
【P100例2拓展】——理解储蓄问题中的等量关系
某商店为了促销某品牌空调，决定2021年元旦购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔钱；余下部分及它的利息(年利率5.6%)在2022年元旦付清，该空调售价是每台8
224元，若两次付款数相同，求每次应付款多少元？
【完善解答】设每次应付款x元，依题意，得
(8
224－x)×(1＋5.6%)
＝x，用等量关系列方程
解得x＝
4
224
．解方程
答：每次应付款
4
224
元．
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【归纳提升】
解决储蓄问题的关键
解决储蓄问题主要利用“本息和＝本金＋利息”这一等量关系，灵活运用这一等量关系是解决这类问题的关键．另外，在计算利息时，利率和期数的单位要统一．
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变式一：巩固
近年来，我国居民储蓄存款额不断增长，储蓄存款已成为我国居民的重要投资渠道．假设小赵将10
000元人民币存入银行，定期3年，利率为4.25%，在存满整2年时，小赵因急用，一次取出了所有本息，当时活期利率为0.5%.那么，在其他条件不变的情况下，小赵获得的本息为(A)
A．10
100元
B．1
500元
C．10
850元
D．100元
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变式二：提升
某商店为了促销某品牌空调，决定2017年元旦购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔钱；余下部分及它的利息在2018年元旦付清，若该空调售价是每台8
224元，且两次付款数相同，每次付款4
224元，求年利率是多少？
解：设年利率是x，依题意，得
(8
224－4
224)×(1＋x)＝4
224，
解得x＝0.056，
即x＝5.6%.
答：年利率是5.6%.
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行程问题
【P101例3拓展】——理解相遇问题中的数量关系
“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米/时，小李车速为15千米/时，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米/时，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
【自主解答】(1)设经过t小时相遇，20t＝15t＋10，
解方程得：t＝2，所以两人经过两个小时后相遇．
(2)设小张的车速为x千米/时，则相遇时小张所走的路程为x＋x，
小李走的路程为：10×＝5千米，
所以有：x＋x＝5＋10，
解得x＝18.
故小张的车速为18千米/时．
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【归纳提升】
解决行程问题的一般思路
1．先分析题目中与行程有关的三个量，已知什么求什么．
2．确定行程问题类型，找出相等关系．
3．设未知数列方程求解．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
小华从家里骑自行车到学校，每小时骑15
km，可早到10分钟，每小时骑12
km就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是(D)
A．35
km
B．20
km
C．18
km
D．15
km
变式二：提升
小明从家里骑自行车到学校，每小时骑20
km，可早到小时，每小时骑15
km就会迟到小时，问他家到学校的路程是多少千米？
解：设小明家到学校的路程为x
km，
由题意得，＋＝－
解得x＝25.
答：他家到学校的路程是25
km.
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【火眼金睛】
一列火车通过长为1
500
m的大桥要36
s，它通过桥头的哨兵需要4
s，那么这列火车的长是
m．
正解：设车长为x
m，
根据题意，得＝，
解得x＝187.5.
答案：187.5
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【一题多变】
A，B两地相距700千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米；两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
解：设两车同时开出，相向而行，x小时相遇．根据题意，得60x＋80x＝700，
解得x＝5.
答：两车同时开出，相向而行，经过5小时相遇．
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【母题变式】
(变换条件和问法)A，B两地相距700千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米；两车同时开出，相背而行，经过多少小时后两车相距980千米？
解：设两车同时开出，相背而行，经过x小时后两车相距980千米．根据题意，得60x＋80x＝980－700，
解得x＝2.
答：两车同时开出，相背而行，经过2小时后两车相距980千米．
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-3．4 一元一次方程模型的应用
第2课时
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【旧知再现】
速度、时间、路程：
(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
．
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【新知初探】
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阅读教材P100【例2】，你发现的规律是：
1．有关储蓄的概念
(1)本金：顾客
银行的钱．
(2)利息：银行付给顾客的酬金．
2．有关储蓄的等量关系
(1)利息＝本金×年利率×年数．
(2)本息和＝本金＋
．
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"../二.TIF"
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阅读教材P101【动脑筋】，你发现的规律是：
行程问题基本类型
(1)追及问题中的等量关系(假设甲先走)：
①甲的路程＝
；②甲的时间＝
＋时间差．
(2)相遇问题(同时出发)中的等量关系：
①甲路程＋乙路程＝
；②甲的时间＝
．
(3)航行问题：
顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水流(风)速度．
逆水(风)速度＝
－水流(风)速度．
顺速－逆速＝
水速；
顺速＋逆速
＝
船速．
顺水的路程＝
．
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【质疑判断】
1．王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和(本金＋利息)33
852元．设王先生存入的本金为x元，则列方程为3×4.25%x＝33
852.( × )
2．小明的爸爸前年存了年利率为2.25%的两年期定期储蓄，今年到期后，扣除利息税(税率为20%)，所得利息正好为小明买了一个价值576元的咖啡壶机，设小明爸爸前年存了x元钱，可列方程为2.25%×2×(1－20%)x＝576，解得：x＝16
000.( √ )
3．一辆汽车由A地开往B地行驶了3小时，返回时每小时少行驶10千米，多用了0.5小时，若设由A地开往B地行驶的速度是x千米/时，列方程，得3x＝2.5(x－10)，解得x＝60.( × )
4．甲、乙两车分别从相距3
000米的A、B两地同时出发相向而行，5分钟相遇，若乙的速度是5米/秒，则甲的速度是6米/秒.( × )
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储蓄问题
【P100例2拓展】——理解储蓄问题中的等量关系
某商店为了促销某品牌空调，决定2021年元旦购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔钱；余下部分及它的利息(年利率5.6%)在2022年元旦付清，该空调售价是每台8
224元，若两次付款数相同，求每次应付款多少元？
【完善解答】设每次应付款x元，依题意，得
＝x，用等量关系列方程
解得x＝
．解方程
答：每次应付款
元．
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【归纳提升】
解决储蓄问题的关键
解决储蓄问题主要利用“本息和＝本金＋利息”这一等量关系，灵活运用这一等量关系是解决这类问题的关键．另外，在计算利息时，利率和期数的单位要统一．
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变式一：巩固
近年来，我国居民储蓄存款额不断增长，储蓄存款已成为我国居民的重要投资渠道．假设小赵将10
000元人民币存入银行，定期3年，利率为4.25%，在存满整2年时，小赵因急用，一次取出了所有本息，当时活期利率为0.5%.那么，在其他条件不变的情况下，小赵获得的本息为(
)
A．10
100元
B．1
500元
C．10
850元
D．100元
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变式二：提升
某商店为了促销某品牌空调，决定2017年元旦购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔钱；余下部分及它的利息在2018年元旦付清，若该空调售价是每台8
224元，且两次付款数相同，每次付款4
224元，求年利率是多少？
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行程问题
【P101例3拓展】——理解相遇问题中的数量关系
“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．
(1)若两人同时出发，小张车速为20千米/时，小李车速为15千米/时，经过多少小时能相遇？
(2)若小李的车速为10千米/时，小张提前20分钟出发，两人商定小李出发后半小时二人相遇，则小张的车速应为多少？
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【归纳提升】
解决行程问题的一般思路
1．先分析题目中与行程有关的三个量，已知什么求什么．
2．确定行程问题类型，找出相等关系．
3．设未知数列方程求解．
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变式一：巩固
小华从家里骑自行车到学校，每小时骑15
km，可早到10分钟，每小时骑12
km就会迟到5分钟，则他家到学校的路程是(
)
A．35
km
B．20
km
C．18
km
D．15
km
变式二：提升
小明从家里骑自行车到学校，每小时骑20
km，可早到小时，每小时骑15
km就会迟到小时，问他家到学校的路程是多少千米？
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【火眼金睛】
一列火车通过长为1
500
m的大桥要36
s，它通过桥头的哨兵需要4
s，那么这列火车的长是
m．
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【一题多变】
A，B两地相距700千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米；两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
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【母题变式】
(变换条件和问法)A，B两地相距700千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米；两车同时开出，相背而行，经过多少小时后两车相距980千米？
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-3．4 一元一次方程模型的应用
第1课时
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【旧知再现】
1．(1)已知速度、时间，求路程的公式：s＝
；
(2)已知速度、路程，求时间的公式：t＝
；
(3)已知时间、路程，求速度的公式：v＝
．
2．(1)长方形周长＝(
＋
)×2，
(2)长方形面积＝
×
，
(3)正方形周长＝
×4，
(4)正方形面积＝
，
(5)三角形面积＝
，
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【新知初探】
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阅读教材P98【动脑筋】，完成以下填空：
运用一元一次方程模型解决实际问题的步骤：
实际问题建立方程模型→解方程→检验解的
．
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阅读教材P99【动脑筋】，你发现的规律是：
1．商品销售利润问题中的等量关系：售价－
＝利润．
2．当售价
进价时，盈利；当售价
进价时，亏损；当售价
进价时，不赔不赚．
3．商品的利润率＝×100%＝×100%.
4．商品的售价＝标价×
(n为打折数).
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．有一些纸箱和若干梨．若每个纸箱装25千克梨，则余40千克无处装；若每个纸箱装30千克梨，则余20个空箱．
设纸箱有x个，依题意列方程得：25x＋40＝30(x－20).(
)
2．甲乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等，设甲班原有人数是x人，可列出方程(98－x)－3＝x＋3.(
)
3．某种商品的进价为100
元，由于该商品积压，商店准备按标价的八折销售，可保证利润16元，设标价为x元，
依题意可得：0.8x－100＝16，解得x＝116，即标价为116元．(
)
4．(2020·毕节中考)由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元．
设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x＋25＝90%x－20，解得：x＝300，即该商品的原售价为300元．(
)
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含有两个等量关系的问题
【P98例1拓展】——用一元一次方程解决应用题的步骤
某地区发生强烈地震，维和部队在两个地方进行救援工作，甲处有91名维和部队队员，乙处有49名维和部队队员，现又调来100名维和部队队员支援，要使甲处的人数比乙处人数的3倍少12人，应往甲、乙两处各调多少名维和部队队员？
【完善解答】设应往甲处调x名维和部队队员，则往乙处调
名，
则调来人员后甲处的总人数是
(91＋x)
，调来人员后乙处的总人数是
，
根据等量关系：
，
可列方程：91＋x＝
，
解得x＝86
，则调往乙处的人数为：100－x＝
．
答：应往甲处调
名维和部队队员，往乙处调
名维和部队队员．
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【归纳提升】
含有两个等量关系问题中的两个未知量及
两个相等关系
1．两个未知量：
这类问题有两个未知数，设其中哪个为x都可以，另一个用含x的代数式表示，两种设法所列方程没有繁简或难易的区别．
2．两个相等关系：
一个用于设未知数，另一个用于列方程．
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变式一：巩固
某班30位同学，在绿色护植活动中共种树72棵．已知女生每人种2棵，男生每人种3棵，设女生有x人，则可列方程为(
)
A．2x＋3(30－x)＝72
B．3x＋2(30－x)＝72
C．2x＋3(72－x)＝30
D．3x＋2(72－x)＝30
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变式二：提升
(2020·攀枝花中考)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
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打折销售问题
【P99动脑筋拓展】
一件商品按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，结果仍能获利18元，问这件商品的进价是多少元？
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【归纳提升】
打折销售中常见的数量关系
1．利润＝售价－成本价(或进价).
2．利润率＝×100%.
3．利润＝成本价×利润率．
4．售价＝标价×.
5．售价＝成本价＋利润＝成本×(1＋利润率).
6．售价－成本价＝成本价×利润率．
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变式一：巩固
(2020·鸡西中考)“元旦”期间，某商店单价为130元的书包按八折出售可获利30%，则该书包的进价是
元．
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变式二：提升
一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，求每件服装的标价是多少元？
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【火眼金睛】
书店里每本定价10元的书，成本是8元．
为了促销，书店决定让利10%给读者，问该书应打多少折？
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【思想体现——方程思想】
【解读】方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算．这就是一种很重要的数学思想方法，有很多问题能归结为方程来处理，并且用方程思想解决比用其他方法要简捷得多．
【应用】用列方程的方法解应用题时，先用字母代替未知数，让它与已知数一起参加运算．这种代数解法是把解题过程分两部分，一部分是“列式”，另一部分是“求解”，列式时先不考虑求解的过程，只需根据问题中的相等关系平铺直叙地列出方程，因此用列方程的方法解应用题，思路简单，易于掌握，是今后解应用题及解其他问题的重要方法．
【典例】(2021·五华期末)在预防新型冠状病毒期间，电子体温枪成为最重要的抗疫资源之一．某品牌电子体温枪由甲、乙两部件各一个组成，加工厂每天能生产甲部件600个，或者生产乙部件400个，现要在30天内生产最多的该种电子体温枪，则甲、乙两种部件各应生产多少天？
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