4．3 角
4．3.1 角与角的大小比较
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
角的特点：(1)__一__个顶点，__两__条边．
(2)它的两条边是__射线__不是__线段__，不能测量出长度．
(3)角的大小与两条边的长短__无关__，只和两条边张开的__大小__有关．
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"../标.TIF"
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P123【观察】，你的发现是：
1．角的概念
(1)角：由具有__公共__端点的__两__条射线组成的图形．
(2)角：一条射线绕着它的__端点__从一个位置__旋转__到另一个位置时所成的图形．
2．角的表示
方 法
图 形
表 示
适用范围
用三个大写字母
__∠AOB__
所有角
用一个大写字母
__∠O__
顶点处只有一个角
用数字或希腊字母
__∠1____∠α__
所有角
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"../二.TIF"
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阅读教材P124【探究】，你的发现是：
角的比较：(1)用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
(2)把两个角叠合在一起比较大小．
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"../三.TIF"
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阅读教材P125表格后的内容，你的发现是：
角的平分线：以一个角的__顶点__为端点且把这个角分成两个__相等__的角的射线．
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．一条直线就是一个平角．( × )
2．两条射线组成的图形叫做角．( × )
3．一个周角等于两个平角．( √ )
4．如图，∠β也可以用∠D表示．( × )
5．若BD是∠ABC的角平分线，则∠ABC＝2∠ABD.( √ )
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"../标.TIF"
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【妙招巧记】
角的四种表示法，
用时是有要求的：
大写字母用三个，
顶点字母放中间；
大写字母用一个，
顶点只有一个角；
希腊字母或数字，
配上弧线才能表．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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角的概念、表示法和角的比较
【P123观察拓展】——角的表示方法
根据给出图回答下列问题：
(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
【思路点拨】(1)(2)在一个点处只有一个角，这个角可用一个字母表示；(3)角的两边不同，(4)角的顶点不同，则两个角不同．
【自主解答】(1)不正确，以A为顶点的角有3个，故不能用∠A表示，可表示为∠DAC.
(2)图中∠B可以用一个字母表示．
(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC.
(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同．
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【归纳提升】
角的表示方法的几点注意
1．用三个大写的英文字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在中间．
2．当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角．
3．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置画出小弧线并标出数字或小写的希腊字母，方可使用．
4．在实际表示中，同一个角可能有多种表示方法，
一般选取较简易的表示方法．
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
如图，下列说法正确的是(C)
A.∠1与∠BOC表示同一个角
B．∠β表示的是∠AOC
C．∠1＋∠β＝∠AOC
D．∠β＞∠1
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"../标.TIF"
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变式二：提升
(1)请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
第一种表示
∠ABE
∠ACB
第二种表示
∠1
∠3
(2)用量角器度量∠A，∠2，∠ABE的度数，它们的度数之间有什么关系？
解：(1)∠ABE可表示为∠4，∠1可表示为∠ABC，∠ACB可表示为∠2，∠3可表示为∠ACF；
答案：∠4 ∠ABC ∠2 ∠ACF
(2)∠A＝25°，∠2＝55°，∠ABE＝80°，
所以它们的度数之间的关系为：∠A＋∠2＝∠ABE.
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"../知识点二.TIF"
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角的平分线及应用
【P125角的平分线定义拓展】——用角平分线计算角的大小
如图，已知点O是直线AB上任意一点，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．
【完善解答】因为已知点O是直线AB上任意一点，
所以∠AOC＋∠BOC＝__180°__，平角的定义
因为∠AOC＝5∠BOC，
所以5∠BOC＋∠BOC＝__180°__，等量代换
所以∠BOC＝__30°__，解一元一次方程
所以∠AOC＝5×__30°__＝__150°__，代入求值
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD＝__∠AOC__＝×__150°__＝__75°__．
角平分线的定义
所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD
＝30°＋75°＝105°.角的和差
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【归纳提升】
由BD是∠ABC的平分线可得到的三种关系式
(1)∠ABD＝∠CBD；
(2)∠ABD＝∠ABC,
∠CBD＝∠ABC；
(3)∠ABC＝2∠ABD，∠ABC＝2∠CBD.
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变式一：巩固
如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的平分线，则∠COE的度数为(A)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
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"../标.TIF"
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变式二：提升
如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成3∶4两部分，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数．
解：设∠ABE＝3x，则∠CBE＝4x，∠ABD＝3.5x，
因为∠DBE＝∠ABD－∠ABE，
所以3.5x－3x＝8°，
x＝16°，7x＝7×16°＝112°.
所以∠ABC＝112°.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
若∠AOB＝2∠BOC且∠AOB＝80°，求∠AOC.
正解：
①当OC在∠AOB的内部时，如图①
因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝40°，
所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC
＝80°－40°＝40°.
②当OC在∠AOB的外部时，如图②
因为∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝80°，
所以∠BOC＝40°，
所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
＝80°＋40°＝120°.
所以∠AOC＝40°或∠AOC＝120°.
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【一题多变】
如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数．
解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，
所以∠AOD＝∠BOD＝∠BOA，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
因为∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，
所以∠BOE＝25°，∠BOD＝40°，
所以∠DOE＝25°＋40°＝65°.
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【母题变式】
【变式一】(变换条件、问法)如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠DOE＝65°，求∠BOA的度数．
解：因为OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，所以∠AOD＝∠BOD＝∠AOB，
∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，
因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.
所以∠BOD＝65°－25°＝40°.
所以∠BOA＝2∠BOD＝80°.
【变式二】(变换条件、问法)如图，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，∠DOE＝65°.试说明OD是∠AOB的平分线．
解：因为OE是∠BOC的平分线，
所以∠BOE＝∠COE＝∠BOC，
因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝25°，
因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，∠DOE＝65°.
所以∠BOD＝65°－25°＝40°.
因为∠BOA＝80°，
所以∠AOD＝∠BOA－∠BOD＝80°－40°＝40°.
所以∠AOB＝2∠AOD＝2∠BOD，
所以OD平分∠AOB，
即OD是∠AOB的平分线．
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4．3.1 角与角的大小比较
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【旧知再现】
角的特点：(1)__
__个顶点，__
__条边．
(2)它的两条边是__
__不是__
__，不能测量出长度．
(3)角的大小与两条边的长短__
__，只和两条边张开的__
__有关．
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【新知初探】
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阅读教材P123【观察】，你的发现是：
1．角的概念
(1)角：由具有__
__端点的__
__条射线组成的图形．
(2)角：一条射线绕着它的__
__从一个位置__
__到另一个位置时所成的图形．
2．角的表示
方 法
图 形
表 示
适用范围
用三个大写字母
__
__
所有角
用一个大写字母
__
__
顶点处只有一个角
用数字或希腊字母
__
____
__
所有角
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阅读教材P124【探究】，你的发现是：
角的比较：(1)用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
(2)把两个角叠合在一起比较大小．
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阅读教材P125表格后的内容，你的发现是：
角的平分线：以一个角的__
__为端点且把这个角分成两个__
__的角的射线．
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【质疑判断】
1．一条直线就是一个平角．(
)
2．两条射线组成的图形叫做角．(
)
3．一个周角等于两个平角．(
)
4．如图，∠β也可以用∠D表示．(
)
5．若BD是∠ABC的角平分线，则∠ABC＝2∠ABD.(
)
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【妙招巧记】
角的四种表示法，
用时是有要求的：
大写字母用三个，
顶点字母放中间；
大写字母用一个，
顶点只有一个角；
希腊字母或数字，
配上弧线才能表．
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角的概念、表示法和角的比较
【P123观察拓展】——角的表示方法
根据给出图回答下列问题：
(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？
(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．
(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．
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【归纳提升】
角的表示方法的几点注意
1．用三个大写的英文字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在中间．
2．当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角．
3．用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置画出小弧线并标出数字或小写的希腊字母，方可使用．
4．在实际表示中，同一个角可能有多种表示方法，
一般选取较简易的表示方法．
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变式一：巩固
如图，下列说法正确的是(
)
A.∠1与∠BOC表示同一个角
B．∠β表示的是∠AOC
C．∠1＋∠β＝∠AOC
D．∠β＞∠1
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变式二：提升
(1)请将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
第一种表示
∠ABE
∠ACB
第二种表示
∠1
∠3
(2)用量角器度量∠A，∠2，∠ABE的度数，它们的度数之间有什么关系？
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角的平分线及应用
【P125角的平分线定义拓展】——用角平分线计算角的大小
如图，已知点O是直线AB上任意一点，∠AOC＝5∠BOC，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数．
【完善解答】因为已知点O是直线AB上任意一点，
所以∠AOC＋∠BOC＝__
__，平角的定义
因为∠AOC＝5∠BOC，
所以5∠BOC＋∠BOC＝__
__，等量代换
所以∠BOC＝__
__，解一元一次方程
所以∠AOC＝5×__
__＝__
__，代入求值
因为OD平分∠AOC，
所以∠COD＝__
__＝×__
__＝__
__．
角平分线的定义
所以∠BOD＝∠BOC＋∠COD
＝30°＋75°＝105°.角的和差
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【归纳提升】
由BD是∠ABC的平分线可得到的三种关系式
(1)∠ABD＝∠CBD；
(2)∠ABD＝∠ABC,
∠CBD＝∠ABC；
(3)∠ABC＝2∠ABD，∠ABC＝2∠CBD.
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变式一：巩固
如图，∠AOB＝20°，∠BOC＝80°，OE是∠AOC的平分线，则∠COE的度数为(
)
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
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变式二：提升
如图，BD平分∠ABC，BE分∠ABC成3∶4两部分，∠DBE＝8°，求∠ABC的度数．
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【火眼金睛】
若∠AOB＝2∠BOC且∠AOB＝80°，求∠AOC.
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【一题多变】
如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，求∠DOE的度数．
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【母题变式】
【变式一】(变换条件、问法)如图，OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠DOE＝65°，求∠BOA的度数．
【变式二】(变换条件、问法)如图，OE是∠BOC的平分线，若∠BOC＝50°，∠BOA＝80°，∠DOE＝65°.试说明OD是∠AOB的平分线．
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