4．3.2 角的度量与计算
第2课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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"../标.TIF"
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【旧知再现】
计算：
(1)36°12′＋53°48′＝__89__°__60__′＝__90__°.
(2)88°25′43″＋91°34′17″＝__179__°__59__′__60__″＝__180__°.
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"../标.TIF"
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P127【做一做】，解决以下问题：
1．观察、猜想
如图，点O是直线BD上一点，若∠AOC＝90°，则∠COD＋∠COB＝__180°__，∠1＋∠COB＝__90°__．
2．结论：
(1)余角：如果两个角的和等于一个__直角__，那么说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的__余角__．
(2)补角：如果两个角的和等于一个__平角__，那么说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的__补角__．
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"../二.TIF"
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阅读教材P128【动脑筋】，解决以下问题：
(1)余角的性质：同角(或等角)的余角__相等__．
(2)补角的性质：同角(或等角)的补角__相等__．
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．70°的余角是110°.( × )
2．80°是补角．( × )
3．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是60°.( √ )
4．同角的余角相等．( √ )
5．如果一个角的余角等于本身，那么这个角等于45°.( √ )
6．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α、∠β、∠γ互补．( × )
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"../标.TIF"
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【妙招巧记】
无论互余和互补，
都是仅指角大小；
互余两角和为直，
互补两角和为平．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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余角与补角
【教材P128例4拓展】——求一个角的余角
如图，已知∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝27°.
(1)写出图中所有互为余角的角；
(2)求∠AOD＋∠COD的度数．
【思路点拨】(1)在图形中，找出两角之和为90°，则这两个角互为余角；
(2)根据角平分线的概念、两角和差分别求出∠AOD和∠COD.
【自主解答】(1)∠AOC和∠BOC；∠AOD和∠BOD.
(2)∠AOD＝∠AOB－∠BOD＝90°－27°＝63°，
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠BOC＝∠AOB＝45°，
所以∠COD＝∠BOC－∠BOD＝45°－27°＝18°，
所以∠AOD＋∠COD＝63°＋18°＝81°.
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
关于余角(补角)的两个提醒
1．互为余角(补角)只是两个角的数量关系，与位置无关；
2．判断两个角是否互余，关键看两个角之和是否为90°，判断两个角是否互补，关键看两个角之和是否为180°.
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变式一：巩固
角52°18′的补角等于(C)
A．37°42′ B．38°18′ C．127°42′ D．128°42′
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"../标.TIF"
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变式二：提升
如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝34°.
(1)判断∠BOC与∠AOD之间的数量关系，并说明理由．
(2)若OE平分∠AOC，求∠EOC的余角的度数．
解：(1)∠BOC与∠AOD之间的数量关系为∠BOC＋∠AOD＝180°，因为∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝360°，所以∠BOC＋∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD＝180°.
(2)因为∠AOB＝90°，∠BOC＝34°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝124°，因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOE＝∠AOC＝62°，所以∠EOC余角的度数为90°－∠EOC＝28°.
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"../知识点二.TIF"
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余角与补角的性质的应用
【教材P129例5拓展】——用余角(补角)的性质求角的大小
如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，∠D＝30°，∠B＝45°，求：
(1)若∠ACE＝55°，求∠DCB的度数．
(2)若∠ACB＝120°，求∠DCE的度数．
(3)猜想∠ACB和∠DCE的关系，并说明理由．
【完善解答】
(1)因为∠ACE＋__∠DCE__＝90°，
∠DCB＋__∠DCE__＝90°，三角尺中的直角
所以__∠DCB__＝__∠ACE__＝__55°__．
同角的余角相等
(2)因为∠ACB＝120°，∠ACD＝90°
，已知
所以∠DCB＝__∠ACB__－∠ACD＝__120°__－∠ACD，
＝__120°__－90°＝__30°__，两角之差
因为∠ECB＝90°，已知
所以∠DCE＝∠ECB－__∠DCB__＝90°－__30°__＝__60°__；
两角之差
(3)猜想得∠ACB与∠DCE互补．理由：
因为∠ECB＝90°，∠ACD＝90°
所以∠ACB＝∠ACD＋__∠DCB__＝__90°__＋
__∠DCB__，两角之和
∠DCE＝∠ECB－__∠DCB__＝90°－__∠DCB__
两角之差
所以∠ACB＋∠DCE＝(__90°＋∠DCB__)＋(__90°－∠DCB__)＝__180°__．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
规避两个易错点
1．若三个角之和为90°，则它们之间不能称为“互余”；同理若三个角之和为180°，则它们之间不能称为“互补”．
2．互余的两个角必须都是锐角；互补的两个角可以都是直角，也可以一个角为钝角，另一个角是锐角．
变式一：巩固
一个角的余角等于这个角的，这个角的度数为__67.5°__．
变式二：提升
已知一个角的余角比这个角的补角的小12°，求这个角的余角和补角的度数．
解：设这个角为∠A，则这个角的余角为90°－∠A，这个角的补角为180°－∠A.
根据题意得；90°－∠A＝(180°－∠A)－12°.
解得∠A＝24°.90°－∠A＝90°－24°＝66°，
180°－∠A＝180°－24°＝156°.
答：这个角的余角为66°，补角为156°.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，
OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
①指出图中∠AOD与∠BOE的补角．
②试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
正解：①∠AOD的补角是∠BOD和∠COD，∠BOE的补角是∠AOE和∠COE，②因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠COE，∠BOD＝∠COD，因为∠AOE＋∠COE＋∠BOD＋∠COD
＝180°，所以2∠COE＋2∠COD
＝180°，所以∠COE＋∠COD
＝90°，即∠COE与∠COD互余．
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思想体现——方程思想
【解读】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想．
【应用】几何图形中的许多问题都蕴含了图形数量上的相等关系，在很多情况下，若能根据这些图形的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题，在线段、角度的计算上经常需要方程去解决问题．
【典例】一个角的余角比它的补角的一半少30°，求这个角的度数．
【尝试解答】设这个角为x°，则它的余角为(90－x)°，
它的补角为(180－x)°，列方程，得90－x＝－30，解得x＝60.
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-
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-4．3.2 角的度量与计算
第1课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
1．锐角：__小于__90度的角；钝角：__大于__90度的角，直角：__等于__90度的角．
2．1周角＝__2__平角＝__4__直角，直角＝__90__°，平角＝__180__°，周角＝__360__°.
3．1小时＝__60__分钟，1分钟＝__60__秒．
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【新知初探】
阅读教材P126例1前的内容，解决以下问题：
1．角的分类
(1)直角：平角的__一半__，即直角＝__90°__．
(2)锐角：小于__直角__的角，即__0°__<锐角<__90°__．
(3)钝角：大于__直角__但小于__平角__的角，即__90°__<钝角<__180°__．
2．角的度量
(1)单位：__度__、__分__、秒．
(2)进制：60进制，即1°＝__60′__＝__3__600″__．
3．角度的计算
角度的加减，要度、分、秒分别对齐，相加时满足“__60__”向上一级单位进“1”，相减时向上一级单位借“1”当“__60__”．
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"../标.TIF"
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【质疑判断】
1．大于直角的角是钝角．( × )
2．1°＝60′，1°＝360″.( × )
3．14.5°＝14°50′.( × )
4．72.3°＝72°18′.( √ )
5．34°20′＋45°10′＝79.5°.( √ )
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【妙招巧记】
度分秒与时分秒，
都是60进制的；
1度等于60分，
1分等于60秒．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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角的度、分、秒的换算
【教材P126例1、2拓展】——角度单位互化
(1)把91.34°转化为度、分、秒的形式；
(2)把
24°22′48″
转化成用度来表示的形式．
【思路点拨】(1)把不足1°的部分换算成以分为单位，然后把不足1′的部分换算成以秒为单位；
(2)把以秒为单位的部分转化为以分为单位，再连同以分为单位的部分全部转化为以度为单位的形式．
【自主解答】(1)91.34°＝91°＋0.34°
＝91°＋0.34×60′＝91°＋20.4′
＝91°＋20′＋0.4′＝91°＋20′＋0.4×60″
＝91°＋20′＋24″＝91°20′24″.
(2)24°22′48″＝24°22′＋48″
＝24°22′＋()′＝24°22′＋0.8′
＝24°22.8′＝24°＋22.8′
＝24°＋°＝24°＋0.38°＝24.38°.
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【归纳提升】
度与度、分、秒之间的互化
方法
度?度、分、秒
度、分、秒?度
方法
不足1个大单位×60＝相邻小单位部分
小单位部分÷60＝相邻大单位
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变式一：巩固
1.5°＝(C)
A．9′
B．15′
C．90′
D．150′
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变式二：提升
填空：(1)34°18′36″
＝__34.31__°；
(2)26.54°＝__26__°__32__′__24__″.
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"../知识点二.TIF"
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角度的计算
【P127例3拓展】——角度的四则运算
计算下列各题：
(1)152°49′12″＋20.18°.
(2)82°－36°42′15″.
(3)35°36′47″×9.
(4)41°37′÷3.
【完善解答】
(1)因为20.18°＝__20__°__10__′__48__″，
度、分、秒换算
所以
即152°49′12″＋20.18°＝__173°__．加法运算
(2)将82°化为__81__°__59__′__60__″，度、分、秒换算
则
所以82°－36°42′15″＝__45__°__17__′__45__″.
减法运算
(3)
所以35°36′47″×9＝__320__°__31__′__3__″.
乘法运算
(4)
所以
41°37′÷3＝13°52′20″.除法运算
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【归纳提升】
度分秒之间的加减乘除运算
运算
方法
整理结果
加法
同名单位相加
满60向前进1
减法
同名单位相减
不够相减，向前借1做60
乘法
每一个单位分别相乘
满60向前进1
除法
从大单位到小单位分别相除
若不能整除，
余数划到小单位
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变式一：巩固
计算：(1)180°－72°48′＝__107°12′__．
(2)24°13′37″＋35°46′23″＝__60°__．
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变式二：提升
计算：
(1)13°29′＋78°37′. (2)62°5′－21°39′.
(3)22°16′×5.
(4)42°15′÷5.
解：(1)13°29′＋78°37′
＝13°＋78°＋29′＋37′＝91°＋66′
＝92°6′.
(2)62°5′－21°39′
＝61°－21°＋65′－39′
＝40°＋26′
＝40°26′.
(3)22°16′×5
＝22°×5＋16′×5
＝110°＋80′
＝111°20′.
(4)42°15′÷5
＝42°÷5＋15′÷5
＝8.4°＋3′
＝8°＋0.4×60′＋3′
＝8°27′.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
钟表上3时30分时的时针与分针的夹角是多少？
正解：钟表上的时针转过一周需要12小时，即720分钟时针转一周，则时针每分钟转过角度为360°÷720＝0.5°；钟表上的分针转过一周需要60分钟，则分针每分钟转过角度为360°÷60＝6°.3时30分时，分针自3时转过6°×30＝180°，时针自3时转过0.5°×30＝15°，所以此时时针与分针之间的夹角为180°－90°－15°＝75°.
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【难题拆解】
计算4时15分时，时钟上时针与分针的夹角是多少？
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：4时，时钟的时针指向数字__4__，分针指向数字__12__，两针的夹角为__120__°
拆解二：从4时到4时15分，时针转动了__7.5__°，分针转动了__90__°
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【水到渠成——破难题】
【尝试解答】4时，时钟的时针指向数字4，分针指向数字12，两针的夹角为120°，从4时到4时15分，时针转动了7.5°，分针转动了90°，所以4时15分时，时钟上时针与分针的夹角是：120°＋7.5°－90°＝37.5°.
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-4．3.2 角的度量与计算
第2课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
计算：
(1)36°12′＋53°48′＝__
__°__
__′＝__
__°.
(2)88°25′43″＋91°34′17″＝__
__°__
__′__
__″＝__
__°.
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【新知初探】
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"../一.TIF"
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阅读教材P127【做一做】，解决以下问题：
1．观察、猜想
如图，点O是直线BD上一点，若∠AOC＝90°，则∠COD＋∠COB＝__
__，∠1＋∠COB＝__
__．
2．结论：
(1)余角：如果两个角的和等于一个__
__，那么说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的__
__．
(2)补角：如果两个角的和等于一个__
__，那么说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的__
__．
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"../二.TIF"
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阅读教材P128【动脑筋】，解决以下问题：
(1)余角的性质：同角(或等角)的余角__
__．
(2)补角的性质：同角(或等角)的补角__
__．
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【质疑判断】
1．70°的余角是110°.(
)
2．80°是补角．(
)
3．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是60°.(
)
4．同角的余角相等．(
)
5．如果一个角的余角等于本身，那么这个角等于45°.(
)
6．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α、∠β、∠γ互补．(
)
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【妙招巧记】
无论互余和互补，
都是仅指角大小；
互余两角和为直，
互补两角和为平．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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余角与补角
【教材P128例4拓展】——求一个角的余角
如图，已知∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝27°.
(1)写出图中所有互为余角的角；
(2)求∠AOD＋∠COD的度数．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
关于余角(补角)的两个提醒
1．互为余角(补角)只是两个角的数量关系，与位置无关；
2．判断两个角是否互余，关键看两个角之和是否为90°，判断两个角是否互补，关键看两个角之和是否为180°.
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变式一：巩固
角52°18′的补角等于(
)
A．37°42′ B．38°18′ C．127°42′ D．128°42′
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变式二：提升
如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝34°.
(1)判断∠BOC与∠AOD之间的数量关系，并说明理由．
(2)若OE平分∠AOC，求∠EOC的余角的度数．
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"../知识点二.TIF"
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余角与补角的性质的应用
【教材P129例5拓展】——用余角(补角)的性质求角的大小
如图，将一副三角尺的直角顶点叠放在点C处，∠D＝30°，∠B＝45°，求：
(1)若∠ACE＝55°，求∠DCB的度数．
(2)若∠ACB＝120°，求∠DCE的度数．
(3)猜想∠ACB和∠DCE的关系，并说明理由．
【完善解答】
(1)因为∠ACE＋__
__＝90°，
∠DCB＋__
__＝90°，三角尺中的直角
所以__
__＝__
__＝__
__．
同角的余角相等
(2)因为∠ACB＝120°，∠ACD＝90°
，已知
所以∠DCB＝__
__－∠ACD＝__
__－∠ACD，
＝__
__－90°＝__
__，两角之差
因为∠ECB＝90°，已知
所以∠DCE＝∠ECB－__
__＝90°－__
__＝__
__；
两角之差
(3)猜想得∠ACB与∠DCE互补．理由：
因为∠ECB＝90°，∠ACD＝90°
所以∠ACB＝∠ACD＋__
__＝__
__＋
__
__，两角之和
∠DCE＝∠ECB－__
__＝90°－__
__
两角之差
所以∠ACB＋∠DCE＝(__
__)＋(__
__)＝__
__．
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【归纳提升】
规避两个易错点
1．若三个角之和为90°，则它们之间不能称为“互余”；同理若三个角之和为180°，则它们之间不能称为“互补”．
2．互余的两个角必须都是锐角；互补的两个角可以都是直角，也可以一个角为钝角，另一个角是锐角．
变式一：巩固
一个角的余角等于这个角的，这个角的度数为__
__．
变式二：提升
已知一个角的余角比这个角的补角的小12°，求这个角的余角和补角的度数．
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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【火眼金睛】
如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，
OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
①指出图中∠AOD与∠BOE的补角．
②试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．
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"../标.TIF"
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思想体现——方程思想
【解读】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想．
【应用】几何图形中的许多问题都蕴含了图形数量上的相等关系，在很多情况下，若能根据这些图形的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题，在线段、角度的计算上经常需要方程去解决问题．
【典例】一个角的余角比它的补角的一半少30°，求这个角的度数．
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-4．3.2 角的度量与计算
第1课时
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"../识新知·自主预习.TIF"
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【旧知再现】
1．锐角：__
__90度的角；钝角：__
__90度的角，直角：__
__90度的角．
2．1周角＝__
__平角＝__
__直角，直角＝__
__°，平角＝__
__°，周角＝__
__°.
3．1小时＝__
__分钟，1分钟＝__
__秒．
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【新知初探】
阅读教材P126例1前的内容，解决以下问题：
1．角的分类
(1)直角：平角的__
__，即直角＝__
__．
(2)锐角：小于__
__的角，即__
__<锐角<__
__．
(3)钝角：大于__
__但小于__
__的角，即__
__<钝角<__
__．
2．角的度量
(1)单位：__
__、__
__、秒．
(2)进制：60进制，即1°＝__
__＝__
__
__．
3．角度的计算
角度的加减，要度、分、秒分别对齐，相加时满足“__
__”向上一级单位进“1”，相减时向上一级单位借“1”当“__
__”．
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【质疑判断】
1．大于直角的角是钝角．(
)
2．1°＝60′，1°＝360″.(
)
3．14.5°＝14°50′.(
)
4．72.3°＝72°18′.(
)
5．34°20′＋45°10′＝79.5°.(
)
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【妙招巧记】
度分秒与时分秒，
都是60进制的；
1度等于60分，
1分等于60秒．
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"../研重点·典例探析.TIF"
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"../知识点一.TIF"
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角的度、分、秒的换算
【教材P126例1、2拓展】——角度单位互化
(1)把91.34°转化为度、分、秒的形式；
(2)把
24°22′48″
转化成用度来表示的形式．
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
度与度、分、秒之间的互化
方法
度?度、分、秒
度、分、秒?度
方法
不足1个大单位×60＝相邻小单位部分
小单位部分÷60＝相邻大单位
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"../标.TIF"
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变式一：巩固
1.5°＝(
)
A．9′
B．15′
C．90′
D．150′
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"../标.TIF"
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变式二：提升
填空：(1)34°18′36″
＝__
__°；
(2)26.54°＝__
__°__
__′__
__″.
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"../知识点二.TIF"
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角度的计算
【P127例3拓展】——角度的四则运算
计算下列各题：
(1)152°49′12″＋20.18°.
(2)82°－36°42′15″.
(3)35°36′47″×9.
(4)41°37′÷3.
【完善解答】
(1)因为20.18°＝__
__°__
__′__
__″，
度、分、秒换算
所以
即152°49′12″＋20.18°＝__
__．加法运算
(2)将82°化为__
__°__
__′__
__″，度、分、秒换算
则
所以82°－36°42′15″＝__
__°__
__′__
__″.
减法运算
(3)
所以35°36′47″×9＝__
__°__
__′__
__″.
乘法运算
(4)
所以
41°37′÷3＝13°52′20″.除法运算
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"../标.TIF"
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【归纳提升】
度分秒之间的加减乘除运算
运算
方法
整理结果
加法
同名单位相加
满60向前进1
减法
同名单位相减
不够相减，向前借1做60
乘法
每一个单位分别相乘
满60向前进1
除法
从大单位到小单位分别相除
若不能整除，
余数划到小单位
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"../标.TIF"
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MERGEFORMAT
变式一：巩固
计算：(1)180°－72°48′＝__
__．
(2)24°13′37″＋35°46′23″＝__
__．
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"../标.TIF"
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变式二：提升
计算：
(1)13°29′＋78°37′. (2)62°5′－21°39′.
(3)22°16′×5.
(4)42°15′÷5.
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"../培素养·思维拓展.TIF"
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"../标.TIF"
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【火眼金睛】
钟表上3时30分时的时针与分针的夹角是多少？
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"../标.TIF"
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【难题拆解】
计算4时15分时，时钟上时针与分针的夹角是多少？
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"../标.TIF"
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【层层剖析——清障碍】
拆解一：4时，时钟的时针指向数字__
__，分针指向数字__
__，两针的夹角为__
__°
拆解二：从4时到4时15分，时针转动了__
__°，分针转动了__
__°
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