第2章一元二次方程 同步优生能力达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册 （Word版 附答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》
同步优生能力达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．2x2﹣x﹣y2＝0
B．x（x﹣2）＝0
C．ax2+bx+c＝0
D．x﹣＝8
2．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（　　）
A．ax2﹣x+2＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣m＝0
D．x2﹣mx﹣1＝0
3．一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（　　）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝0，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3
D．x＝0
4．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0的一个根是1，则m的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．0
5．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣
D．k＞﹣且k≠0
6．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则m2﹣m+n的值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图1，有一张长80cm，宽50cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2那样的无盖纸盒，若纸盘的底面积是2800cm2，设纸盒的高为x（cm），那么x满足的方程是（　　）
A．（80﹣x）（50﹣2x）＝2800
B．（80﹣x）（50﹣x）＝2800
C．（80﹣2x）（50﹣x）＝2800
D．（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800
8．关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A．0
B．±3
C．3
D．﹣3
9．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12
B．9
C．15
D．12或15
10．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A．
B．4
C．25
D．5
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．若关于x的方程（a﹣1）x+2x﹣7＝0是一元二次方程，则a＝　
　．
12．若m是方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则3m2+9m+2021的值是
　
　．
13．把x2+2x﹣2＝0化为（x+m）2＝k的形式（m，k为常数），则m+k＝　
　．
14．某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有
　
　个班级．
15．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　
　．
16．一元二次方程x（x+1）＝2（x+1）的解是
　
　．
17．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
18．已知a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，则代数式2a﹣的值为
　
　．
19．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　
　．
20．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　
　．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解方程：（1）3x2﹣4x+1＝0．
（2）（y﹣3）2＝（2y﹣1）（y﹣3）．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＝3﹣x2，求方程的两个根．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
24．如图，依靠一面长18米的墙，用38米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，设AD长为x米．
（1）用含有x的代数式表示AB的长，并直接写出x的取值范围；
（2）当矩形场地的面积为180平方米时，求AD的长．
25．安庆某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台每降价1元，商场平均每天可多售出2台．
（1）若该商场某天降价了5元，则当天可售出
　
　台，当天共盈利
　
　元．
（2）在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？
（3）该商场平均每天盈利能达到2500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由．
26．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩．
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？
参考答案
一．选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．解：A、方程2x2﹣x﹣y2＝0含有2个未知数，所以A选项不符合题意；
B、方程整理为x2﹣2x＝0，它为一元二次方程，所以B选项符合题意；
C、当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，所以C选项不符合题意；
D、方程x﹣＝8含有分式，它不是一元二次方程，所以D选项不符合题意．
故选：B．
2．解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；
故选：D．
3．解：∵x（x﹣3）＝x﹣3，
∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝1，
故选：C．
4．解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5＝0的一个根是1，
∴2×12﹣3×1+m＝0，
解得：m＝1．
故选：A．
5．解：由题意知，k2≠0，且Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1≥0．
解得k≥﹣且k≠0．
故选：B．
6．解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2＝2m+1，
∴m2﹣m+n＝2m+1﹣m+n＝m+n+1，
∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0两根，
∴m+n＝2，
∴m2﹣m+n＝m+n+1＝2+1＝3．
故选：C．
7．解：设纸盒的高是x，根据题意得：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．
故选：D．
8．解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，
（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，
由题意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，
解得：m＝﹣3，
故选：D．
9．解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝6，
当3是腰时，三角形的三边分别为3、3、6，不能组成三角形；
当6是腰时，三角形的三边分别为3、6、6，能组成三角形，周长为3+6+6＝15．
故选：C．
10．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
二．填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）
11．解：∵关于x的方程（a﹣1）x+2x﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2且a﹣1≠0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：把x＝m代入x2+3x﹣2＝0得m2+3m﹣2＝0，
所以m2+3m＝2，
所以3m2+9m+2021＝3（m2+3m）+2021＝2×3+2021＝2027．
故答案为2027．
13．解：x2+2x﹣2＝0，
移项，得x2+2x＝2，
配方，得x2+2x+1＝2+1，
即（x+1）2＝3，
所以m＝1，k＝3，
即m+k＝1+3＝4，
故答案为：4．
14．解：设八年级有x个班，
依题意得：x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
则该校八年级有8个班级．
故答案为：8．
15．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
16．解：方程整理得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
可得x+1＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝2．
17．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
18．解：∵a是一元二次方程2x2﹣3x﹣5＝0的根，
∴2a2﹣3a﹣5＝0，
∵a≠0，
∴2a﹣3﹣＝0，
∴2a﹣＝3．
故答案为3．
19．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
20．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
三．解答题（共6小题，每小题10分，共计60分）
21．解：（1）3x2﹣4x+1＝0，
（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
3x﹣1＝0或x﹣1＝0，
x1＝1，x2＝；
（2））（y﹣3）2＝（2y﹣1）（y﹣3），
（y﹣3）（y﹣3﹣2y+1）＝0，
（y﹣3）（y+2）＝0，
y﹣3＝0或y+2＝0，
y1＝﹣2，y2＝3．
22．解：（1）∵Δ＝（4m）2﹣4×1×（4m2﹣9）＝16m2﹣16m2+36＝36＞0，
∴已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0一定有两个不相等的实数根；
（2）∵x＝，
∵，
∴x1+x2＝6，
∵x1+x2＝4m，
∴4m＝6，
∴，
∴，
∴x1＝6，x2＝0．
23．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．
24．解：（1）∵AD＝x，
∴BC＝x，AB＝38﹣AD﹣BC＝38﹣2x．
又∵墙长18米，
∴，
∴10≤x＜19．
∴AB＝38﹣2x（10≤x＜19）．
（2）依题意得：x(38﹣2x)＝180，
整理得：x2﹣19x+90＝0，
解得：x1＝9（不合题意，舍去），x2＝10．
答：AD的长为10米．
25．解：（1）30+2×5＝30+10＝40（台），
（50﹣5）×40＝45×40＝1800（元）．
故答案为：40；1800．
（2）设每台空气加湿器应降价x元，则每台盈利（50﹣x）元，每天可以售出（30+2x）台，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2100，
整理得：x2﹣35x+300＝0，
解得：x1＝15，x2＝20．
∵尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：每台空气加湿器应降价20元．
（3）不能，理由如下：
设每台空气加湿器应降价y元，则每台盈利（50﹣y）元，每天可以售出（30+2y）台，
依题意得：（50﹣y）（30+2y）＝2500，
整理得：y2﹣35y+500＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×1×500＝1225﹣2000＝﹣775＜0，
∴该方程无实数根，
∴商场平均每天盈利不能达到2500元．
26．（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1+x）2＝196
解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克
根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750
整理得，y2﹣4y+3＝0，
解得y1＝1，y2＝3
∵要减少库存
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3
答：售价应降低3元．