中小学教育资源及组卷应用平台
课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第4单元
第3节：解特殊类型的一元一次方程
要点1：含字母系数的方程
【要点梳理】
1、含字母系数方程有关概念
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
2、常用的思想方法：分类讨论产生的原因→等式的性质②
等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，．
由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。若在不能确定的情况下，必须进行讨论
3、分类讨论--解含字母系数方程
含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．
⑴当时，，原方程有唯一解；
⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解；
⑶当且时，原方程无解．
【典型例题】
例1、（2019七上·兴化月考）关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-
；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解.若关于x的方程mx+
=
-x有无数解，则m+n的值为（??
）
A.?????B.?1??
?C.?2??????D.?以上答案都不对
【答案】
B
例2、（2020七上·扬州期末）已知关于
的一元一次方程
的解为
，那么关于
的一元二次方程
的解
=________．
【答案】
-1
例3、（2019七上·江都月考）已知关于
x
的一次方程(3a+8)x+7＝0
无解，则
9a2－3a－64
的值是________
【答案】
8
例4、已知关于x的方程3a(x+2)=(2b-1)x+5有无数多个解，求a与b的值．
【答案】
解：去括号得：3ax+6a=(2b-1)x+5，
移项得：3ax-(2b-1)x=5-6a，
合并同类项得：（3a-2b+1）x=5-6a，
∵方程有无数个解，
∴，
解得：.
∴a=，
b=.
【同步演练】
1、（2019七上·港闸期末）已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1＝0无解，则ab的值为（??
）
A.?正数???B.?非正数???C.?负数???D.?非负数
【答案】
B
2、（2019七上·镇江期末）已知关于
的一元一次方程
的解为
，那么关于
的一元一次方程
的解为
________.
【答案】
5
3、（2019七上·广陵月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为1.5，且1.5＝4.5﹣3，则该方程3x＝4.5是“差解方程”.若关于x的一元一次方程2x＝m+2是“差解方程”，则m＝________.
【答案】
2
要点2：含绝对值的方程
【要点梳理】
1、解法：我们知道，化简绝对值时，必须要先明确的正负性，当的正负性不能明确的时候，必须要进行讨论，即
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论，基本方法就是“零点分段法”。
2、方法1：零点分段法
零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点
②零点分段讨论③分段求解方程④检验
3、方法2：绝对值的几何意义
“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法，但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂，所以有些类型的绝对值方程，我们可以采用“绝对值的几何意义”来求
4、方法3：绝对值的非负性
形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；
②若的取值范围能够确定的正，负情况，则直接去掉绝对值
③若的取值范围不能确定的正，负情况，则将原方程化为两个方程和；
④分别解方程和；
⑤将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．
当然解方程还常用到整体代入法
【典型例题】
例1、（2019七上·东台期中）如果（a﹣b）x=︱a﹣b︱的解是x=﹣1,那么（?
?）
A.?a=b????B.?a>b?????C.?a【答案】
C
例2、适合关系式|x+|+|x﹣|=2的整数解x的个数是（ ）
A.?0个????B.?1个????C.?2个????D.?3个
【答案】
C
例3、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．
解方程：|x﹣1|=2
解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；
综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．
（1）解方程：|2x+3|=8．
（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．
【答案】
解：（1）当x＜﹣时，原方程等价于2x+3=﹣8，解得x=﹣；
当x≥﹣时，原方程等价于2x+3=8，解得x=；
综上所述，方程|2x+3|=8的解为x=﹣或x=．
（2）当x＜﹣时，原方程等价于﹣x﹣4=1，解得x=﹣5；
当﹣≤x＜1时，原方程等价于3x+2=1，解得x=﹣；
当x≥1时，原方程等价于x+4=1，解得x=﹣3，（不符合题意，舍）；
综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1的解为x=﹣5或x=﹣．
例4、（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________?，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________?；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________?，如果|AB|=2，那么x为________?；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________?．
④当x=________?
时，|x+1|+|x﹣2|=5．
?
【答案】
3；4；|x+1|；±2；﹣1≤x≤2 ；3或﹣2
【同步演练】
1、方程的解是（ ）
A.?x=1或x=-??B.?x=﹣1或x=-??C.?x=﹣1或x=??D.?x=1或x=
【答案】
A
2、阅读下面的解题过程：
解方程：|x+3|=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2
解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解；
当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2
解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解．
所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．
解答下面的两个问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；
（2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a，
①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】
解：（1）当3x﹣2≥0时，原方程可化为3x﹣2=4，
解得x=2，经检验x=2是方程的解；
当3x﹣2＜0时，原方程可化为﹣（3x﹣2）=4，
解得x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解；
所以原方程的解是x=2，x=﹣．
（2）因为|x﹣2|≥0，
所以，当a＜0时，方程无解；
当a=0时，方程只有一个解；
当a＞0时，方程有两个解．
3、（1）若|x+5|=2，则x=________；
（2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为________，当取此最小值时，x的取值范围是______；
（3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9．
【答案】
（1）﹣3或﹣7
（2）4；﹣3≤x≤1
（3）解：当x≤﹣2时，原方程可化为：﹣2x﹣4+x﹣3=9，
解得：x=﹣16，
当x≥3时，原方程可化为：2x+4﹣x+3=9，
解得：x=2
与x≥3不符；
当﹣2＜x＜3时，原方程可化为：2x+4+x﹣3=9，
解得：x=
．
综上所述，方程的解为：x=﹣16或x=
【课后巩固】
1、（2018七上·宿迁期末）|
x－2
|＋3＝4，下列说法正确的是(?
)
A.?解为3???B.?解为1???C.?其解为1或3???D.?以上答案都不对
【答案】
C
2、方程|2x﹣4|=0的解是（ ）
A.?2?????B.?﹣2???C.?±2????D.?
【答案】
A
3、方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（ ）
A.?2?????B.?3????C.?4??????D.?无数个
【答案】
D
4、关于x的方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（ ）
A.???
B.?-
?C.??
?D.?-
【答案】
D
5、有下列结论：
①若a+b+c=0，则abc≠0；
②若a（x﹣1）=b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b；
③若b=2a，则关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣；
④若a+b+c=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解；
其中结论正确的个数有（ ）
A.?4个????B.?3个????C.?2个???D.?1个
【答案】
C
6、（2020七上·高新期中）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c=2，|a?c|=|b?c|=|d?b|=1，则a+b+c+d=________.
【答案】
6或10
7、（2019七上·兴化月考）若关于x的一元一次方程
的解为
，则关于y的一元一次方程
的解为y=
________.
【答案】
-3
8、（2019七上·海安期中）已知
，则
的值为________
【答案】
1或2
9、一列方程如下排列：
=1的解是x=2，
+
=1的解是x=3，
+
=1的解是x=﹣4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x=6的方程：________．
【答案】
+
=1
10、（2019七上·扬州月考）已知方程
是关于
的一元一次方程.
（1）求
和
的值.
（2）若
满足关系式
，求
的值.
【答案】
（1）解：根据一元一次方程的定义:3m-4=0,
.
代入方程:-x-4×
=-2×
,解得:x=
（2）解：将
代入得:
解得:
或
.
11、阅读理解：
在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：
①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣2）+4，解得：x=0，符合x＜2
②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）=（x﹣2）+4，解得：x=4，符合x≥2
∴原方程的解为：x=0，x=4．
解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．
知识迁移：
（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；
知识应用：
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．
提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？
【答案】
（1）解：移项得|x﹣3|﹣3|x﹣3|=﹣8，
合并得﹣2|x﹣3|=﹣8，
两边除以﹣2得|x﹣3|=4，
所以x﹣3=±4，
∴x=﹣1或7
（2）解：
当x≤﹣1，原方程可化为2﹣x+3（x+1）=x﹣9，解得x=﹣14，符合x≤﹣1；
当﹣1＜x≤2，原方程可化为2﹣x﹣3（x+1）=x﹣9，解得x=，
符合﹣1＜x≤2；
当x＞2，原方程可化为﹣2+x+3（x+1）=x﹣9，解得x=?，不符合x＞2；
∴原方程的解为x=﹣14或x=．
12、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．
解方程：|x﹣1|=2
解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；
综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．
（1）解方程：|2x+3|=8
（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．
【答案】
（1）解：当x＜﹣时，原方程等价于2x+3=﹣8，解得x=﹣；
当x≥﹣时，原方程等价于2x+3=8，解得x=；
综上所述，方程|2x+3|=8的解为x=﹣或x=．
（2）当x＜﹣时，原方程等价于﹣x﹣4=1，解得x=﹣5；
当﹣≤x＜1时，原方程等价于3x+2=1，解得x=﹣；
当x≥1时，原方程等价于x+4=1，解得x=﹣3，（不符合题意，舍）；
综上所述，方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1的解为x=﹣5或x=﹣?．
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精品试卷·第
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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第4单元
第3节：解特殊类型的一元一次方程
要点1：含字母系数的方程
【要点梳理】
1、含字母系数方程有关概念
当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
2、常用的思想方法：分类讨论产生的原因→等式的性质②
等式的性质②：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，．
由等式的性质2，我们知道在等式两边同时除以某一个数时，必须确定此数不为0。若在不能确定的情况下，必须进行讨论
3、分类讨论--解含字母系数方程
含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定．
⑴当时，，原方程有唯一解；
⑵当且时，解是任意数，原方程有无数解；
⑶当且时，原方程无解．
【典型例题】
例1、（2019七上·兴化月考）关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-
；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解.若关于x的方程mx+
=
-x有无数解，则m+n的值为（??
）
A.?????B.?1??
?C.?2??????D.?以上答案都不对
例2、（2020七上·扬州期末）已知关于
的一元一次方程
的解为
，那么关于
的一元二次方程
的解
=________．
例3、（2019七上·江都月考）已知关于
x
的一次方程(3a+8)x+7＝0
无解，则
9a2－3a－64
的值是________
例4、已知关于x的方程3a(x+2)=(2b-1)x+5有无数多个解，求a与b的值．
【同步演练】
1、（2019七上·港闸期末）已知关于x的一次方程（3a+4b）x+1＝0无解，则ab的值为（??
）
A.?正数???B.?非正数???C.?负数???D.?非负数
2、（2019七上·镇江期末）已知关于
的一元一次方程
的解为
，那么关于
的一元一次方程
的解为
________.
3、（2019七上·广陵月考）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程为“差解方程”，例如：3x＝4.5的解为1.5，且1.5＝4.5﹣3，则该方程3x＝4.5是“差解方程”.若关于x的一元一次方程2x＝m+2是“差解方程”，则m＝________.
要点2：含绝对值的方程
【要点梳理】
1、解法：我们知道，化简绝对值时，必须要先明确的正负性，当的正负性不能明确的时候，必须要进行讨论，即
解绝对值方程的基本思想就是去绝对值，而去绝对值的基本思想就是分类讨论，基本方法就是“零点分段法”。
2、方法1：零点分段法
零点分段法的基本步骤：①找绝对值零点
②零点分段讨论③分段求解方程④检验
3、方法2：绝对值的几何意义
“零点分段法”是解决绝对值方程的基本方法，但有的时候采用“零点分段法”的过程非常繁琐和复杂，所以有些类型的绝对值方程，我们可以采用“绝对值的几何意义”来求
4、方法3：绝对值的非负性
形如型的绝对值方程的解法：
①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围；
②若的取值范围能够确定的正，负情况，则直接去掉绝对值
③若的取值范围不能确定的正，负情况，则将原方程化为两个方程和；
④分别解方程和；
⑤将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．
当然解方程还常用到整体代入法
【典型例题】
例1、（2019七上·东台期中）如果（a﹣b）x=︱a﹣b︱的解是x=﹣1,那么（?
?）
A.?a=b????B.?a>b?????C.?a例2、适合关系式|x+|+|x﹣|=2的整数解x的个数是（ ）
A.?0个????B.?1个????C.?2个????D.?3个
例3、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．
解方程：|x﹣1|=2
解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；
综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．
（1）解方程：|2x+3|=8．
（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．
例4、（1）阅读下面材料：
点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．
当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图（1），|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|；当A，B两点都不在原点时，
①如图（2），点A，B都在原点的右边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|；
②如图（3），点A，B都在原点的左边，|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣（﹣a）=|a﹣b|；
③如图（4），点A，B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（﹣b）=|a﹣b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是________?，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 3 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是________?；
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是________?，如果|AB|=2，那么x为________?；
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是________?．
④当x=________?
时，|x+1|+|x﹣2|=5．
?
【同步演练】
1、方程的解是（ ）
A.?x=1或x=-??B.?x=﹣1或x=-??C.?x=﹣1或x=??D.?x=1或x=
2、阅读下面的解题过程：
解方程：|x+3|=2．
解：当x+3≥0时，原方程可化成为x+3=2
解得x=﹣1，经检验x=﹣1是方程的解；
当x+3＜0，原方程可化为，﹣（x+3）=2
解得x=﹣5，经检验x=﹣5是方程的解．
所以原方程的解是x=﹣1，x=﹣5．
解答下面的两个问题：
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4=0；
（2）探究：当值a为何值时，方程|x﹣2|=a，
①无解；②只有一个解；③有两个解．
3、（1）若|x+5|=2，则x=________；
（2）代数式|x﹣1|+|x+3|的最小值为________，当取此最小值时，x的取值范围是______；
（3）解方程：|2x+4|﹣|x﹣3|=9．
【课后巩固】
1、（2018七上·宿迁期末）|
x－2
|＋3＝4，下列说法正确的是(?
)
A.?解为3???B.?解为1???C.?其解为1或3???D.?以上答案都不对
2、方程|2x﹣4|=0的解是（ ）
A.?2?????B.?﹣2???C.?±2????D.?
3、方程|x﹣3|+|x+3|=6的解的个数是（ ）
A.?2?????B.?3????C.?4??????D.?无数个
4、关于x的方程mx+1=2（m﹣x）的解满足|x+2|=0，则m的值为（ ）
A.???
B.?-
?C.??
?D.?-
5、有下列结论：
①若a+b+c=0，则abc≠0；
②若a（x﹣1）=b（x﹣1）有唯一的解，则a≠b；
③若b=2a，则关于x的方程ax+b=0（a≠0）的解为x=﹣；
④若a+b+c=1，且a≠0，则x=1一定是方程ax+b+c=1的解；
其中结论正确的个数有（ ）
A.?4个????B.?3个????C.?2个???D.?1个
6、（2020七上·高新期中）a、b、c、d为互不相等的有理数，且c=2，|a?c|=|b?c|=|d?b|=1，则a+b+c+d=________.
7、（2019七上·兴化月考）若关于x的一元一次方程
的解为
，则关于y的一元一次方程
的解为y=
________.
8、（2019七上·海安期中）已知
，则
的值为________
9、一列方程如下排列：
=1的解是x=2，
+
=1的解是x=3，
+
=1的解是x=﹣4，
…
根据观察得到的规律，写出其中解是x=6的方程：________．
10、（2019七上·扬州月考）已知方程
是关于
的一元一次方程.
（1）求
和
的值.
（2）若
满足关系式
，求
的值.
11、阅读理解：
在解形如3|x﹣2|=|x﹣2|+4这一类含有绝对值的方程时，我们可以根据绝对值的意义分x＜2和x≥2两种情况讨论：
①当x＜2时，原方程可化为﹣3（x﹣2）=﹣（x﹣2）+4，解得：x=0，符合x＜2
②当x≥2时，原方程可化为3（x﹣2）=（x﹣2）+4，解得：x=4，符合x≥2
∴原方程的解为：x=0，x=4．
解题回顾：本题中2为x﹣2的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了x＜2和x≥2两部分，所以分x＜2和x≥2两种情况讨论．
知识迁移：
（1）运用整体思想先求|x﹣3|的值，再去绝对值符号的方法解方程：|x﹣3|+8=3|x﹣3|；
知识应用：
（2）运用分类讨论先去绝对值符号的方法解类似的方程：|2﹣x|﹣3|x+1|=x﹣9．
提示：本题中有两个零点，它们把数轴上的点所对应的数分成了几部分呢？
12、阅读下列解方程的过程，并完成（1）、（2）小题的解答．
解方程：|x﹣1|=2
解：当x﹣1＜0，即x＜1时，原方程可化为：﹣（x﹣1）=2，解得x=﹣1；当x﹣1≥0，即x≥1时，原方程可化为：x﹣1=2，解得x=3；
综上所述，方程|x﹣1|=2的解为x=﹣1或x=3．
（1）解方程：|2x+3|=8
（2）解方程：|2x+3|﹣|x﹣1|=1．
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精品试卷·第
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