2021-2022学年北师大版数学八年级上册第三章 位置与坐标 章末专题练习题 （含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册第三章
位置与坐标
章末专题练习题
专题1　平面直角坐标系中计算图形的面积
1．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，则△ABC的面积为____．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，则四边形OABC的面积为____．
3．如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)点B的坐标为____．
(2)△ABC的面积为____．
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
专题2　平面直角坐标系中点的坐标变化规律
类型1　点坐标循环规律
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，……这样依次得到点A1，A2，A3，…，An.若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为____，点A2
020的坐标为____．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，将一根长为2
021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的坐标是____．
3．如图，弹性小球从点P(0，1)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(－2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，……第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2
020的坐标是(
)
A．(0，1)
B．(－2，4)
C．(－2，0)
D．(0，3)
类型2　点坐标递增规律
4．如图，在平面直角坐标系内，一动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(－1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，－2)，……按这样的运动规律，动点第2
021次运动到的点的坐标为____．
5．如图，在平面直角坐标系上有一点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位长度至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点P2(－1，1)，第3次向上跳动1个单位长度，第4次向右跳动3个单位长度，第5次又向上跳动1个单位长度，第6次向左跳动4个单位长度，……依此规律跳动下去，点P第2
018次跳动至点P2
018，则点P2
018的坐标是____．
6．如图，在单位长度为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，－1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2
020的坐标为____．
7．把自然数按如图的次序排列在平面直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点(0，0)对应的自然数是1，点(1，2)对应的自然数是14，那么点(1，4)对应的自然数是___；点(n，n)对应的自然数是____．
专题3　等腰三角形的存在性问题
1．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，B为x轴上一点．若△AOB为等腰三角形，且OB＝AB，则B点的坐标为____．
2．在平面直角坐标系中，已知A(3，－2)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为____________．
3．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点．若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有8个，写出其中一个点P的坐标是________．
4.在平面直角坐标系中，已知A
(2，－2)，点P是y轴上一点．若△AOP为等腰三角形，求点P的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(0，2)，点C在x轴上．若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.
参考答案
2021-2022学年北师大版八年级数学上册第三章
位置与坐标
章末专题练习题
专题1　平面直角坐标系中计算图形的面积
1．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，则△ABC的面积为18．
2．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，则四边形OABC的面积为100．
3．如图，A(－1，0)，C(1，4)，点B在x轴上，且AB＝3.
(1)点B的坐标为(2，0)或(－4，0)．
(2)△ABC的面积为6．
(3)在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：设点P到x轴的距离为h，则×3h＝10，解得h＝.
①当点P在y轴正半轴上时，
点P的坐标为(0，)；
②当点P在y轴负半轴上时，点P的坐标为(0，－).
综上所述，点P的坐标为(0，)或(0，－).
专题2　平面直角坐标系中点的坐标变化规律
类型1　点坐标循环规律
1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，……这样依次得到点A1，A2，A3，…，An.若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为(－3，1)，点A2
020的坐标为(0，－2)．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，B(－1，1)，C(－1，－2)，D(1，－2)，将一根长为2
021个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的坐标是(0，1)．
3．如图，弹性小球从点P(0，1)出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1(－2，0)，第2次碰到正方形的边时的点为P2，……第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2
020的坐标是(
B
)
A．(0，1)
B．(－2，4)
C．(－2，0)
D．(0，3)
类型2　点坐标递增规律
4．如图，在平面直角坐标系内，一动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点(－1，0)运动到点(0，1)，第2次运动到点(1，0)，第3次运动到点(2，－2)，……按这样的运动规律，动点第2
021次运动到的点的坐标为(2020，1)．
5．如图，在平面直角坐标系上有一点P(1，0)，点P第1次向上跳动1个单位长度至点P1(1，1)，紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点P2(－1，1)，第3次向上跳动1个单位长度，第4次向右跳动3个单位长度，第5次又向上跳动1个单位长度，第6次向左跳动4个单位长度，……依此规律跳动下去，点P第2
018次跳动至点P2
018，则点P2
018的坐标是(－505，1009)．
6．如图，在单位长度为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，－1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2
020的坐标为(2，1__010)__．
7．把自然数按如图的次序排列在平面直角坐标系中，每个点坐标就对应着一个自然数，例如点(0，0)对应的自然数是1，点(1，2)对应的自然数是14，那么点(1，4)对应的自然数是60；点(n，n)对应的自然数是4n2－2n＋1．
专题3　等腰三角形的存在性问题
1．在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，4)，B为x轴上一点．若△AOB为等腰三角形，且OB＝AB，则B点的坐标为(，0)．
【解析】　因为OB＝AB，所以点B在OA的垂直平分线上．作OA的垂直平分线与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴．
设B点的坐标为(a，0)，所以OB＝AB＝a.
在Rt△ABC中，BC2＋AC2＝AB2.所以(a－3)2＋42＝a2.
解得a＝.
所以B点的坐标为(，0).
2．在平面直角坐标系中，已知A(3，－2)，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为(6，0)，(，0)，(－，0)，(，0)．
【解析】　OA＝＝.
①若OA＝AP，则点P1(6，0).
②若OA＝OP，则点P2(，0)，P3(－，0).
③若OP＝AP，则P4(，0).
综上所述，P1(6，0)，P2(，0)，P3(－，0)，P4(，0).
3．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点．若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有8个，写出其中一个点P的坐标是(5，0)(答案不唯一)．
【解析】　如图所示，满足条件的点P有8个，分别为(5，0)，(8，0)，(0，5)，(0，6)，(－5，0)，(0，－5)，(0，)，(，0).
4．在平面直角坐标系中，已知A
(2，－2)，点P是y轴上一点．若△AOP为等腰三角形，求点P的坐标．
解：OA＝＝2.
①当OA＝OP时，可得到2个点，P1(0，2)，P2(0，－2)；
②当OA＝AP时，可得到1个点，P3(0，－4)；
③当OP＝AP时，可得到1个点，P4(0，－2).
综上所述，P1(0，2)，P2(0，－2)，P3(0，－4)，P4(0，－2).
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(0，2)，点C在x轴上．若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标.
解：因为A(1，0)，B(0，2)，
所以OA＝1，OB＝2.所以AB＝.
①当AB＝AC时，则OC＝－1或＋1.
所以C1(1－，0)，C2(1＋，0).
②当AB＝BC时，点C在x轴上，则OC＝OA＝1，易知点C在A的左侧．
所以C3(－1，0).
③当AC＝BC，则OC2＝BC2－OB2，即OC2＝(1＋OC)2－22.
所以OC＝.
所以C4(－，0).
综上所述，C1(1－，0)，C2(1＋，0)，C3(－1，0)，C4(－，0).