第四章 基本平面图形 单元章末专题练习题 2021-2022学年北师大版七年级数学数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版七年级数学数学第四章
基本平面图形
单元章末专题练习题
专题1　线段的计算
类型1　方程思想
1．如图，已知线段AB上有两点C，D且AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝18
cm.求AB的长．
2．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AB，CD的长．
类型2　分类讨论思想
3．若线段AB＝12
cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，求线段BD的长．
4．已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，求AQ的长．
类型3　与线段中点有关的计算(整体思想)
【例】　如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若AC＝9
cm，CB＝6
cm，则MN＝______cm；
(2)若AC＝a
cm，CB＝b
cm，则MN＝______cm；
(3)若AB＝m
cm，求线段MN的长；
(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n
cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
【变式1】　若MN＝k
cm，求线段AB的长．
【变式2】　若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p
cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．
如图，点C在线段AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝AB.
5．如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；
(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．
类型4　数形结合思想
6．如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足(a－2)2＋|b＋4|＝0，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位长度/秒和3个单位长度/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒(x＞0).
(1)A，B两点间的距离是6，动点M对应的数是x＋2(用含x的代数式表示)，动点N对应的数是______(用含x的代数式表示)；
(2)几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON?
(3)若M，N开始运动的同时，R从－1出发以2个单位长度/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值．
专题2　角度的计算
类型1　方程思想
1．如图，已知∠AOB＝70°，∠EOA＝∠AOD，∠DOC＝∠DOB且∠DOE∶∠DOC＝3∶2，求∠EOC的度数．
2．(1)如图1，∠AOC∶∠COD∶∠BOD＝4∶2∶1，若∠AOB＝140°，求∠BOC的度数；
(2)如图2，∠AOC∶∠COD∶∠BOD＝4∶2∶1，OP平分∠AOB，若∠AOB＝β，求∠COP的度数(用含β的的代数式表示).
类型2　分类讨论思想
3．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D为平面内一点，∠AOC＋∠BOD＝90°.
(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，则∠BOD等于______度；
(2)若∠AOC＝α(0°＜α≤45°)，ON平分∠COD.
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的度数(用含α的式子表示)；
②若∠AON＋∠COD＝180°，求出α的值．
类型3　与角平分线有关的计算(整体思想)
【例】　如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝______；
(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝______；
(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．
【变式1】　若∠EOF＝γ，求∠AOB.
【变式2】　如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．
如图，当射线OC在∠AOB的内部或外部，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC时，总有∠EOF＝∠AOB.
【拓展变式】　若射线OC在∠AOB外如图所示的位置，则∠EOF与∠AOB的数量关系是______．
4．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；
(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；
(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？
类型4　转化思想
5．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC∶∠BOC＝1∶2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为90度；
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板从图1开始绕点O按3每秒0°的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t，若不存在，说明理由．
专题3　有关线段、角的动态问题　　
1．已知点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
(1)如图1.
①若∠AOC＝60°，则∠DOE的度数为30°；
②若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为α(用含α的式子表示)；
(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
2．已知数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c，点O为原点，且a，b，c满足(a－6)2＋|b－2|＋|c－1|＝0.
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点M，N，R同时出发，设运动的时间为t秒，t为何值时，点N到点M，R的距离相等；
(3)如图2，若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，点P，Q同时出发开始运动，点K为数轴上的一个动点，且点C始终为线段PK的中点．设运动时间为t秒，若点K到线段PC的中点D的距离为3时，求t的值．
3．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18
cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2
cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1
cm/s；P，Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t(s).
(1)当点P在线段MO上运动时，PO＝______(用含t的代数式表示)；
(2)当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的平分线吗？如果是，请说明理由．
(3)在射线OB上是否存在P，Q相距2
cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由．
4．已知：数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，点O为原点，且a，b满足|a＋8|＋(b－4)2＝0.
(1)求OA，OB的长度；
(2)若点C是线段AB上一点(点C不与A，B两点重合)，且满足AC＝CO＋CB，求CO的长；
(3)若动点P，Q分别从A，B两点同时出发，向右运动，点P的速度为2单位长度/s，点Q的速度为1单位长度/s.设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP－OQ＝4单位长度．
5．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOD＝∠AOB时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，若OD在∠AOB内部运动，且OF是∠AOD的平分线时，求∠AOE－∠DOF的值；
(3)在(1)的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转．若射线OP，OQ同时开始旋转t秒(0＜t＜23.5)后得到∠COP＝∠AOQ，求t的值．
参考答案
专题1　线段的计算
类型1　方程思想
1．如图，已知线段AB上有两点C，D且AC∶CD∶DB＝2∶3∶4，点E，F分别为AC，DB的中点，EF＝18
cm.求AB的长．
解：设AC＝2a
cm，CD＝3a
cm，DB＝4a
cm.
因为E，F分别是AC，DB的中点，
所以CE＝AC＝a，DF＝BD＝2a.
所以EF＝a＋3a＋2a＝6a＝18.
所以a＝3.
所以AB＝2a＋3a＋4a＝27
cm.
2．如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是20，求线段AB，CD的长．
解：设BD＝x，则AB＝4x，CD＝6x.
因为点E，F分别为AB，CD的中点，
所以AE＝AB＝2x，CF＝CD＝3x.
因为AC＝AB＋CD－BD＝4x＋6x－x＝9x，
所以EF＝AC－AE－CF＝9x－2x－3x＝4x.
因为EF＝20，所以4x＝20，解得x＝5.
所以AB＝4x＝20，CD＝6x＝30.
类型2　分类讨论思想
3．若线段AB＝12
cm，点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点，求线段BD的长．
解：因为C是线段AB的中点，
所以AC＝BC＝AB＝×12＝6(cm).
①如图，当AD＝AC时，
BD＝BC＋CD＝BC＋AC＝6＋4＝10(cm).
②如图，当CD′＝AC时，
BD′＝BC＋CD′＝BC＋AC＝6＋2＝8(cm).
综上所述，线段BD的长为10
cm或8
cm.
4．已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，求AQ的长．
解：①如图所示，当点P在线段AB上时，
因为AB＝8，AP＝3PB，所以AP＝6，BP＝2.
因为点Q为线段PB的中点，所以PQ＝BP＝1.
所以AQ＝AP＋PQ＝7.
②如图所示，当点P在线段AB的延长线上时，
因为AB＝8，AP＝3PB，所以BP＝4.
因为点Q为线段PB的中点，
所以BQ＝BP＝2.
所以AQ＝AB＋BQ＝8＋2＝10.
③当点P在线段AB的反向延长线上时，不成立．
综上所述，AQ＝7或10.
类型3　与线段中点有关的计算(整体思想)
【例】　如图，点C在线段AB上，点M，N分别是AC，BC的中点．
(1)若AC＝9
cm，CB＝6
cm，则MN＝7.5cm；
(2)若AC＝a
cm，CB＝b
cm，则MN＝(a＋b)cm；
(3)若AB＝m
cm，求线段MN的长；
(4)若C为线段AB上任意一点，且AB＝n
cm，其他条件不变，你能猜想MN的长吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论．
解：(3)因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.
因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.
所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝AB＝m
cm.
(4)猜想：MN＝AB＝n
cm.
结论：当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝AB一定成立．
【变式1】　若MN＝k
cm，求线段AB的长．
解：因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.
因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.
所以MN＝CM＋CN＝AC＋BC＝AB.
所以AB＝2MN＝2k
cm.
【变式2】　若C在线段AB的延长线上，且满足AB＝p
cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，并说明理由．
解：猜想：MN＝AB＝p
cm.理由如下：
当点C在线段AB的延长线上时，如图．
因为点M是AC的中点，所以CM＝AC.
因为点N是BC的中点，所以CN＝BC.
所以MN＝CM－CN＝(AC－BC)＝AB＝p
cm.
如图，点C在线段AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝AB.
5．如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
(1)若AB＝24，CD＝10，求MN的长；
(2)若AB＝a，CD＝b，请用含有a，b的式子表示出MN的长．
解：(1)因为AB＝24，CD＝10，
所以AC＋DB＝AB－CD＝14.
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以MC＋DN＝(AC＋DB)＝7.
所以MN＝MC＋DN＋CD＝17.
(2)因为AB＝a，CD＝b，
所以AC＋DB＝AB－CD＝a－b.
因为M，N分别是AC，BD的中点，
所以MC＋DN＝(AC＋DB)＝(a－b).
所以MN＝MC＋DN＋CD＝(a－b)＋b＝(a＋b).
类型4　数形结合思想
6．如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足(a－2)2＋|b＋4|＝0，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位长度/秒和3个单位长度/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒(x＞0).
(1)A，B两点间的距离是6，动点M对应的数是x＋2(用含x的代数式表示)，动点N对应的数是3x－4(用含x的代数式表示)；
(2)几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON?
(3)若M，N开始运动的同时，R从－1出发以2个单位长度/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值．
解：(2)依题意，得OM＝x＋2，ON＝|3x－4|.
因为3OM＝2ON，
所以3(2＋x)＝2|3x－4|.
①3(2＋x)＝2(3x－4)，解得x＝.
②3(2＋x)＝－2(3x－4)，解得x＝.
综上所述，秒或秒后，3OM＝2ON.
(3)依题意，得动点R所对应的数为－1＋2x，
则RM＝|(－1＋2x)－(2＋x)|＝|3－x|，
MB＝(2＋x)－(－4)＝6＋x，
NB＝(－4＋3x)－(－4)＝3x，
所以MB－NB＝6＋x－3x＝6－2x.
因为2＋x＝－4＋3x，解得x＝3，
所以M与N相遇时时间为3秒．
N与M相遇前，x＜3时，＝＝＝2.
N与M相遇后，x＞3时，＝＝＝－2.
综上所述，的值为2或－2.
专题2　角度的计算
类型1　方程思想
1．如图，已知∠AOB＝70°，∠EOA＝∠AOD，∠DOC＝∠DOB且∠DOE∶∠DOC＝3∶2，求∠EOC的度数．
解：设∠DOE＝3x°，∠DOC＝2x°，
因为∠EOA＝∠AOD，
所以∠AOD＝4x°.
因为∠DOC＝∠DOB，
所以∠DOB＝3x°.
因为∠AOB＝70°，
所以3x＋4x＝70.
所以x＝10.
所以∠EOC＝∠EOD＋∠DOC＝5x°＝50°.
2．(1)如图1，∠AOC∶∠COD∶∠BOD＝4∶2∶1，若∠AOB＝140°，求∠BOC的度数；
(2)如图2，∠AOC∶∠COD∶∠BOD＝4∶2∶1，OP平分∠AOB，若∠AOB＝β，求∠COP的度数(用含β的的代数式表示).
解：(1)设∠BOD＝x°，∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°.
因为∠AOB＝140°，所以x＋2x＋4x＝140，解得x＝20.
所以∠BOD＝20°，∠COD＝40°，∠AOC＝80°.
所以∠BOC＝20°＋40°＝60°.
(2)设∠BOD＝y°，则∠AOC＝4y°，∠COD＝2y°.
所以y＋2y＋4y＝β.所以y＝β.所以∠AOC＝β.
因为OP平分∠AOB，所以∠AOP＝β.
所以∠COP＝∠AOC－∠AOP＝β－β＝β.
类型2　分类讨论思想
3．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D为平面内一点，∠AOC＋∠BOD＝90°.
(1)若∠AOC∶∠BOD＝4∶5，则∠BOD等于50度；
(2)若∠AOC＝α(0°＜α≤45°)，ON平分∠COD.
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的度数(用含α的式子表示)；
②若∠AON＋∠COD＝180°，求出α的值．
解：①补全图形如图1所示，∠AON＝α＋45°.
②当点D在∠BOC内(如图1)时，∠AON＝α＋45°.
因为∠AON＋∠COD＝180°，
所以α＋45°＋90°＝180°.
所以α＝45°.
如图2，当点D在∠BOC外时，则∠BOD＝90°－α，∠AOD＝180°－∠BOD＝90°＋α，
所以∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝90°＋2α.
因为ON平分∠COD，
所以∠CON＝∠COD＝45°＋α.
所以∠AON＝∠CON－∠AOC＝45°.
因为∠AON＋∠COD＝180°，
所以45°＋90°＋2α＝180°.
所以α＝22.5°.
综上所述，α＝22.5°或45°.
类型3　与角平分线有关的计算(整体思想)
【例】　如图，已知∠AOB内部有三条射线OE，OC，OF，且OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.
(1)若∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠EOF＝45°；
(2)若∠AOC＝α，∠BOC＝β，则∠EOF＝；
(3)若∠AOB＝θ，你能猜想出∠EOF与∠AOB之间的数量关系吗？请说明理由．
解：∠EOF与∠AOB之间的数量关系是∠EOF＝∠AOB＝θ.
理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.
所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB＝θ.
【变式1】　若∠EOF＝γ，求∠AOB.
解：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.
所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝∠BOC＋∠AOC＝(∠BOC＋∠AOC)＝∠AOB.
因为∠EOF＝γ，
所以∠AOB＝2γ.
【变式2】　如图，若射线OC在∠AOB的外部，且∠AOB＝θ，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则上述(3)中的结论还成立吗？请说明理由．
解：∠EOF＝θ成立，
理由：因为OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，
所以∠EOC＝∠BOC，∠COF＝∠AOC.
所以∠EOF＝∠COF－∠EOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOC－∠BOC)＝∠AOB＝θ.
如图，当射线OC在∠AOB的内部或外部，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC时，总有∠EOF＝∠AOB.
【拓展变式】　若射线OC在∠AOB外如图所示的位置，则∠EOF与∠AOB的数量关系是∠EOF＝180°－∠AOB．
4．如图，已知∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD.
(1)若∠AOB＝160°，∠COD＝40°，则∠EOF的度数为100°；
(2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，求∠EOF的度数；
(3)从(1)(2)的结果中，你能看出什么规律吗？
解：(2)因为∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠FOD＝∠AOC＋∠COD＋∠BOD＝(∠AOC＋∠BOD)＋∠COD＝(∠AOB－∠COD)＋∠COD＝∠AOB＋∠COD，∠AOB＝α，∠COD＝β，
所以∠EOF＝α＋β＝(α＋β).
(3)若∠AOB内部有顺次的四条射线：OE，OC，OD，OF，且OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
则∠EOF＝(∠AOB＋∠COD).
类型4　转化思想
5．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC∶∠BOC＝1∶2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为90度；
(2)继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由．
(3)在上述直角三角板从图1开始绕点O按3每秒0°的速度逆时针旋转270°的过程中，是否存在OM所在直线平分∠BOC和∠AOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间t，若不存在，说明理由．
解：(2)∠AOM－∠NOC＝30°，理由如下：
因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC∶∠BOC＝1∶2，
所以∠AOC＋2∠AOC＝180°.所以∠AOC＝60°.
所以∠AON＋∠CON＝60°.
因为∠MON＝90°，
所以∠AOM＋∠AON＝90°.
所以∠AOM－∠CON＝30°.
旋转时间为2秒或5秒或8秒．
专题3　有关线段、角的动态问题　　
1．已知点O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
(1)如图1.
①若∠AOC＝60°，则∠DOE的度数为30°；
②若∠AOC＝α，则∠DOE的度数为α(用含α的式子表示)；
(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
解：∠DOE＝∠AOC.理由如下：
因为∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，
所以∠COE＝∠BOC
＝(180°－∠AOC)
＝90°－∠AOC.
所以∠DOE＝∠COD－∠COE
＝90°－(90°－∠AOC)
＝∠AOC.
2．已知数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c，点O为原点，且a，b，c满足(a－6)2＋|b－2|＋|c－1|＝0.
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)如图1，若点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点N从点B出发以每秒3个单位长度的速度向右运动，点R从点C出发以每秒2个单位长度的速度向右运动，点M，N，R同时出发，设运动的时间为t秒，t为何值时，点N到点M，R的距离相等；
(3)如图2，若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，点P，Q同时出发开始运动，点K为数轴上的一个动点，且点C始终为线段PK的中点．设运动时间为t秒，若点K到线段PC的中点D的距离为3时，求t的值．
解：(1)a＝6，b＝2，c＝1.
(2)由题意，得点M表示的数为(6＋t)，点N表示的数为(2＋3t)，点R表示的数为(1＋2t)，
①当点N在点M左边时，
由题意，得MN＝RN，
所以(6＋t)－(2＋3t)＝(2＋3t)－(1＋2t)，解得t＝1.
②当点N在点M右边时，
由题意，得MN＝RN，此时点M，R重合，
所以6＋t＝1＋2t，解得t＝5.
综上所述，t的值为1或5时，点N到点M，R的距离相等．
(3)由题意，得P点表示的数为6－t.
因为点D是PC的中点，
所以点D表示的数为＝.
因为C是PK的中点，
所以点K表示的数为2×1－(6－t)＝t－4.
所以KD＝|(t－4)－
|＝3.
所以t＝3或7.
3．如图，已知∠AOB＝60°，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离O点18
cm的点M处出发，沿线段MO、射线OB运动，速度为2
cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1
cm/s；P，Q同时出发，同时射线OC绕着点O从OA上以每秒5°的速度顺时针旋转，设运动时间是t(s).
(1)当点P在线段MO上运动时，PO＝(18－2t)cm(用含t的代数式表示)；
(2)当点P在线段MO上运动时，t为何值时，OP＝OQ？此时射线OC是∠AOB的平分线吗？如果是，请说明理由．
(3)在射线OB上是否存在P，Q相距2
cm？若存在，请求出t的值并求出此时∠BOC的度数；若不存在，请说明理由．
解：(2)依题意，得
OP＝(18－2t)cm，OQ＝t
cm.
因为OP＝OQ，所以18－2t＝t.
解得t＝6.
所以∠AOC＝5°×6＝30°.
因为∠AOB＝60°，
所以∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝30°＝∠AOC.
所以射线OC是∠AOB的平分线．
(3)分两种情况讨论：
当P，Q相遇前相距2
cm时，则OQ－OP＝2.
所以t－(2t－18)＝2.解得t＝16.
所以∠AOC＝5°×16＝80°.
所以∠BOC＝80°－60°＝20°.
当P，Q相遇后相距2
cm时，则OP－OQ＝2.
所以(2t－18)－t＝2.解得t＝20.
所以∠AOC＝5°×20＝100°.
所以∠BOC＝100°－60°＝40°.
4．已知：数轴上两点A，B表示的数分别为a，b，点O为原点，且a，b满足|a＋8|＋(b－4)2＝0.
(1)求OA，OB的长度；
(2)若点C是线段AB上一点(点C不与A，B两点重合)，且满足AC＝CO＋CB，求CO的长；
(3)若动点P，Q分别从A，B两点同时出发，向右运动，点P的速度为2单位长度/s，点Q的速度为1单位长度/s.设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP－OQ＝4单位长度．
解：(1)因为|a＋8|＋(b－4)2＝0，
所以|a＋8|＝0，b－4＝0.
所以a＝－8，b＝4.
所以OA＝8，OB＝4.
(2)设C点所表示的数为x，
①当点C在线段OA上时，
因为AC＝CO＋CB，
所以8＋x＝－x＋4－x，解得x＝－.
②点C在线段OB上时，
因为AC＝CO＋CB，
所以8＋x＝x＋4－x，解得x＝－4(不符合题意，舍去).
所以CO的长是.
(3)t(s)后，点P所到的点表示的数为－8＋2t，点Q所到的点表示的数为4＋t.
当t＝(8＋4)÷(2－1)＝12(s)时，点P与点Q重合．
当0＜t＜4时(P在O的左侧)，
OP＝0－(－8＋2t)＝8－2t，OQ＝4＋t，
因为2OP－OQ＝4，
所以2(8－2t)－(4＋t)＝4，解得t＝1.6.
当4≤t≤12时(P在O的右侧)，
OP＝－8＋2t－0＝2t－8，OQ＝4＋t，
因为2OP－OQ＝4，
所以2(2t－8)－(4＋t)＝4，解得t＝8.
综上所述，t的值为1.6或8时，2OP－OQ＝4单位长度．
5．已知∠AOB＝90°，∠COD＝80°，OE是∠AOC的平分线．
(1)如图1，当∠AOD＝∠AOB时，求∠DOE的度数；
(2)如图2，若OD在∠AOB内部运动，且OF是∠AOD的平分线时，求∠AOE－∠DOF的值；
(3)在(1)的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转．若射线OP，OQ同时开始旋转t秒(0＜t＜23.5)后得到∠COP＝∠AOQ，求t的值．
解：(1)因为∠AOD＝∠AOB＝30°，
所以∠AOC＝∠AOD＋∠COD＝30°＋80°＝110°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠COE＝∠AOC＝55°.
所以∠DOE＝∠AOE－∠AOD＝55°－30°＝25°.
(2)因为OF平分∠AOD，
所以∠AOF＝∠DOF＝∠AOD.
因为OE平分∠AOC，所以∠AOE＝∠AOC，
所以∠AOE－∠DOF＝∠AOC－∠AOD＝(∠AOC－∠AOD)＝∠COD.
又因为∠COD＝80°，
所以∠AOE－∠DOF＝×80°＝40°.
(3)分三种情况讨论：
①当射线OP，OQ在∠AOC内部时，则0≤t≤5，
由题意，得∠POE＝(10t)°，∠DOQ＝(6t)°，
所以∠COP＝∠COE－∠POE＝(55－10t)°，∠AOQ＝∠AOD－∠DOQ＝(30－6t)°.
因为∠COP＝∠AOQ，
所以55－10t＝(30－6t)，解得t＝(舍去).
②当射线OP在∠AOC内部，射线OQ在∠AOC外部时，则5＜t≤5.5，
所以∠COP＝∠COE－∠POE＝(55－10t)°，∠AOQ＝∠DOQ－∠AOD＝(6t－30)°.
由题意，得55－10t＝(6t－30)，解得t＝.
③当射线OP在∠AOC外部时，则5.5＜t＜23.5，
所以∠COP＝∠POE－∠COE＝(10t－55)°，∠AOQ＝∠DOQ－∠AOD＝(6t－30)°，
由题意，得10t－55＝(6t－30)，解得t＝.
综上所述，t的值为或.