2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.3用公式法求解一元二次方程同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》
同步优生辅导训练（附答案）
1．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（　　）
A．ax2﹣x+2＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣m＝0
D．x2﹣mx﹣1＝0
2．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2
B．m≤﹣2
C．m≥﹣2且m≠﹣1
D．m≤﹣2且m≠﹣1
3．一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
4．若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为（　　）
A．0
B．4
C．0或4
D．0或﹣4
5．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，实数a、b、c满足4a﹣2b+c＝0，则下列说法正确的是（　　）
A．方程有两个实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．方程没有实数根
D．方程的根的情况无法确定
6．在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．1或2个
7．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①②
B．①②④
C．①②③④
D．①②③
8．等腰三角形的一边长是4，方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根是三角形的两边长，则m为（　　）
A．7
B．8
C．4
D．7或8
9．如果关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是
　
　．
10．关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个相同的实数根，则常数k的值等于
　
　．
11．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
12．方程7x2﹣6x﹣5＝0的解为
　
　．
13．关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为　
　．
14．关于x的方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值都等于n，则n＝　
　．
15．关于x的一元二次方程（a+1）x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则代数式8a﹣2b2+6的值是　
　．
16．已知关于x的一元二次方程kx2+x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围　
　．
17．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为　
　．
18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为　
　．
19．解方程
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）2x（x﹣3）＝x﹣4．
20．关于x的一元二次方程mx2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2x＝m（m为常数）．
（Ⅰ）当m＝5时，求这个方程的解；
（Ⅱ）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？
22．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．
参考答案
1．解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0且m+1≠0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1，
故选：C．
3．解：∵一元二次方程2019x2﹣2020x+2021＝0中，
a＝2019，b＝﹣2020，c＝2021，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2020）2﹣4×2019×2021＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
4．解：∵mx2+2mx+4＝0是一元二次方程，
∴m≠0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝4m2﹣16m＝0，
∴m＝0或m＝4，
∴m＝4，
故选：B．
5．解：∵4a﹣2b+c＝0，
∴b＝2a+c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝（2a﹣c）2≥0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，
故选：A．
6．解：∵直线y＝﹣x+m不经过第一象限，
∴m≤0，
当m＝0时，方程mx2+x+1＝0是一次方程，有一个根，
当m＜0时，
∵关于x的方程mx2+x+1＝0，
∴Δ＝12﹣4m＞0，
∴关于x的方程mx2+x+1＝0有两个不相等的实数根，
故选：D．
7．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4a≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4a＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
8．解：∵一个等腰三角形的一边长为4，另两边长是方程x2﹣6x+m+1＝0的两个根，
①当腰长为4时，把x＝4代入原方程得
16﹣24+m+1＝0，
∴m＝7，
∴原方程变为：x2﹣6x+8＝0，
设方程的另一个根为a，
则4+a＝6，
∴a＝2，
∴能构成三角形；
②当底边为4时，那么x的方程x2﹣6x+m+1＝0的两根是相等的，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（m+1）＝0，
∴m＝8，
∴方程变为x2﹣6x+9＝0，
∴方程的两根相等为x1＝x2＝3，
∴能构成三角形．
综上，m的值是7或8，
故选：D．
9．解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，
∴，
解得：m≤0且m≠﹣1．
故答案为：m≤0且m≠﹣1．
10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个相同的实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（k+2）＝0，
∴36﹣4k﹣8＝0，
解得：k＝7，
故答案为：7．
11．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
12．解：∵a＝7，b＝﹣6，c＝﹣5，
∵△＝36﹣4×7×（﹣5）＝176＞0，
∴x＝＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
13．解：方程ax2＝4x﹣b化为ax2，﹣4x+b＝0，
∵关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，
∴Δ＝16﹣4ab≥0，
∴ab≤4，
∵a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，
∴菱形ABCD面积＝ab≤2，
∴菱形ABCD面积的最大值为2，
故答案为2．
14．解：∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4c＝0，
∴c＝，
∴原方程可表示为：x2+bx+＝0，
∵x取m和m+2时，代数式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm+＝（m+2）2+b（m+2）+，
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x+，
当x＝m时，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）m+＝m2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案为：1．
15．解：根据题意得a+1≠0且Δ＝b2﹣4×（a+1）＝0，即b2﹣4a﹣4＝0，
∴b2﹣4a＝4，
所以原式＝﹣2（b2﹣4a）+6＝﹣2×4+6＝﹣2，
故答案为﹣2．
16．解：∵关于x的一元二次方程kx2+x﹣1＝0有两个的实数根，
∴Δ＝（）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0，1﹣k≥0，
解得：﹣≤k≤1且k≠0，
故答案为：﹣≤k≤1且k≠0．
17．解：由题意得：x2+3x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣4，
可得m＝﹣4，
方程为x2﹣3x﹣4＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
故答案为：x1＝4，x2＝﹣1．
18．解：分为两种情况：
①当x＞﹣x，即x＞0时，x2﹣2＝x，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
x＝﹣1舍去；
②当﹣x＞x，即x＜0时，x2﹣2＝﹣x，
解得：x1＝﹣2，x2＝1，
x＝1舍去；
所以方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为2或﹣2，
故答案为：2或﹣2．
19．解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝1，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）整理，得：2x2﹣7x+4＝0，
a＝2，b＝﹣7，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×4＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
x＝＝＝，
∴x1＝，x2＝．
20．解：（1）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4m×2≥0，
解得m≤且m≠0；
（2）∵m≤且m≠0，m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程化为x2﹣3x+2＝0，
即（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
21．解：（Ⅰ）当m＝5时，方程为x2+2x＝5，
x2+2x+1﹣1＝5，
（x+1）2＝6，
解得，x1＝，x2＝﹣；
（Ⅱ）∵b2﹣4ac＝4+4m，
∴4+4m＝0时，方程有两个相等的实数根，
解得：m＝﹣1，
即m＝﹣1时，方程有两个相等的实数根．
∴4m+4＜0
解得：m＜﹣1，
即m＜﹣1时，方程没有实数根．
22．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，
∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，
∵a2+4≥4，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根分别为α和β，
由根与系数的关系得：，
解得：a＜0．