2021-2022学年北师大版九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系同步优生辅导训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.5一元二次方程的根与系数的关系》
同步优生辅导训练（附答案）
1．下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（　　）
A．ax2﹣x+2＝0
B．x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣m＝0
D．x2﹣mx﹣1＝0
2．已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥﹣2
B．m≤﹣2
C．m≥﹣2且m≠﹣1
D．m≤﹣2且m≠﹣1
3．已知关于x的方程2x2+x+a＝0有一个根为1，则另一个根是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0
B．x2+2x﹣20＝0
C．x2﹣2x﹣20＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
5．已知关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，则原方程的另一个解是（　　）
A．x2＝0或7
B．x2＝3或4
C．x2＝3或7
D．x2＝4或7
6．如果方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α2+β﹣2αβ的值为（　　）
A．7
B．6
C．﹣2
D．0
7．已知方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2021
D．﹣2021
8．已知α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，则（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）的值为（　　）
A．4
B．9
C．12
D．15
9．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2m，则m的值是
　
　．
10．关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，若x1＝n，且mn2﹣4n+m＝6，则x12+x22的值为
　
　．
11．若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为
　
　．
12．在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程
　
　．
13．关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为
　
　．
14．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且＝1，则m＝　
　．
15．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　
　．
16．设一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x13x2﹣3x12x2＝　
　．
17．已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1?x2＜0．
（1）求m的值．
（2）不解方程，求3x1﹣x24．
18．已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．
19．已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．
（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．
参考答案
1．解：A、ax2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8a，只有a≤时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
B、x2﹣2x+1＝0，Δ＝4﹣4＜0，所以原方程没有实数解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣x﹣m＝0，Δ＝1+4m，只有m≥﹣时，△≥0，所以原方程不一定有实数解，故此选项不符合题意；
D、x2﹣mx﹣1＝0，Δ＝m2+4＞0，所以原方程一定有实数解，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4（m+1）×（﹣1）≥0且m+1≠0，
解得m≥﹣2且m≠﹣1，
故选：C．
3．解：设关于x的方程2x2+x+a＝0的另一个根为x＝t，
∴1+t＝﹣，
解得，t＝﹣；
故选：D．
4．解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．
故选：B．
5．解：∵关于x的方程x2﹣7x+6a＝0的一个解是x1＝2a，
∴4a2﹣14a+6a＝0，
解得a＝0或a＝2，
∴当a＝0时，方程为x2﹣7x＝0，
∵x1＝0，
∴x2＝7；
当a＝2时，x2﹣7x+12＝0，
∵x1＝4，
∴x2＝7﹣4＝3，
故选：C．
6．解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的两个根为α，β，
∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，
∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，
故选：A．
7．解：方法一：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝2021，x12﹣2021x1+1＝0，x22﹣2021x2+1＝0，
∵x2≠0，
∴x2﹣2021+＝0，
∴﹣＝x2﹣2021，
∴﹣，
∴x12﹣＝2021x1﹣1+2021x2﹣20212
＝2021（x1+x2）﹣1﹣20212
＝20212﹣1﹣20212
＝﹣1．
方法二：∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1?x2＝1，x12﹣2021x1+1＝0，
∴x12﹣2021x1＝﹣1，
∴x12﹣＝x12﹣
＝x12﹣2021x1
＝﹣1．
故选：B．
8．解：∵α，β是方程x2+2017x+1＝0的两个根，
∴α2+2017α+1＝0，β2+2017β+1＝0，α+β＝﹣2017，αβ＝1，
∴（1+2020α+α2）（1+2020β+β2）
＝（1+2017α+α2+3α）（1+2017β+β2+3β）
＝9αβ
＝9，
故选：B．
9．解：由已知得：m≠0且Δ＝[﹣2（m+2）]2﹣4m2＝16m+16＞0，
则m的范围为m≠0且m＞﹣1，
∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
∴x1+x2＝，
∵x1+x2＝2m，
∴＝2m，
∵m≠0，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得m＝2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m＝2，
故答案为2．
10．解：∵关于x的方程mx2﹣4x﹣5＝0的两个实数根分别为x1和x2，且x1＝n，
∴mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，
∵mn2﹣4n+m＝6，
∴5+m＝6，
解得m＝1，
则方程为x2﹣4x﹣5＝0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣5，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝42﹣2×（﹣5）
＝16+10
＝26，
故答案为：26．
11．解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，
∴m2+3m﹣1＝0，
∴3m﹣1＝﹣m2，
∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴m+n＝﹣3，
∴＝＝＝3，
故答案为3．
12．解：∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1?x2＝1×2＝2；
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
13．解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
14．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
15．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
16．解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，
∴x12﹣3x1＝1，x1x2＝﹣1，
∴x13x2﹣3x12x2＝x1x2?（x12﹣3x1）＝（﹣1）×1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
17．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，
∴m2+4m＝5，
解得m1＝1，m2＝﹣5，
如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，
当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1?x2＜0，
∴m＝1；
（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，＝1﹣x1，＝1﹣x2，
∴+＝2﹣（x1+x2）＝3，
∴3x1﹣x24
＝3x1﹣（1﹣x2）2
＝3x1﹣1+2x2﹣x22
＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+）
＝2（x1+x2）﹣（+）
＝﹣2﹣3
＝﹣5．
18．解：（1）在方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0中，
∵Δ＝（a﹣2）2﹣4×1×（﹣a）＝a2+4，
∵a2+4≥4，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个根分别为α和β，
由根与系数的关系得：，
解得：a＜0．
19．解：（1）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴方程有两个不等的实数根；
（2）∵a＝﹣1，b＝2a﹣2，c＝﹣a2+2a，
∴Δ＝（2a﹣2）2﹣4×（﹣1）（﹣a2+2a）＝4＞0，
∴x＝，
∴x1＝a，x2＝a﹣2，
∵方程只有一个实数根小于1，a﹣2＜a，
∴a﹣2＜1，且a≥1，
∴1≤a＜3．
20．（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+4）]2﹣4（k2+4k+3）
＝4＞0，
∴不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0，
（x﹣k﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝k+1＞0，x2＝k+3＞0，
∴Rt△ABC两直角边的长为k+1和k+3，斜边BC的长为10，
∴（k+1）2+（k+3）2＝102，
解得k1＝﹣9（舍去），k2＝5，
∴k的值为5．