2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.3正方形的性质与判定能力达标专题突破训练（Word版，附答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．下列说法中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（　　）A．3
B．
C．3
D．6
3．有以下性质：①对角线相等；②每一条对角线平分一组对角；③对角线互相平分；④对角线互相垂直．其中正方形和菱形都具有，而矩形不具有的是（　　）
A．①②
B．③④
C．②③
D．②④
4．如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．给出以下4个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③EF最短长度为；④若∠BAP＝30°时，则EF的长度为2．其中结论正确的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①③④
5．在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上的一动点，E为AD中点，PE交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F，则下列结论：①△APE≌△DQE；②PQ＝EF；③当P为AB中点时，CF＝；④若H为QC的中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为，其中正确的是（　　）
A．①②
B．①②④
C．②③④
D．①②③
6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（　　）
A．3
B．4
C．
D．
7．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，2），B（0，4），C（2，2），则正方形ABCD的顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣2，4）
B．（2，4）
C．（0，0）
D．（0，﹣2）
8．如图，正方形ABCD的对角线上一动点P，作PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，连接BP，BN，若AB＝3，BP＝，则BN的长为（　　）
A．
B．或
C．4
D．5
9．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　
　．
10．如图，正方形AFCE中，D是边CE上一点，B是CF延长线上一点，且AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24cm2，则AC长是　
　cm．
11．如图正方形ABCD，∠DAF＝25°，AF交对角线BD于E，交CD于F，则∠BEC＝　
　度．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1、l2、l3上，l1与l2之的距离是2，l2与l3之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为　
　．
13．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是　
　．
14．如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F两点，AE＝4，CF＝3，则EF的值为　
　．
15．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．
16．如图，正方形ABCD和正方形AEFG有公共点A，点B在线段DG上．
（1）判断DG与BE的位置关系，并说明理由：
（2）若正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，求BE的长．
17．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．
（1）求（AF+1）（CE+1）的值；
（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．
18．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求证：DE＝CE．
19．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
20．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）若PD＝DE，求证：BP＝BC．
参考答案
1．解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，选项说法正确；
B、对角线互相垂直的矩形是正方形，选项说法正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项说法正确；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，选项说法错误；
故选：D．
2．解：连接DB，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，
∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，
∴DB＝＝＝6，
∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，
∴MN是△DQB的中位线，
∴MN＝DB＝3，
故选：A．
3．解：
正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
菱形的性质：
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
由此可知正方形和菱形都具有，而矩形不具有的是：②每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直，
故选：D．
4．解：
①如图，连接PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP＝PC，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF，故①正确；
②延长AP交BC于点G，
由①可得∠PCE＝∠PFE＝∠BAP，
∵PE∥AB，
∴∠EPG＝∠BAP，
∴∠EPG＝∠PFE，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPG+∠PEF＝∠PEG+∠PFE＝90°，
∴AP⊥EF，故②正确；
③当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，
由①可知EF＝AP，
∴EF的最短长度为，故③正确；
④当点P在点B或点D位置时，AP＝AB＝2，
∴EF＝AP≤2，
∴当∠BAP＝30°时，AP＜2，
即EF的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为①②③，
故选：A．
5．解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝90°，
∵∠A＝∠EDQ，∠AEP＝∠QED，AE＝ED，
∴△AEP≌△DEQ，故①正确，
②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ＝∠EMF＝90°，
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF＝90°，
∴∠PEN+∠NEF＝90°，∵∠NPE+∠NEP＝90°，
∴∠NPE＝∠NEF，
∵PG＝EM，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF＝PQ，故②正确，
③连接QF．则QF＝PF，PB2+BF2＝QC2+CF2，设CF＝x，
则（2+x）2+12＝32+x2，
∴x＝1，故③错误，
④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B时，QC的中点H与D重合，
故EH扫过的面积为△ESD的面积＝，故④正确．
故选：B．
6．解：∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF＝18﹣5＝13．
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝DE，
∴EF＝CF＝DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝（BC﹣CE）＝（12﹣5）＝．
故选：D．
7．解：结合正方形对边平行且相等的性质，
A（﹣2，2）向右平移2个单位、向上平移2个单位可得到B（0，4），
同理：C（2，2）向左平移2个单位、向下平移2个单位可得到D，
∴D的坐标为（0，0），
故选：C．
8．解：延长NP交AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°，AB∥CD，
∵PN⊥CD，
∴PN⊥AB，
∴∠HAP＝∠HPA＝45°，
∴AH＝PH，设AH＝PH＝x，则BH＝3﹣x，
在Rt△PBH中，∵PB2＝PH2+BH2，
∴x2+（3﹣x）2＝（）2，
∴x＝1或2，
当x＝1时，BH＝CN＝2，在Rt△BCN中，BN＝＝＝，
当x＝2时，BH＝CN＝1，在Rt△BCN中，BN＝＝，＝．
综上所述，BN的长为或．
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
10．解：∵四边形AFCE是正方形，
∴AF＝AE，∠E＝∠AFC＝∠AFB＝90°，
∵在Rt△AED和Rt△AFB中
∴Rt△AED≌Rt△AFB（HL），
∴S△AED＝S△AFB，
∵四边形ABCD的面积是24cm2，
∴正方形AFCE的面积是24cm2，
∴AE＝EC＝＝2（cm），
根据勾股定理得：AC＝＝4，
故答案为：4．
11．解：延长CE至G，连接AC交BD于点O，
在正方形ABCD中，因为BD为AC的垂直平分线，且E为BD上一点，
EA＝EC，∴∠EAO＝∠ECO，
又∵∠DAO＝∠DCO，∴∠DCE＝∠DAF
∵∠DCB＝90°，∴∠ECB＝90°﹣25°＝65°．
∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣45°﹣65°＝70°．
故答案为70°．
12．解：过点A作AE⊥l1，过点C作CF⊥l2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵l1∥l2∥l3，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BF＝AE，
∴BF2+CF2＝BC2，
∴BC2＝42+22＝20．
故答案为：20．
13．解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
14．解：∵正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
在△BOE和△COF中，∠OCB＝∠OBE＝45°，OB＝OC，∠EOB＝∠FOC，
∴△BOE和COF全等（ASA）∴BF＝AE＝4，
同理BE＝CF＝3
在Rt△BEF中，BF＝4，BE＝3，
∴EF＝5．
故答案为：5．
15．证明：如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
16．解：（1）DG⊥BE，
理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝∠GAE，AE＝AG，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠DAG＝∠BAE，
在△DAG和△BAE中
∴△DAG≌△BAE（SAS）．
∴DG＝BE，∠ADG＝∠ABE＝45°，
∴∠ABD+∠ABE＝90°，即∠GBE＝90°．
∴DG⊥BE；
（2）连接GE，
∵正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为2，
∴BD＝2，GE＝4，
设BE＝x，则BG＝x﹣2，
在Rt△BGE中，利用勾股定理可得
x2+（x﹣2）2＝42，
∴x＝+
∴BE的长为+．
17．解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
∵AF+CE＝EF，
∴EF＝x+y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
∴xy+x+y＝1，
∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；
（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：
如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．
由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，
∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴点M、C、E在同一条直线上．
∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，
∴EF＝EM．
在△BEF和△BEM中，，
∴△BEF≌△BEM（SSS），
∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，
又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°．
18．解：（1）∵在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵∠BEC+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠DFC＝90°，
∴∠BGF＝90°；
（2）连接EF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBG＝∠CBG，
∵BG＝BG，∠BGD＝∠BGF＝90°，
∴△BDG≌△BFG（ASA），
∴DG＝FG，
∴BG垂直平分DF，
∴DE＝FE，
∵CE2+CF2＝EF2，CE＝CF，
∴，
∴DE＝CE．
19．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE．
（2）证明：四边形ABCD为正方形，
∴∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴∠E+∠DFE＝90°，
∵PA＝PE，
∴∠PAD＝∠E，
由（1）知△ADP≌△CDP，
∴∠PAD＝∠PCD，
∴∠PCD＝∠E，
∵∠PFC＝∠DFE，
∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，
∴∠CPE＝90°，
∴∠BPC+∠DPE＝90°，
∵PD＝DE，
∴∠DPE＝∠E，
∴∠DPE＝∠PCD，
∵∠BCP+∠PCD＝90°，
∴∠BPC＝∠BCP，
∴BP＝BC．