2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理在几何图形中的应用 专题练习题(word版含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章
勾股定理在几何图形中的应用
专题练习题
类型1　应用勾股定理求线段的长度及面积
1．如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于（
）
A．4.83
B．4
C．2＋2
D．3＋2
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B点作BF⊥CE于点F，则BF的长为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，长方形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则长方形的一边AB的长度为（
）
A．1
B．
C．
D．2
4．如图，△ABO是边长为4的等边三角形，则A点的坐标是___________．
5．已知三角形三边长分别为、、(a＞0，b＞0)，请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为___________(用含a、b的代数式表示).
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF＝2AE.
(2)若CD＝，求AD的长．
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
(1)求CD的长．
(2)求四边形ABCD的面积．
类型2　应用勾股定理解折叠问题
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的面积为_____________，DE的长为___________．
9．如图，有一张长方形纸条ABCD，AB＝5
cm，BC＝2
cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1
cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为___________
cm.
10．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB.运用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，DE，则CE的长为___________．
11．如图，正方形ABCD边长为8，沿EF折叠后，点C落在AB边上的中点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，则折痕EF＝___________，四边形PEFH的面积为___________．
类型3　勾股定理应用中的多解问题
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为___________．
13．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF.
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长．
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
类型4　应用勾股定理证明线段的平方关系式
14．在△ABC中，AB＝AC＝3，点D，E都是直线BC上的点(点D在点E的左侧)，∠BAC＝2∠DAE＝90°.
(1)如图，当点D，E均在线段BC上时，点D关于直线AE的对称点为F.求证：△ABD≌△ACF.
(2)在(1)的条件下，求证：BD2＋CE2＝DE2.
(3)在(1)(2)的条件下，若线段BD＝4时，求CE的长度．
参考答案
2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章
勾股定理在几何图形中的应用
专题练习题
类型1　应用勾股定理求线段的长度及面积
1．如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于（
C
）
A．4.83
B．4
C．2＋2
D．3＋2
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B点作BF⊥CE于点F，则BF的长为（
C
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，长方形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则长方形的一边AB的长度为（
C
）
A．1
B．
C．
D．2
4．如图，△ABO是边长为4的等边三角形，则A点的坐标是(－2，2)．
5．已知三角形三边长分别为、、(a＞0，b＞0)，请借助构造图形并利用勾股定理进行探究，得出此三角形面积为(用含a、b的代数式表示).
【解析】　如图所示，
AB＝＝，
AC＝＝，
BC＝＝，
∴S△ABC＝S矩形DEFC－S△ABE－S△ADC－S△BFC＝20ab－×2a×3b－×b×5a－×3a×4b＝.
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF.
(1)求证：BF＝2AE.
(2)若CD＝，求AD的长．
解：(1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD＝BD.
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∠CBE＋∠ACD＝90°.
∴∠CAD＝∠CBE.
在△ADC和△BDF中，
∴△ADC≌△BDF(ASA).
∴BF＝AC.
∵AB＝BC，BE⊥AC，
∴AC＝2AE.
∴BF＝2AE.
(2)∵△ADC≌△BDF，
∴DF＝CD＝.
在Rt△CDF中，CF＝＝＝2.
∵BE⊥AC，AE＝EC，
∴AF＝CF＝2.
∴AD＝AF＋DF＝2＋.
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.(提示：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
(1)求CD的长．
(2)求四边形ABCD的面积．
解：(1)过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠CED＝45°，
∴∠EDH＝45°.
∴∠HED＝∠EDH.
∴EH＝DH.
∵EH2＋DH2＝DE2，DE＝，
∴EH2＝1.
∴EH＝DH＝1.
又∵∠DCE＝30°，∠DHC＝90°，
∴DC＝2.
(2)∵在Rt△DHC中，DH2＋HC2＝DC2，
∴12＋HC2＝22.
∴HC＝.
∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2，
易求得AB＝AE＝2.
∴AC＝2＋1＋＝3＋.
∴S四边形ABCD＝S△BAC＋S△DAC＝×2×(3＋)＋×1×(3＋)＝.
类型2　应用勾股定理解折叠问题
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，则△ACE的面积为__6__，DE的长为．
9．如图，有一张长方形纸条ABCD，AB＝5
cm，BC＝2
cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1
cm.现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上，当点B′恰好落在边CD上时，线段BM的长为
cm.
10．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若点D是斜边AB的中点，则CD＝AB.运用：如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，DE，则CE的长为．
11．如图，正方形ABCD边长为8，沿EF折叠后，点C落在AB边上的中点P处，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，则折痕EF＝4，四边形PEFH的面积为．
类型3　勾股定理应用中的多解问题
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为或．
13．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.
(1)如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF.
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长．
(2)如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
解：(1)①证明：
∵△BAE≌△CAF，
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF.
∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，
∴∠CAD＋∠BAE＝∠CAD＋∠CAF＝45°.
∴∠DAE＝∠DAF.
∵DA＝DA，AE＝AF，
∴△AED≌△AFD(SAS).
②设DE＝x，则CD＝7－x.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°.
∵∠ABE＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°.
∵△AED≌△AFD(SAS)，
∴DE＝DF＝x.
在Rt△DCF中，∵DF2＝CD2＋CF2，CF＝BE＝3，
∴x2＝(7－x)2＋32.∴x＝.
∴DE＝.
(2)①当点D在线段BC上时，连接BE.
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC.
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC(SAS).
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝6.
∴∠EBD＝90°.
∴DE2＝BE2＋BD2＝62＋32＝45.
∴DE＝3.
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE.
图3
同法可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝12，DB＝3，
∴DE2＝EB2＋BD2＝144＋9＝153.
∴DE＝3.
综上所述，DE的值为3或3.
类型4　应用勾股定理证明线段的平方关系式
14．在△ABC中，AB＝AC＝3，点D，E都是直线BC上的点(点D在点E的左侧)，∠BAC＝2∠DAE＝90°.
(1)如图，当点D，E均在线段BC上时，点D关于直线AE的对称点为F.求证：△ABD≌△ACF.
(2)在(1)的条件下，求证：BD2＋CE2＝DE2.
(3)在(1)(2)的条件下，若线段BD＝4时，求CE的长度．
解：(1)证明：∵∠BAC＝2∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝45°.
∵点D关于直线AE的对称点为F，
∴AE垂直平分DF.
∴AD＝AF.
∴∠DAE＝∠FAE＝45°.
∴∠DAF＝∠BAC＝90°.
∴∠BAD＝∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
∴△ABD≌△ACF(SAS).
(2)证明：连接EF.
∵△ABD≌△ACF，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ACF＝45°，BD＝CF.
∴∠ECF＝90°.
又易证△AED≌△AEF，
∴DE＝EF.
在Rt△EFC中，EF2＝FC2＋EC2，
∴DE2＝BD2＋EC2.
(3)∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB＝6.
当点D在BC上时(如图1)，
∵BD＝4，∴CD＝2.
∴DE＝2＋CE.
∵DE2＝BD2＋EC2，
∴(2＋CE)2＝16＋CE2.∴CE＝3.
当点D在CB的延长线上时(如图2)，
∵BD＝4，∴CD＝10.
∴DE＝10－CE.
∵DE2＝BD2＋EC2，
∴(10－CE)2＝16＋CE2.
∴CE＝.
综上所述CE＝3或.