课时分层作业17　均值不等式的应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(十七)　均值不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2　　　　B．a　　　　C．　　　　D．3
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　)
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
3．设x＞0，则y＝的最大值是(　　)
A．3
B．－3
C．3－2
D．－1
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2
000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5
000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
11．若－4A．有最小值1　　　
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
12．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4
D．－2＜m＜2
13．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数分别为________．
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是
________．
15．某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
课时分层作业(十七)　均值不等式的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)
A．2　　　　B．a　　　　C．　　　　D．3
D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝时，即a＝2时取等号．故选D.]
2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　)
A．最大值为0
B．最小值为0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
C　[∵x<0，∴－x＞0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选C.]
3．设x＞0，则y＝的最大值是(　　)
A．3
B．－3
C．3－2
D．－1
C　[∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．故选C.]
4．若x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是(　　)
A．3
B．6
C．9
D．12
C　[x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋4
＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.
当且仅当
即时等号成立，故x＋y的最小值为9.故选C.]
5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A．16
B．25
C．9
D．36
B　[(1＋x)(1＋y)≤
＝＝＝25，
当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，
(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
二、填空题
6．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．
[答案]　1
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72
dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2
dm，左右空白各宽1
dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
56　[设阴影部分的竖边长为x
dm，则宽为
dm，四周空白部分的面积是y
dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2).
当且仅当x＝，
即x＝12
dm时等号成立．]
8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
[6，＋∞)　[∵a＋b＋3＝ab≤，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．]
三、解答题
9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．
[解]　y＝(2x－3)＋＋
＝－＋，
∵当x<时，3－2x>0，
∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2
000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5
000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－
＝130－
≤130－2＝130－112＝18(千元)，
当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
11．若－4A．有最小值1　　　
B．有最大值1
C．有最小值－1
D．有最大值－1
D　[y＝＝，
又∵－40.
故y＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．故选D.]
12．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4
D．－2＜m＜2
D　[∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋
≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，
即8>m2，解得－213．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数分别为________．
4，12　[设＋＝1，a，b∈N
，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋
≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4，12.]
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是
________．
　[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1，∴(x＋y)2≤1.
∴－≤x＋y≤，故x＋y的最大值为，当且仅当x＝y＝时等号成立．]
15．某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．
(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2
000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．
[解]　(1)设每件商品的定价为m元；
依题意，有m≥25×8，
整理，得m2－65m＋1
000≤0，解得25≤m≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元．
(2)设明年的销售量为a万件．
依题意，当x＞25时，ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x，即当x＞25时，a≥＋x＋，
因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2.
所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元．