课时分层作业16　均值不等式-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(十六)　均值不等式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t　
B．s>t
C．s≤t
D．s2．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)
A．ab≤
B．ab≤
C．≥
D．≤
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．＞
B．＋≤1
C．≥2
D．≤
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
三、解答题
9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
11．下列不等式一定成立的是(　　)
A．x＋≥2　　　　　
B．≥
C．≥2
D．2－3x－≥2
12．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．ab＞1
B．ab＜1
C．＜1
D．＞1
13．设p＝，q＝，r＝(b＞a＞0)，则p，q，r的大小关系是________．
14．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
课时分层作业(十六)　均值不等式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)
A．s≥t　
B．s>t
C．s≤t
D．sA　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]
2．下列不等式中正确的是(　　)
A．a＋≥4
B．a2＋b2≥4ab
C．≥
D．x2＋≥2
D　[若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错；取a＝4，b＝16，则＜，故C错；
由均值不等式可知D项正确．]
3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)
A．ab≤
B．ab≤
C．≥
D．≤
D　[由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤，∴≥，故选D.]
4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＞b＞＞
B．a＞＞＞b
C．a＞＞b＞
D.a＞＞＞b
B　[a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]
5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．＞
B．＋≤1
C．≥2
D．≤
D　[由≤2得ab≤4，∴≥，故A错；
B中，＋＝＝≥1，故B错；
由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；
由≥得a2＋b2≥2×＝8，
∴≤，D正确．]
二、填空题
6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤　[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝.]
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]
8．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
36　[y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，∴＝3，即a＝36.]
三、解答题
9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.
[证明]　由题意a，b为正实数，则＋＝＋＝1＋＋＋1
＝2＋＋≥2＋2＝4.
当且仅当a＝b时“＝”成立．
10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.
[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1
＝＋＋－3.
∵a，b，c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；
＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”).
从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号).
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
11．下列不等式一定成立的是(　　)
A．x＋≥2　　　　　
B．≥
C．≥2
D．2－3x－≥2
B　[A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．
B项中，＝≥，∴B正确．
而对于C，当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．
D项中取x＝1，2－3x－<2，∴D错误．]
12．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)
A．ab＞1
B．ab＜1
C．＜1
D．＞1
BD　[因为ab≤，a≠b，所以ab＜1，
又1＝＝＜，
所以＞1，所以ab＜1＜.]
13．设p＝，q＝，r＝(b＞a＞0)，则p，q，r的大小关系是________．
r＞q＞p　[∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab，
∴2(a2＋b2)＞(a＋b)2，
∴＞，
∴＞.
又∵＞，
∴＞＞，即r＞q＞p.]
14．设a，b为非零实数，给出不等式：
①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.
其中恒成立的不等式是________．
①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；
②＝
＝≥
＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]
15．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.
[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，
∴a＋b＋c＞＋＋.