课时分层作业25 零点的存在性及其近似值的求法-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 课时分层作业25 零点的存在性及其近似值的求法-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 171.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-18 11:38:22 | ||
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文档简介
课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3
B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1
D．f(x)＝2x－1
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＜－1
B．a＞1
C．－1＜a＜1
D．0≤a＜1
4．函数y＝
f(x)的图像在区间[1，4]上是连续不断的曲线，且
f(1)·
f(4)＜0，则函数y＝
f(x)( )
A．在(1，4)内有且仅有一个零点
B．在(1，4)内至少有一个零点
C．在(1，4)内至多有一个零点
D．在(1，4)内不一定有零点
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
二、填空题
6．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
7．函数f(x)＝2－(x∈[－1，1])的零点个数为
________．
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
三、解答题
9．2019年8月8日05：28中国台湾发生了6.7级地震，地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
10．甲从A地以每小时60
km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)
11．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
12．(多选题)函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是( )
A．
B．
C．
D．
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
14．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3
B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1
D．f(x)＝2x－1
C [因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，故选C.]
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A [使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＜－1
B．a＞1
C．－1＜a＜1
D．0≤a＜1
B [由题意知f(0)·f(1)＜0，即
(－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1.故选B.]
4．函数y＝
f(x)的图像在区间[1，4]上是连续不断的曲线，且
f(1)·
f(4)＜0，则函数y＝
f(x)( )
A．在(1，4)内有且仅有一个零点
B．在(1，4)内至少有一个零点
C．在(1，4)内至多有一个零点
D．在(1，4)内不一定有零点
B [可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝
f(x)在[1，4]内至少有一个零点．故选B.]
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
D [由参考数据知，f(1.406
25)≈－0.054，f(1.437
5)≈0.162，即f(1.406
25)·f(1.437
5)<0，且1.437
5－1.406
25＝0.031
25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43
75，故选D.]
二、填空题
6．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5) f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25).]
7．函数f(x)＝2－(x∈[－1，1])的零点个数为
________．
1 [令2－＝0，解得x＝0，∴f(x)在[－1，1]上仅有1个零点．]
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4 [将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]
三、解答题
9．2019年8月8日05：28中国台湾发生了6.7级地震，地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
[解] 如图，
可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再从BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再从BD段中点E检查，……，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，将故障范图缩小到50～100
m之间，即可迅速找到故障所在．
10．甲从A地以每小时60
km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)
[解] 设乙经过t(h)可追上甲，
则60＝20t2，整理得4t2－12t－3＝0，
设f(t)＝4t2－12t－3，
∵f(3)＝－3＜0，f(4)＝13＞0，
∴函数f(t)＝4t2－12t－3在(3，4)上必有一零点，即方程4t2－12t－3＝0在(3，4)上必有一实数根．
设该实数根为t0，则t0∈(3，4)，用二分法可知：t0∈(3，3.5)，t0∈(3，3.25)，t0∈(3.125，3.25)，t0∈(3.187
5，3.25)，t0∈(3.218
75，3.25)，t0∈(3.218
75，3.234
375).由于区间的两个端点值精确到0.1时都是3.2，故t0＝3.2，即乙需3.2小时可追上甲．
11．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
D [函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，
如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；
函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]
12．(多选题)函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是( )
A．
B．
C．
D．
AD [由于f(0)＜0，f(－2)＜0，f(4)＞0，
f(1)＜0，f＞0，f＜0，
所以零点在区间，内．]
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
(0，1) [函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，可转化为函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个交点．作出两函数的图像如图所示，
由图知，m的取值范围是(0，1).]
14．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
2 [(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图像如图所示，
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1有两解．]
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
[证明] (1)∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c，
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
(2)在[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3
B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1
D．f(x)＝2x－1
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＜－1
B．a＞1
C．－1＜a＜1
D．0≤a＜1
4．函数y＝
f(x)的图像在区间[1，4]上是连续不断的曲线，且
f(1)·
f(4)＜0，则函数y＝
f(x)( )
A．在(1，4)内有且仅有一个零点
B．在(1，4)内至少有一个零点
C．在(1，4)内至多有一个零点
D．在(1，4)内不一定有零点
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
二、填空题
6．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
7．函数f(x)＝2－(x∈[－1，1])的零点个数为
________．
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
三、解答题
9．2019年8月8日05：28中国台湾发生了6.7级地震，地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
10．甲从A地以每小时60
km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)
11．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
12．(多选题)函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是( )
A．
B．
C．
D．
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
14．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
课时分层作业(二十五) 零点的存在性及其近似值的求法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3
B．f(x)＝x2＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1
D．f(x)＝2x－1
C [因为f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)＜0，故选C.]
2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是( )
A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点
B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点
D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
A [使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．]
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )
A．a＜－1
B．a＞1
C．－1＜a＜1
D．0≤a＜1
B [由题意知f(0)·f(1)＜0，即
(－1)·(2a－2)＜0，∴a＞1.故选B.]
4．函数y＝
f(x)的图像在区间[1，4]上是连续不断的曲线，且
f(1)·
f(4)＜0，则函数y＝
f(x)( )
A．在(1，4)内有且仅有一个零点
B．在(1，4)内至少有一个零点
C．在(1，4)内至多有一个零点
D．在(1，4)内不一定有零点
B [可作出y＝f(x)图像的草图(图略)，知y＝
f(x)在[1，4]内至少有一个零点．故选B.]
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.437
5)≈0.162
f(1.406
25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确度为0.04)为( )
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.437
5
D [由参考数据知，f(1.406
25)≈－0.054，f(1.437
5)≈0.162，即f(1.406
25)·f(1.437
5)<0，且1.437
5－1.406
25＝0.031
25<0.04，所以方程的一个近似解可取为1.43
75，故选D.]
二、填空题
6．(一题两空)用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
(0，0.5) f(0.25) [∵f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f＝f(0.25).]
7．函数f(x)＝2－(x∈[－1，1])的零点个数为
________．
1 [令2－＝0，解得x＝0，∴f(x)在[－1，1]上仅有1个零点．]
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
4 [将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．]
三、解答题
9．2019年8月8日05：28中国台湾发生了6.7级地震，地震发生后，停水断电，交通受阻．已知A地到B地的电话线路发生故障(假设线路只有一处发生故障)，这是一条10
km长的线路，每隔50
m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
[解] 如图，
可首先从中点C开始检查，若AC段正常，则故障在BC段；再从BC段中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；再从BD段中点E检查，……，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，将故障范图缩小到50～100
m之间，即可迅速找到故障所在．
10．甲从A地以每小时60
km的速度向B地匀速行驶，15分钟后，乙从A地出发加速向甲追去，已知乙距A地的路程s(km)与时间t(h)的关系为s＝20t2，求乙多长时间可追上甲．(精确到0.1)
[解] 设乙经过t(h)可追上甲，
则60＝20t2，整理得4t2－12t－3＝0，
设f(t)＝4t2－12t－3，
∵f(3)＝－3＜0，f(4)＝13＞0，
∴函数f(t)＝4t2－12t－3在(3，4)上必有一零点，即方程4t2－12t－3＝0在(3，4)上必有一实数根．
设该实数根为t0，则t0∈(3，4)，用二分法可知：t0∈(3，3.5)，t0∈(3，3.25)，t0∈(3.125，3.25)，t0∈(3.187
5，3.25)，t0∈(3.218
75，3.25)，t0∈(3.218
75，3.234
375).由于区间的两个端点值精确到0.1时都是3.2，故t0＝3.2，即乙需3.2小时可追上甲．
11．若函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)在区间[a，b]上不可能有零点
B．函数f(x)在区间[a，b]上一定有零点
C．若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则必有f(a)·f(b)＜0
D．若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0
D [函数f(x)在区间[a，b]上为单调函数，如果f(a)·f(b)＜0，可知函数在(a，b)上有一个零点，
如果f(a)·f(b)＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，
所以函数f(x)在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；
函数f(x)在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上有零点，则可能f(a)·f(b)＜0，也可能f(a)·f(b)＝0所以C不正确；
若函数f(x)在区间[a，b]上没有零点，则必有f(a)·f(b)＞0，正确；故选D.]
12．(多选题)函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是( )
A．
B．
C．
D．
AD [由于f(0)＜0，f(－2)＜0，f(4)＞0，
f(1)＜0，f＞0，f＜0，
所以零点在区间，内．]
13．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．
(0，1) [函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，可转化为函数y＝f(x)与y＝m的图像有三个交点．作出两函数的图像如图所示，
由图知，m的取值范围是(0，1).]
14．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是________．
2 [(数形结合法)
∵a>0，∴a2＋1>1.y＝|x2－2x|和y＝a2＋1的图像如图所示，
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有2个交点．即方程|x2－2x|＝a2＋1有两解．]
15．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
(1)证明a＞0；
(2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．
[证明] (1)∵f(1)＞0，∴3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，即a＞c，
∵f(0)＞0，∴c＞0，则a＞0.
(2)在[0，1]内选取二等分点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴f(x)在区间和上至少各有一个零点，
又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0，1]内有两个实根．