课时分层作业21　函数的平均变化率-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(二十一)　函数的平均变化率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝(　　)
A．　　　
B．3
C．
D．4
2．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．0
B．1
C．3
D．Δx
3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　　)
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)
A．－3
B．2
C．3
D．－2
5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则(　　)
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
二、填空题
6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
8．(一题两空)函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
三、解答题
9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝(　　)
A．3　　　
B．－3
C．－3－(Δx)2
D．－Δx－3
12.(多选题)下列各选项正确的有(　　)
A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]
13．已知曲线y＝－1上两点A，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
15．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
课时分层作业(二十一)　函数的平均变化率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝(　　)
A．　　　
B．3
C．
D．4
C　[∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，解得m＝.故选C.]
2．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是(　　)
A．0
B．1
C．3
D．Δx
A　[＝＝0.故选A.]
3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于(　　)
A．6＋Δt
B．12＋Δt＋
C．12＋2Δt
D．12
C　[＝＝12＋2Δt.故选C.]
4．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　)
A．－3
B．2
C．3
D．－2
C　[根据平均变化率的定义，可知
＝＝a＝3，故选C.]
5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则(　　)
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常数函数
A　[①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]
二、填空题
6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．
3－Δx　[＝
＝3－Δx.]
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．
v1＜v2＜v3　[v1＝＝kOA，v2＝＝kAB，v3＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，
∴v1＜v2＜v3．]
8．(一题两空)函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．
6x0＋3Δx　12.3　[函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
eq
\f([3（x0＋Δx）2＋2]－（3x＋2）,Δx)
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]
三、解答题
9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．
[解]　设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，
＝＝－.
∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，
∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．
10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5].
(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[解]　(1)函数f(x)在[3，5]上是增函数．
证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
所以＝＝.
因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，
所以＝＞0，
所以f(x)＝在[3，5]上是增函数．
(2)f(x)min＝f(3)＝＝，
f(x)max＝f(5)＝＝.
11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝(　　)
A．3　　　
B．－3
C．－3－(Δx)2
D．－Δx－3
D　[∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，
∴＝＝－3－Δx，故选D.]
12.(多选题)下列各选项正确的有(　　)
A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数y＝－在定义域上不是增函数
D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]
CD　[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]
13．已知曲线y＝－1上两点A，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
－　[∵Δy＝－
＝－＝＝，
∴＝＝，
即k＝＝－.
∴当Δx＝1时，k＝－＝－.]
14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
　[由函数f(x)的图像知，
f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.]
15．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).
(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.
设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)
·，∴＝＝.
∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，
∴＝＞0，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立?x2＋2x＋a＞0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，
故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).