课时分层作业20　单调性的定义与证明-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(二十)　单调性的定义与证明
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　
B．a≤
C．a>
D．a<
3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．－
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3　　　B．b≥3　　　　C．b≤3　　　D．b≠3
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
二、填空题
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；
③y＝；④y＝[f(x)]2.
三、解答题
9．判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．
10．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值．
11．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)12．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
13．(一题两空)函数f(x)＝－＋1的单调增区间是________；单调减区间是________．
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
15．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
课时分层作业(二十)　单调性的定义与证明
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)
A.函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1，4]上单调递增
C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减
D．函数在区间[－5，5]上没有单调性
C　[由题图可知，f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有(　　)
A．a≥　　
B．a≤
C．a>
D．a<
D　[函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.]
3．函数y＝在[2，3]上的最小值为(　　)
A．2　　　　B．　　　　C．　　　　D．－
B　[∵函数y＝在[2，3]上单调递减，∴当x＝3时，函数的最小值为＝.故选B.]
4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)
A．b＝3　　　B．b≥3　　　　C．b≤3　　　D．b≠3
C　[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]
5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是(　　)
A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]
B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]
D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)
D　[因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，
又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b).故选D.]
二、填空题
6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________．
4　[因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]
7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
[－1，＋∞)　[函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；
③y＝；④y＝[f(x)]2.
②③　[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.]
三、解答题
9．判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．
[解]　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝
eq
\f(1,x－1)－
eq
\f(1,x－1)＝
eq
\f(x－x,（x－1）（x－1）)
＝
eq
\f(（x2＋x1）（x2－x1）,（x－1）（x－1）).
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
又x1，x2∈(1，＋∞)，
∴x2＋x1＞0，x－1＞0，x－1＞0.
∴
eq
\f(（x2＋x1）（x2－x1）,（x－1）（x－1）)＞0，即f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
10．求函数f(x)＝x＋在[1，4]上的最值．
[解]　设1≤x1∵1≤x10，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，2)上是减函数．
同理f(x)在[2，4]上是增函数．
∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.
11．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)A　[对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)12．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，3)
B．(0，3]
C．(0，2)
D．(0，2]
D　[由题意知实数a满足解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0，2].]
13．(一题两空)函数f(x)＝－＋1的单调增区间是________；单调减区间是________．
(－∞，0)和(0，1]　[1，＋∞)　[f(x)＝－＋1＝，这是由y＝(u－1)2与u＝复合而成的函数，前一个函数的单调区间由u＝1分开，后一个函数的单调区间由x＝0分开，所以复合函数分成三段区间，其相应的区间和单调性如下表所示：
u＝
y＝(u－1)2
y＝
x∈(－∞，0)减
u∈(－∞，0)减
x∈(－∞，0)增
x∈(0，1]减
u∈(0，1]减
x∈(0，1]增
x∈[1，＋∞)减
u∈[1，＋∞)增
x∈[1，＋∞)减
所以，函数的单调增区间是(－∞，0)和(0，1]，减区间是[1，＋∞).]
14．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．
根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．
解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4，6).
所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]
15．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0).
从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以
解得或(不合题意，舍去).
所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.
(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的开口向上对称轴为直线x＝－.
若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.