课时分层作业24　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）

课时分层作业(二十四)　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是(　　)
A.2，3　　
B．－2，3
C.6，－1
D．－6，1
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)
A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　
D．7
3．不等式－x2≤x－6的解集是(　　)
A．(－∞，－3]
B．[－3，2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A.[－4，4]
B．(－4，4)
C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为(　　)
A.－6
B．－2
C．2
D．6
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
7．不等式＞0的解集是________．
8．(一题两空)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
三、解答题
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
11．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2)
B．(－∞，2]
C.(－2，2)
D．(－2，2]
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是(　　)
A.1
B．2
C．3
D．4
13．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．
14．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．
15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n).
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
课时分层作业(二十四)　函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是(　　)
A.2，3　　
B．－2，3
C.6，－1
D．－6，1
C　[令x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.]
2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为(　　)
A.4　　　　B．5　　　　C．6　　　　
D．7
D　[∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．
∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．故选D.]
3．不等式－x2≤x－6的解集是(　　)
A．(－∞，－3]
B．[－3，2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D　[原不等式可化为x2＋x－6≥0，
∴x≤－3或x≥2.故选D.]
4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A.[－4，4]
B．(－4，4)
C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
A　[由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4.故选A.]
5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为，则ab的值为(　　)
A.－6
B．－2
C．2
D．6
C　[由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和，且a＜0，
由根与系数的关系得
解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.故选C.]
二、填空题
6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
－，－　[依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－和－.]
7．不等式＞0的解集是________．
{x|－2＜x＜－1或x＞2}　[＞0?
＞0?(x－2)·(x＋1)(x＋2)＞0，由数轴标根法，得解集为{x|－2＜x＜－1或x＞2}．]
8．(一题两空)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
3　0　[∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，∴f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.]
三、解答题
9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[解]　令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得或
即或
解得－10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
[解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
∴f(x)＝
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，
根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
则a的取值范围是(－1，1).
11．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，2)
B．(－∞，2]
C.(－2，2)
D．(－2，2]
D　[当a＝2时，－4＜0恒成立．
当a≠2时，∴－2＜a＜2.
综上，得－2＜a≤2.]
12．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是(　　)
A.1
B．2
C．3
D．4
C　[由已知解得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．]
13．若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是________．
＜a≤　[不等式可化为(4－a)x2－4x＋1＜0，①
由原不等式的解集中的整数恰有3个，
得即0＜a＜4.
故由①得＜x＜.又＜＜，
所以解集中的3个整数必为1，2，3，所以3＜≤4，解得＜a≤.]
14．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．
　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，
即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，
即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜.]
15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n).
(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；
(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．
[解]　(1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.
当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；
当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．
(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜，所以x－m＜0，1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.