章末综合测评3 函数-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 章末综合测评3 函数-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第一册检测（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 259.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-18 11:46:20 | ||
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文档简介
章末综合测评(三) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
2．函数f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
3．已知函数f＝x2＋，则f(3)等于( )
A．8
B．9
C．11
D．10
4．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)f(－x)≤0
D．f(x)－f(－x)＞0
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－2，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝－2x＋1
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
11．函数f(x)＝的图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B．f(f(2
019))＝－
C．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．函数g(x)＝f(x)－x2＋4有四个零点
12．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不大于x的最大整数，下列关于函数f(x)的性质，描述正确的是( )
A．f(x)是增函数
B．f(x)在[1，2)上是增函数
C．f(x)的值域为[0，1)
D．f(x)是偶函数
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________．
14．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数值中的较小者，则f(x)的最大值为________．
15．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．
16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0，a，b，c∈R)的两个零点分别为－3和2，则方程f(x)＝0的解集为________；不等式f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R).
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像；
(3)写出函数的值域．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－ax(x＞0)，其中a＞0.
(1)当a＝2时，用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数；
(2)若g(x)＝－－x(x＞0)，G(x)＝g(x)－f(x)，若G(x)＜0恒成立，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一，每年年末加薪1
000元；方案二，每半年加薪300元．
注：每年年末加薪a元，即若原年薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为(m＋a)元，第二年总薪金应为[(m＋a)＋a]元……依次类推．
(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；
(2)设该员工在此私企继续工作x年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由．
注：m＋(m＋a)＋(m＋2a)＋(m＋3a)＋…＋[m＋(x－1)a]＝mx＋a.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为实数．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1，3)，判断函数f(x)在区间[1，2]上的单调性，并说明理由．
章末综合测评(三) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
C [要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.]
2．函数f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
D [函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，所以函数是偶函数，在(0，＋∞)是增函数，故选D.]
3．已知函数f＝x2＋，则f(3)等于( )
A．8
B．9
C．11
D．10
C [∵f＝x2＋＝＋2，
设x－＝t，∴f(t)＝t2＋2，
即f(x)＝x2＋2，
∴f(3)＝32＋2＝11.故选C.]
4．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
B [因为f＝＋4×－1＝＞0，f(0)＝－1＜0，所以f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为.故选B.]
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
D [∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]
6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)f(－x)≤0
D．f(x)－f(－x)＞0
C [∵函数f(x)为奇函数，令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x－1.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，f(x)＝x＋1，此时f(x)＝x＋1的函数值符号不确定，因此排除选项A，B.
∵f(x)f(－x)＝
∴f(x)f(－x)≤0成立，选项C符合题意．]
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－2，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B [由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2，0)时，f(x)8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
B [设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，
则y＝＝＋.
∵x＞0，
∴＋≥2＝20，
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
即每批生产80件，平均每件产品的费用最小．]
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝－2x＋1
BD [由题意可知f(x)是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选BD.]
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
ABD [f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，A正确；其图像关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即D正确．]
11．函数f(x)＝的图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B．f(f(2
019))＝－
C．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．函数g(x)＝f(x)－x2＋4有四个零点
BD [由于函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故A错误；f(f(2
019))＝f＝＝－，故B正确；因为函数f(x)＝为偶函数，所以其图像关于y轴对称，故C错误；y＝＝，作出y＝和y＝x2－4的图像如图所示，可知D正确．
]
12．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不大于x的最大整数，下列关于函数f(x)的性质，描述正确的是( )
A．f(x)是增函数
B．f(x)在[1，2)上是增函数
C．f(x)的值域为[0，1)
D．f(x)是偶函数
BC [由于f(1)＝f(2)＝0，故A错误；当x∈[1，2)时，[x]＝1，∴f(x)＝x－1，为增函数，B正确；根据[x]的定义易知C正确；∵f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，∴f(1.2)≠f(－1.2)，故D错误，综上知B、C正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________．
3 [∵－3＜0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1).
∵1＞0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]
14．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数值中的较小者，则f(x)的最大值为________．
1 [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图所示，图中实线部分即为函数f(x)的图像，所以x＝1时，f(x)取得最大值1.
]
15．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．
(－3，1) [若二次函数f(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解．∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，
∴a≤－3或a≥1.
∴当函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3＜a＜1.]
16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0，a，b，c∈R)的两个零点分别为－3和2，则方程f(x)＝0的解集为________；不等式f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)
{－3，2} {x|－3＜x＜2} [根据一元二次方程与相应二次函数、一元二次不等式的关系知，f(x)＝0的解集为{－3，2}，
又a<0，所以函数f(x)图像的开口方向向下，故不等式f(x)>0的解集为{x|－3＜x＜2}．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．
[解] 由于△ABC是直角三角形，则有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－.
由题意得解得x＞1.
所以函数的定义域是(1，＋∞).
18．(本小题满分12分)已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1.
[解] 令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)因为f(x)图像的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞).
(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，
解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，
解得a＝±；
当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，
解得a＝－(舍去).综上，a＝±.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R).
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像；
(3)写出函数的值域．
[解] (1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝
图像如图所示．
(3)由函数图像知，函数的值域为[2，＋∞).
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－ax(x＞0)，其中a＞0.
(1)当a＝2时，用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数；
(2)若g(x)＝－－x(x＞0)，G(x)＝g(x)－f(x)，若G(x)＜0恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)证明：当a＝2时，f(x)＝－2x，
设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝
eq
\r(x＋1)
－2x1－
eq
\r(x＋1)＋2x2
＝
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)－\r(x＋1)))
＋2(x2－x1)
＝
eq
\f(x－x,\r(x＋1)＋\r(x＋1))＋2(x2－x1)
＝
eq
\f(x－x,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2(x1－x2)
＝(x1－x2)
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2))，
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，
又因为
eq
\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))＜1，
∴
eq
\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴即f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．
(2)∵G(x)＝ax－x－(x＞0)，由G(x)＜0恒成立，
∴ax－x－＜0恒成立，即：ax＜x＋恒成立，
∵x＞0，
∴a＜1＋恒成立，∵1＋＞1，∴a≤1.
21．(本小题满分12分)某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一，每年年末加薪1
000元；方案二，每半年加薪300元．
注：每年年末加薪a元，即若原年薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为(m＋a)元，第二年总薪金应为[(m＋a)＋a]元……依次类推．
(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；
(2)设该员工在此私企继续工作x年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由．
注：m＋(m＋a)＋(m＋2a)＋(m＋3a)＋…＋[m＋(x－1)a]＝mx＋a.
[解] (1)选择方案一，第1年加薪1
000元，第2年加薪2
000元，2年共加薪3
000元；
选择方案二，第1年加薪900元，第2年加薪2
100元，2年共加薪3
000元．
因此，该员工选择两种加薪方案都一样．
(2)选择方案一的加薪总额为1
000x＋×1
000＝500x2＋500x.
选择方案二的加薪总额为300×2x＋×300＝600x2＋300x.
∵(500x2＋500x)－(600x2＋300x)＝－100x(x－2)，
令－100x(x－2)＞0得0＜x＜2，∴当0＜x＜2，即x＝1(工作1年)时，选择方案一；当x＝2(工作2年)时，两种方案一样；当x＞2(工作3年及以上)时，选择方案二．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为实数．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1，3)，判断函数f(x)在区间[1，2]上的单调性，并说明理由．
[解] (1)当a＝0时，f(x)＝，显然f(x)是奇函数；
当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，因为f(1)≠f(－1)，且f(1)＋f(－1)≠0，所以此时f(x)是非奇非偶函数．
(2)设任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax＋－ax－＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x2).
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，2]，
所以x1－x2＜0，2＜x1＋x2<4，1因为a∈(1，3)，
所以2＜a(x1＋x2)＜12，＜＜1，
所以a(x1＋x2)－＞0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)＜f(x2).
故函数f(x)在区间[1，2]上是增函数．
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
2．函数f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
3．已知函数f＝x2＋，则f(3)等于( )
A．8
B．9
C．11
D．10
4．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)f(－x)≤0
D．f(x)－f(－x)＞0
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－2，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
8．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝－2x＋1
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
11．函数f(x)＝的图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B．f(f(2
019))＝－
C．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．函数g(x)＝f(x)－x2＋4有四个零点
12．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不大于x的最大整数，下列关于函数f(x)的性质，描述正确的是( )
A．f(x)是增函数
B．f(x)在[1，2)上是增函数
C．f(x)的值域为[0，1)
D．f(x)是偶函数
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________．
14．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数值中的较小者，则f(x)的最大值为________．
15．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．
16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0，a，b，c∈R)的两个零点分别为－3和2，则方程f(x)＝0的解集为________；不等式f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R).
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像；
(3)写出函数的值域．
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－ax(x＞0)，其中a＞0.
(1)当a＝2时，用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数；
(2)若g(x)＝－－x(x＞0)，G(x)＝g(x)－f(x)，若G(x)＜0恒成立，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一，每年年末加薪1
000元；方案二，每半年加薪300元．
注：每年年末加薪a元，即若原年薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为(m＋a)元，第二年总薪金应为[(m＋a)＋a]元……依次类推．
(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；
(2)设该员工在此私企继续工作x年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由．
注：m＋(m＋a)＋(m＋2a)＋(m＋3a)＋…＋[m＋(x－1)a]＝mx＋a.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为实数．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1，3)，判断函数f(x)在区间[1，2]上的单调性，并说明理由．
章末综合测评(三) 函数
(满分：150分 时间：120分钟)
一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．函数f(x)＝＋的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．[－1，0)∪(0，＋∞)
D．R
C [要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.]
2．函数f(x)＝x2＋|x|( )
A．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，在(－∞，＋∞)上是减函数
C．不是偶函数，在(－∞，＋∞)上是增函数
D．是偶函数，且在(0，＋∞)是增函数
D [函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，所以函数是偶函数，在(0，＋∞)是增函数，故选D.]
3．已知函数f＝x2＋，则f(3)等于( )
A．8
B．9
C．11
D．10
C [∵f＝x2＋＝＋2，
设x－＝t，∴f(t)＝t2＋2，
即f(x)＝x2＋2，
∴f(3)＝32＋2＝11.故选C.]
4．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )
A．
B．
C．
D．
B [因为f＝＋4×－1＝＞0，f(0)＝－1＜0，所以f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为.故选B.]
5．函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2，2]
B．[－1，1]
C．[0，4]
D．[1，3]
D [∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]
6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)f(－x)≤0
D．f(x)－f(－x)＞0
C [∵函数f(x)为奇函数，令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x－1.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，f(x)＝x＋1，此时f(x)＝x＋1的函数值符号不确定，因此排除选项A，B.
∵f(x)f(－x)＝
∴f(x)f(－x)≤0成立，选项C符合题意．]
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(－2，2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
B [由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2，0)时，f(x)
A．60件
B．80件
C．100件
D．120件
B [设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，
则y＝＝＋.
∵x＞0，
∴＋≥2＝20，
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
即每批生产80件，平均每件产品的费用最小．]
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝
C．f(x)＝|x|
D．f(x)＝－2x＋1
BD [由题意可知f(x)是(0，＋∞)上的单调递减函数，故选BD.]
10．函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
ABD [f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，A正确；其图像关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以B正确，C不正确；对于D，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即D正确．]
11．函数f(x)＝的图像类似于汉字“囧”，故被称为“囧函数”，则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为{x|x≠1}
B．f(f(2
019))＝－
C．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
D．函数g(x)＝f(x)－x2＋4有四个零点
BD [由于函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，故A错误；f(f(2
019))＝f＝＝－，故B正确；因为函数f(x)＝为偶函数，所以其图像关于y轴对称，故C错误；y＝＝，作出y＝和y＝x2－4的图像如图所示，可知D正确．
]
12．已知函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不大于x的最大整数，下列关于函数f(x)的性质，描述正确的是( )
A．f(x)是增函数
B．f(x)在[1，2)上是增函数
C．f(x)的值域为[0，1)
D．f(x)是偶函数
BC [由于f(1)＝f(2)＝0，故A错误；当x∈[1，2)时，[x]＝1，∴f(x)＝x－1，为增函数，B正确；根据[x]的定义易知C正确；∵f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，∴f(1.2)≠f(－1.2)，故D错误，综上知B、C正确．]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝则f(－3)＝________．
3 [∵－3＜0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1).
∵1＞0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]
14．若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数值中的较小者，则f(x)的最大值为________．
1 [在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图像，如图所示，图中实线部分即为函数f(x)的图像，所以x＝1时，f(x)取得最大值1.
]
15．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．
(－3，1) [若二次函数f(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解．∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，
∴a≤－3或a≥1.
∴当函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3＜a＜1.]
16．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0，a，b，c∈R)的两个零点分别为－3和2，则方程f(x)＝0的解集为________；不等式f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)
{－3，2} {x|－3＜x＜2} [根据一元二次方程与相应二次函数、一元二次不等式的关系知，f(x)＝0的解集为{－3，2}，
又a<0，所以函数f(x)图像的开口方向向下，故不等式f(x)>0的解集为{x|－3＜x＜2}．]
四、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．
[解] 由于△ABC是直角三角形，则有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－.
由题意得解得x＞1.
所以函数的定义域是(1，＋∞).
18．(本小题满分12分)已知函数f(x－1)＝x2＋(2a－2)x＋3－2a.
(1)若函数f(x)在区间[－5，5]上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求a的值，使f(x)在区间[－5，5]上的最小值为－1.
[解] 令x－1＝t，则x＝t＋1，f(t)＝(t＋1)2＋(2a－2)·(t＋1)＋3－2a＝t2＋2at＋2，所以f(x)＝x2＋2ax＋2.
(1)因为f(x)图像的对称轴为x＝－a，
由题意知－a≤－5或－a≥5，解得a≤－5或a≥5.
故实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞).
(2)当a>5时，f(x)min＝f(－5)＝27－10a＝－1，
解得a＝(舍去)；
当－5≤a≤5时，f(x)min＝f(－a)＝－a2＋2＝－1，
解得a＝±；
当a<－5时，f(x)min＝f(5)＝27＋10a＝－1，
解得a＝－(舍去).综上，a＝±.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R).
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图像；
(3)写出函数的值域．
[解] (1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)f(x)＝
图像如图所示．
(3)由函数图像知，函数的值域为[2，＋∞).
20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝－ax(x＞0)，其中a＞0.
(1)当a＝2时，用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数；
(2)若g(x)＝－－x(x＞0)，G(x)＝g(x)－f(x)，若G(x)＜0恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)证明：当a＝2时，f(x)＝－2x，
设0＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝
eq
\r(x＋1)
－2x1－
eq
\r(x＋1)＋2x2
＝
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)－\r(x＋1)))
＋2(x2－x1)
＝
eq
\f(x－x,\r(x＋1)＋\r(x＋1))＋2(x2－x1)
＝
eq
\f(x－x,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2(x1－x2)
＝(x1－x2)
eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2))，
∵0＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，
又因为
eq
\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))＜1，
∴
eq
\f(x1＋x2,\r(x＋1)＋\r(x＋1))－2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴即f(x1)＞f(x2).
∴f(x)在区间(0，＋∞)上是单调减函数．
(2)∵G(x)＝ax－x－(x＞0)，由G(x)＜0恒成立，
∴ax－x－＜0恒成立，即：ax＜x＋恒成立，
∵x＞0，
∴a＜1＋恒成立，∵1＋＞1，∴a≤1.
21．(本小题满分12分)某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一，每年年末加薪1
000元；方案二，每半年加薪300元．
注：每年年末加薪a元，即若原年薪金为m元，则加薪第一年总薪金应为(m＋a)元，第二年总薪金应为[(m＋a)＋a]元……依次类推．
(1)设该员工在此私企再工作2年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由；
(2)设该员工在此私企继续工作x年，试问该员工根据自己需要继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，请说明理由．
注：m＋(m＋a)＋(m＋2a)＋(m＋3a)＋…＋[m＋(x－1)a]＝mx＋a.
[解] (1)选择方案一，第1年加薪1
000元，第2年加薪2
000元，2年共加薪3
000元；
选择方案二，第1年加薪900元，第2年加薪2
100元，2年共加薪3
000元．
因此，该员工选择两种加薪方案都一样．
(2)选择方案一的加薪总额为1
000x＋×1
000＝500x2＋500x.
选择方案二的加薪总额为300×2x＋×300＝600x2＋300x.
∵(500x2＋500x)－(600x2＋300x)＝－100x(x－2)，
令－100x(x－2)＞0得0＜x＜2，∴当0＜x＜2，即x＝1(工作1年)时，选择方案一；当x＝2(工作2年)时，两种方案一样；当x＞2(工作3年及以上)时，选择方案二．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋，其中a为实数．
(1)根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若a∈(1，3)，判断函数f(x)在区间[1，2]上的单调性，并说明理由．
[解] (1)当a＝0时，f(x)＝，显然f(x)是奇函数；
当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝a－1，因为f(1)≠f(－1)，且f(1)＋f(－1)≠0，所以此时f(x)是非奇非偶函数．
(2)设任意x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax＋－ax－＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋＝(x1－x2).
因为x1＜x2，且x1，x2∈[1，2]，
所以x1－x2＜0，2＜x1＋x2<4，1
所以2＜a(x1＋x2)＜12，＜＜1，
所以a(x1＋x2)－＞0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)＜f(x2).
故函数f(x)在区间[1，2]上是增函数．